河北省唐山市开滦第一中学2024届高三上册12月月考数学试题（含解析）

这是一份河北省唐山市开滦第一中学2024届高三上册12月月考数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题．，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题．
1．已知集合则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数z是一元二次方程的一个根，则|z|的值为（ ）
A．1B．2C．0D．
3．若为奇函数，则的单调减区间是（ ）
A．B．C．D．
4．的展开式中的系数为（ ）
A．208B．C．217D．
5．是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
6．已知等差数列的前n项和为，对任意，均有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在平面直角坐标系中，以OA为始边，角终边分别与单位圆相较于E、F两点，且，若直线EF的斜率为，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，则的大小关系为（ ）
A．.B．
C．D．
二、多选题：本题共4小题．
9．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．一组数据：2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同
B．有A，B，C三种个体按的比例做分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30
C．若随机变量，则其数学期望
D．若随机变量，，则
10．已知曲线C的方程为，则（ ）
A．当时，曲线C为圆
B．当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为
C．当时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆
D．不存在实数m使得曲线C为双曲线，其离心率为
11．已知函数是自然对数的底数，则（ ）
A．
B．若，则
C．的最大值为
D．若关于的不等式有正整数解，则
12．已知、分别为椭圆：的左、右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆交于、两点，则下列结论正确的有（ ）
A．椭圆的离心率为
B．椭圆的长轴长为
C．若点是线段的中点，则的斜率为
D．的面积最大值为
三、填空题．
13．的值为 .
14．已知△ABC中，M为BC边上一个动点，若，则的最小值为 ．
15．若偶函数对任意都有，且当时，，则 ．
16．已知点在半径为的球面上,过点作球的两两垂直的三条弦若则的最大值为 ．
四、解答题：本大题共6小题．
17．已知的内角、、的对边分别为、、，且的面积为．
(1)求；
(2)若，的角平分线与边相交于点，延长至点，使得，求．
18．已知单调递增的等比数列中，，且，，成等差数列，设数列的前项和为，点在抛物线上.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19．一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.
(1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；
(2)实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．
附：
20．如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为l．

(1)证明：l⊥平面；
(2)已知，Q为l上的点，求PB与平面所成角的正弦值的最大值．
21．已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个零点，求实数的取值范围.
22．已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求的方程；
(2)记C的右顶点为A，过点A作直线与C的左支交于两点，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
参考答案与解析
1．D
【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义求解即得.
【解答】集合，而，
所以.
故选：D
2．B
【分析】由实数系方程中根的性质及根与系数关系有，即可求结果.
【解答】由题意，即.
故选：B
3．B
【分析】先利用奇函数的性质求出，再根据复合函数单调性求解即可.
【解答】因为为奇函数，且定义域为，
所以，解得，当时，，满足题意，
则（或），
因为二次函数在上单调递减，在上单调递增，
且在其定义域上单调递增，
所以复合后，的单调递减区间为，
故选：B
4．B
【分析】根据各未知数的次数以及二项式定理，即可得出答案.
【解答】根据二项式定理可得，
的展开式中，含的项为.
所以，的展开式中的系数为.
故选：B.
5．B
【分析】作图，找到直线在平面上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将三条射线截取出来放在正方体中进行分析.
【解答】解法一：
如图，设直线在平面的射影为，
作于点G，于点H，连接，
易得，又平面，则平面，又平面，则，
有
故．
已知，
故为所求．
解法二：
如图所示，把放在正方体中，的夹角均为．
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则，
所以，
设平面的法向量，则
令，则，所以，
所以．
设直线与平面所成角为，所以，
所以．
故选B．
6．A
【分析】由等差数列前n项和的函数性质得，再由等差数列通项公式得，即可求范围.
【解答】设等差数列的公差为，
由，又任意均有成立，
所以，
由，而，则.
故选：A
7．C
【分析】利用三角函数定义可得坐标，由两点间斜率公式以及和差角公式可求得，再利用同角三角函数之间的基本关系可求得结果.
