福建省福州市四校教学联盟2023-2024学年高一上册1月期末学业联考数学试题（含解析）

这是一份福建省福州市四校教学联盟2023-2024学年高一上册1月期末学业联考数学试题（含解析），共19页。
考试范围：必修一 命题教师：徐凯 审核教师：刘旭玲
考试时间：1月3日 完卷时间：120分钟 满 分：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的.
1．集合,则（ ）
A．B．C．D．
2．若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．命题：是第二象限角或第三象限角，命题：，则是的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．中国的技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率（单位：）取决于信道宽度（单位：）､信道内信号的平均功率（单位：）、信道内部的高斯噪声功率（单位：）的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度变为原来倍，而将信噪比从提升至，则大约增加了（ ）（附：）
A．B．C．D．
7．命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
8．已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的.
9．下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2B．的最小值为1
C．的最大值为4D．的最小值为2
11．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数的一个单调增区间为
C．函数的一个对称中心是D．函数的一条对称轴是
12．已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（ ）
A．当，有1个零点B．当时，有3个零点
C．当时，有9个零点D．当时，有7个零点
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13．已知扇形的圆心角是，其周长为，则扇形的面积为 ．
14．函数y＝的定义域是 ．
15．已知函数是幂函数，且在上递增，则实数 .
16．已知函数给出下列四个结论：
①当时，的最小值为0；
②当时，不存在最小值；
③零点个数为，则函数的值域为；
④当时，对任意，，．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题：本大题共6小题，满分70分.除第17小题10分以外，每小题12分.
17．设，已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
18．用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像.

19．已知函数的最小正周期为.
(1)求的值及函数单调递增区间；
(2)求在区间上的最值.
20．某环保组织自2023年元旦开始监测某水域中水葫芦生长的面积变化情况并测得最初水葫芦的生长面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自2023年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快.最初测得该水域中水葫芦生长的面积为（单位：），二月底测得水葫芦的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2023年元旦最初测量时间的值为0.
(1)请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式；
(2)该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上？（参考数据：）.
21．已知函数.
(1)当时，求的解集；
(2)是否存在实数，使得不等式对满足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22．已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T.
(1)判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？
(2)已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围；
(3)是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论.
参考答案与解析
1．C
【分析】运用集合交集的定义直接求解即可．
【解答】因为集合,
所以,
故选：C．
2．A
【分析】根据不等式的性质可判断A，其余选项可用特殊值验证.
【解答】因为，，由不等式的可加性可得，故A正确；
当，，，时，，，，故B错误；
当，，，时，，，，故C错误；
当，，，时，，，，故D错误.
故选：A
3．B
【分析】恒成立，排除CD，根据定义域排除A，得到答案.
【解答】恒成立，排除CD，
的定义域为，排除A.
故选：B.
4．C
【分析】若是第二象限角或第三象限角，则，举反例得到不必要性，得到答案.
【解答】若是第二象限角或第三象限角，则；
若，取，，此时不是第二象限角或第三象限角；
综上所述：是的充分不必要条件.
故选：C.
5．D
【分析】利用同角的三角函数关系式，结合三角函数齐次式法求值，即可得答案.
【解答】由题意知，
故，
故选：D
6．D
【分析】利用对数减法与换底公式可求得结果.
【解答】当时，；
当时，信道宽度变为原来倍，.
因为.
故选：D.
7．C
【分析】先求出命题为真命题时的充要条件，然后再结合选项进行选择即可．
【解答】因为，等价于，恒成立，
设，
则 ．
所以命题为真命题的充要条件为，
所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为．
故选C．
【点评】解题的关键是得到命题为真命题时的充要条件，由于求的是命题为真时的一个充分不必要条件，故所选的范围应是充要条件对应范围的真子集，考查对充分条件、必要条件概念的理解．
8．C
【分析】由， 得，构造函数，则是上的减函数，对实数分类讨论即可.
【解答】因为对任意，，所以，即，
构造函数，则，
所以函数是上的减函数.
当时，函数是上的减函数，符合题意；
当时，函数图象的对称轴为直线，
当时，函数是上的减函数，符合题意；
当时，要使得函数是上的减函数，只需，解得.
综上所述，实数的取值范围足，
故选：C.
9．ABD
【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的单调性比较大小.
【解答】A选项：由指数函数为单调递增函数，可得成立，所以选项正确；
B选项：由幂函数为单调递增函数，可得成立，所以B选项正确；
C选项：由对数函数为单调递增函数，则，所以C选项不正确；
D选项：由函数与均为单调递增函数，则，而，所以D选项正确.
故选：ABD.
10．AD
【分析】根据，结合基本不等式可判断A；根据基本不等式可判断B；可判断C；根据可判断D.
【解答】对于A，因为，，
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2，故A正确；
对于B，，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为1，故B错误；
对于C，，当且仅当时等号成立，
所以，即的最大值为2，故C错误；
对于D，，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2，故D正确.
故选:AD.
11．AD
【分析】利用的图象与性质，对选项一一验证即可.
【解答】对于A：的最小正周期为，故A正确；
对于B：当时，，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C：函数的对称中心纵坐标为，故C错误；
对于D：当时，，
所以的一条对称轴是，故D正确.
故选：AD.
12．AD
【分析】设，即有，再按和讨论并作出函数图象，数形结合即可判断得解.
【解答】由，得，则函数的零点个数即为解的个数，
设，则，二次函数，其图象开口向上，过点，对称轴为，
当时，在上单调递减，且，如图，
由，得，解得，由，得，解得，
因此函数的零点个数是1，A正确，B错误；
当时，，作出函数的图象如图，

由图象知有3个根，当时，，解得；
当时，，解得，
当时，，若，则，若，则，此时共有3个解；
当时，，此时有1个解，
，即有2个解，
当时，，此时有1个解，
即无解，
因此当时，函数的零点个数是7，D正确，C错误.
故选：AD
【点评】方法点评：关于复合函数的零点的判断问题，首先将零点问题转化为方程的解的问题；解答时要采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方程的解.
13．
【分析】直接利用扇形的周长和扇形的面积公式求出结果.
【解答】设扇形的圆心角为，半径为.
所以扇形的周长为，,
所以扇形的面积.
故答案为：.
14．
【解析】利用偶次根式的意义和对数的真数大于零，得到正弦的范围，再结合正弦函数图象特征解出自变量x的取值集合即可.
【解答】由知，，
由正弦函数图象特征知，．
故定义域为.
故答案为：.
15．
【分析】根据幂函数系数为并结合单调性即可求解.
【解答】由题意得，解得或，
当时，在上递减，不符合题意；
当时，在上递增，符合题意；
故答案为：.
16．①②③
【分析】①根据指数函数、二次函数性质求值域判断；②由上值域为，讨论、确定在上值域，根据不存在最小值，列不等式组求参数范围；③讨论、、，分析各分段上零点的个数判断；④用特殊值，得到即可判断.
【解答】①当时，，在上的值域为，在上值域为.
所以的最小值为0，故①正确；
②在上的值域为，
当时，在上值域为；
当时，在上值域为；
要使不存在最小值，则或，
解得或，故②正确；
③至多一个零点，至多有两个零点，
当时，若，则由，
可得或，故恒有两个零点；
时，若，则存在一个零点；
若，不存在零点，
所以时，零点个数可能为2或3个；
若，则，此时，即上无零点，
而，故有一个零点，即；
若，则，此时上，无零点，
时，也无解，故无零点，即；
综上，的值域为，故③正确；
④当时，，则，
所以，故④错误.
故答案为：①②③.
【点评】关键点点评：对于③，注意结合指数函数、二次函数性质，应用分类讨论分析各分段零点的可能情况.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）分别解不等式求出集合A，B，然后由并集运算可得；
（2）根据集合包含关系，对m分类讨论即可.
【解答】（1），解得，
当时，得，
所以.
（2）若“”是“”的必要不充分条件，所以AB，
解方程得或，
当时，，不满足题意；
当，即时，，
因为AB，所以，解得；
当，即时，，显然不满足题意.
综上，的取值范围为.
18．答案见解析
【分析】根据函数解析式按照“五点法”的步骤，列表、描点、连线即可作出的图象.
【解答】列表：
描点，连线，画出在上的大致图像如图：
19．(1)；
(2)最大值为，最小值为.
【分析】（1）根据周期确定，得到函数解析式后，代入计算的值，取，解得答案.
（2）首先确定，根据正弦函数性质计算得到答案.
【解答】（1）的最小正周期为，则，，
，；
取，解得，
故单调递增区间为；
（2），则，
当，即时，；
当，即时，；
故的最大值为，最小值为.
20．(1)第一个函数模型满足要求，理由见解析，
(2)该水域中水葫芦生长的面积在7月份是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上
【分析】（1）由随着的增大，的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢求解；
（2）根据题意，由求解.
【解答】（1）解：两个函数模型在上都是增函数，随着的增大，的函数值增加得越来越快，
而的函数值增加得越来越慢，
在该水域中水葫芦生长的速度越来越快，即随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快，
第一个函数模型满足要求，
由题意知，，解得，所以；
（2）由，解得，
又
故，
该水域中水葫芦生长的面积在7月份是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上.
21．(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）求解一元二次不等式即可；
（2）关于的不等式恒成立问题转化为关于的函数最值问题求解，按系数符号与轴与区间的关系分类讨论求解即可.
【解答】（1）时，函数，
不等式即为，
即，
解得，
∴不等式的解集为.
（2）设，，
根据题意知，在上恒成立，
①当时，解得，
若，则在上单调递增，
则，不符合题意；
若，则在上单调递减，
则，不符合题意；
②当，即时，的图像为开口向下的抛物线，
要使在上恒成立，需，
即，解得或，
又∵，∴此时无解；
③当，即或时，的图像为开口向上的抛物线，其对称轴方程为，
（i）当，即时，在上单调递增，
∴，解得或，
∵，，∴此时无解；
（ii）当，即或时，在上单调递减，在上单调递增，
∴，此时无解；
（iii）当，即时，在上单调递减，
∴，解得或，
∵，，∴此时无解；
综上，不存在符合题意的实数.
22．(1)是，理由见解析；
(2)当时，，且；
(3)存在，.
【分析】（1）利用P级递减周期函数定义，计算验证作答.
（2）根据给定条件，利用P级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作答.
（3）假定存在符合题意的k值，利用P级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答.
【解答】（1）依题意，函数定义域是R，
，
即，成立，
所以函数是R上的周期为1的2级递减周期函数.
（2）因，是上的P级周期函数，则，即，
而当时，，当时，，，
当时，，则，
当时，，则，
……
当时，，则，
并且有：当时，，当时，，当时，，……，
当时，，
因是上的严格增函数，则有，解得，
所以当时，，且.
（3）假定存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数，
即，恒有成立，则，恒有成立，
即，恒有成立，当时，，则，，
于是得，，要使恒成立，则有，
当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解，
此时恒成立，则，即，
当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解，
所以存在，符合题意，其中满足.
【点评】思路点评：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.
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