【解答】根据三角函数定义可得，
由直线EF的斜率为可得，
再由可得；
即；
易知.
故选：C
8．B
【分析】根据函数的奇偶性只需要考虑时的情况，利用导数求解函数单调性，构造函数，即可由导数求解单调性，利用函数单调性即可比较大小.
【解答】易知是偶函数，，当时，
因为，所以.
令，则，所以单调递增，
所以，所以在上单调递增.
构造函数，则.
令，得，令，得，所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减.又，所以，
所以，所以，
所以，即.
故选:.
【点评】方法点评：利用导数比较大小的基本步骤:
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数；
(3)利用导数研究的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
9．ACD
【分析】A选项，计算出平均数，众数和中位数，得到A正确；B选项，计算出样本容量为18；C选项，根据二项分布的数学期望公式求出答案；D选项，利用正态分布的对称性得到概率.
【解答】A选项：平均数为：，3出现了两次，出现次数最多，众数为3，
将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，5.所以中位数为，故A正确；
B选项：样本的容量为，故B错误；
C选项：由，故C正确；
D选项：，故D正确.
故选：ACD.
10．ABD
【分析】根据给定的方程，利用选项中的条件计算判断A，B，C；否定结论，导出矛盾判断D作答.
【解答】在曲线C的方程中，且，
对于A，当时，曲线C的方程为，曲线C是原点为圆心，为半径的圆，A正确；
对于B，当时，曲线C的方程为，曲线C是双曲线，其渐近线方程为，B正确；
对于C，由选项B知，当时，曲线C：是双曲线，C不正确；
对于D，假定存在实数m使得曲线C为双曲线，其离心率为，
则有，且，显然无解，
所以不存在实数m使得曲线C为双曲线，其离心率为，D正确.
故选：ABD
11．CD
【分析】根据已知，利用特值法、导数与函数的单调性以及结合函数图象进行计算求解.
【解答】因为，所以，所以，故A错误；
若，则，即，由可知，，故B错误.
因为，所以，
由有：；由有：；
所以在上单调递增；在上单调递减；
所以的最大值为，故C正确；
因为，所以，即，
当时，，因为，函数的大致图象为：

又因为，所以，解得，
当时，由可知，必有，不存在正整数解，故D正确.
故选：CD.
12．BCD
【分析】AB选项，根据椭圆方程得到，，从而求出离心率和长轴长；C选项，设出直线方程，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，表达出点坐标，得到的斜率；D选项，在C选项基础上，求出和点到直线的距离为，表达出的面积，求出最大值.
【解答】AB选项，由题意得，故，
故椭圆的离心率为，长轴长为，A错误，B正确；
C选项，设不过原点且斜率为1的直线为，
联立得，
由，解得，
设，则，
则，
故，
故的斜率为，C正确；
D选项，由C选项可知，，
点到直线的距离为，
故的面积为
，
因为，所以，
故当时，的面积取得最大值，最大值为，D正确.
故选：BCD
【点评】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
13．1
【分析】把拆成，然后利用公式进行化简.
【解答】因为，
所以；
故答案为：1.
14．16
【分析】根据已知结合图形可得出，进而根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案.
【解答】
由已知可得，共线，
所以，，使得，
所以有，
整理可得，.
又，不共线，
所以有，则有.
显然，
所以，，
当且仅当，即时等号成立.
所以，的最小值为16.
故答案为：16.
15．##0.125
【分析】由题设可得偶函数的周期为6，利用周期性求函数值即可.
【解答】由题设，即偶函数的周期为6，
所以.
故答案为：
16．
【分析】根据条件得到设结合三角函数辅助角公式求出的最大值即可.
【解答】为直径为的球的三条两两垂直的弦,且
设
其中
的最大值为.
故答案为：.
【点评】本题考查多面体的外接球问题,考查了转化思想,属中档题.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理结合三角形的面积公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）令，利用余弦定理可求得，求出，然后在中，利用余弦定理可求得．
【解答】（1）解：由题可知，所以，
由余弦定理，所以，可得，
因为，所以.
（2）解：不妨令，因为，可得，，
又因为为的角平分线，所以，，得，
所以在中，由余弦定理可得，即，
在中，可得，，所以，为等边三角形，所以，
在中，由余弦定理可得，得．
18．（1），；（2）.
【分析】（1）结合等差中项求出数列的公比，即可得数列的通项公式；利用即可求得数列的通项公式；（2）利用错位相减法求和即可.
【解答】解：（1）由题意，设数列的公比为（），
因为，，成等差数列，所以，
即，可得或.
因为，所以.
故是首项为1，公比为3的等比数列，所以.
由点在抛物线上，得，所以（），
验证当时，满足上式，故.
（2）因为，
所以，，
两式相减得.
所以.
【点评】本题主要考查等差中项、等比数列的通项公式、前n项和与通项的关系及错位相减法求和，属于基础题.
19．(1)分布列见解析，
(2)（i）；列联表见解析，（ii）能
【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；
（2）（i）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表；
（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.
【解答】（1）依题意，的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：
故.
（2）（i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为，第21位数据为，
所以，
故列联表为：
（ii）由（i）可得，，
所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异.
20．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）作出直线，利用线面垂直的判定、及平行线的性质推理即得.
（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法列出函数关系，再求出函数最大值即得.
【解答】（1）在平面内过P作直线，由，得，即l为平面和平面的交线，
因为平面，平面，则，
又，于是平面，
所以平面.

（2）显然直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，，
设平面的法向量为，则，令，得，
令PB与平面所成的角为，则
，当且仅当时取等号，
与平面QCD所成角的正弦值的最大值为.
21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）求出函数的定义域和导数，然后分和两种情况讨论，分析在上导数符号的变化，即可得出函数的单调区间；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，函数有两个零点，则且有，即可求出实数的取值范围.
【解答】（Ⅰ）函数的定义域为，.
①当时，由，知函数在内单调递增；
②当时，由，即得；
由，即得.
所以，函数在内单调递增，在内单调递减.
因此，当时，在内单调递增；
当时，在内单调递增；在内单调递减；
（Ⅱ）当时，则函数在上为增函数，函数最多一个零点，不合乎题意，舍去；
当时，由（Ⅰ）知，函数在内单调递增，在内单调递减.
且当时，，当时，，
则，即，解得.
因此，实数的取值范围是.
【点评】本题考查带参函数单调区间的求解，同时也考查了利用函数的零点个数求参数的取值范围，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
22．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由已知求出双曲线参数，即可得方程；
（2）法1：讨论直线MN的斜率存在性，设直线方程联立双曲线，应用韦达定理及垂直关系列方程求所设直线中的参数关系，代入直线方程确定定点即可；法2：设直线MN方程为，联立双曲线得到，结合直线垂直关系、韦达定理求参数m，进而确定定点.
【解答】（1）由题意，所以双曲线方程；
（2）法1：由（1）知，当直线MN斜率存在时，设直线MN方程为，
联立方程组，，即，
设，由韦达定理可得
因为，所以，
，
，
，
或，
将代入直线，此时直线MN过定点，不合题意；
将代入直线，此时直线MN过定点，
当直线MN的斜率不存在时，不妨设直线方程为，
因为，所以为等腰直角三角形，此时M点坐标为，
所以（舍）或，此时MN过定点，
综上可知，直线MN恒过定点.
因为，此时存在以AP为斜边的直角三角形，
所以存在定点Q为AP中点满足，此时．
法2：由（1）知，设直线MN方程为，
联立方程组，
，
，
两边同时除以，得，
设，因为，所以，
，，即，
由韦达定理得，
代入直线，
直线过定点．
因为，此时存在以AP为斜边的直角三角形，
所以存在定点Q为AP中点满足，此时．
【点评】关键点点评：设含参的直线MN方程，联立双曲线，应用韦达定理及已知垂直关系求得直线方程中参数关系或参数值为关键.
对照组
实验组
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40