2022-2023学年山东省济宁市汶上县八年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2022-2023学年山东省济宁市汶上县八年级（上）期末数学试卷(含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.点A(2,−1)关于y轴对称的点B的坐标为( )
A. (2,1)B. (−2,1)C. (2,−1)D. (−2,−1)
2.下列式子中是分式的是( )
A. 2xπ+3B. x+52C. 12x+1D. 25
3.下列计算中正确的是( )
A. a2⋅a4=a8B. a4÷a=a4C. a2+a3=a5D. (−a2)3=−a6
4.已知△ABC中，AB=7，BC=4，那么第三边AC的长可能是( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
5.如图，点D在△ABC的BC边上，DE与AC交于点F，若∠1=∠2=∠3，AE=AC，则( )
A. △ABD≌△AFE
B. △AFE≌△ADC
C. △AFE≌△DFC
D. △ABC≌△ADE
6.下列因式分解中错误的是( )
A. 2a−2b=2(a−b)B. x2−9=(x+3)(x−3)
C. a2+4a+4=(a+2)2D. −x2−x+2=−x(x+1)+2
7.学校为创建“书香校园”，购买了一批图书，已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本，求文学类图书平均每本的价格是多少元若设文学类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为( )
A. 9000x−10000x+5=100B. 9000x−10000x−5=100
C. 10000x+5−9000x=100D. 10000x−5−9000x=100
8.如图，已知在△ABC中，∠A=20°，∠C=60°，嘉淇通过尺规作图得到BD，交AC于点D，根据其作图痕迹，可得∠ADB的度数为( )
A. 120°
B. 110°
C. 100°
D. 98°
9.如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于点D，点P，Q分别为AB，AD上的两个定点.若BP=AQ=2，QD=1.5，在BD上有一动点E使PE+QE的值最小，则PE+QE的最小值为( )
A. 5
B. 4
C. 3.5
D. 3
10.已知a为整数，且a+3a−5−a−5a+2÷a2−10a+25a2−4为正整数，求所有符合条件的a的值的和( )
A. 8B. 12C. 16D. 10
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图，若△ABC≌△ADE，且∠1=35°，则∠2=______．
12.已知x=−2是关于x的分式方程x+kx+3=2x的解，则实数k的值为______ ．
13.若(x+2)(x−3)=x2+ax+b，则ba的值为______ ．
14.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，在BC上截取BD=BA，连接AD，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接CP.若AB=AC=6cm，则△BPC的面积为______ ．
15.观察探索：
(x−1)(x+1)=x2−1；
(x−1)(x2+x+1)=x3−1；
(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1；
(x−1)(x4+x3+x2+x+1)=x5−1
……
根据以上规律，可得22022+22021+22020+…+2+1= ______ ．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：
(1)(7m2)⋅(4m3p)÷(7mp)；
(2)x2(x−1)−x(x2−x−1)．
17.(本小题5分)
先化简再求值：
(3x+4x2−1−2x−1)÷x+2x2−2x+1，其中x=0．
18.(本小题7分)
如图，点C，F分别在线段AB，DE上，AD/​/BE，AC=BE，AD=BC，DF=EF．
求证：
(1)△ACD≌△BEC；
(2)CF⊥DE．
19.(本小题8分)
受疫情影响，洗手液需求量猛增，某商场用4000元购进一批洗手液后，供不应求，商场用8800元购进第二批这种洗手液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元．
(1)求该商场购进的第一批洗手液的单价；
(2)商场销售这种洗手液时，每瓶定价为13元，最后200瓶按9折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？
20.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，点B(a,b)是第一象限内一点，且a、b满足等式a2−8a+16+|b−1|=0．
(1)求点B的坐标；
(2)如图1，动点C以每秒1个单位长度的速度从O点出发，沿x轴的正半轴方向运动，同时动点A以每秒3个单位长度的速度从O点出发，沿y轴的正半轴方向运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形；
(3)如图2，在(2)的条件下，作∠ABC的平分线BD，设BD的长为m，△ADB的面积为S.请用含m的式子表示S．
21.(本小题9分)
从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)．
(1)上述操作能验证的等式是______；(请选择正确的一个)
A.a2−2ab+b2=(a−b)2
B.b2+ab=b(a+b)
C.a2−b2=(a+b)(a−b)
D.a2+ab=a(a+b)
(2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题：
①已知x2−4y2=12，x+2y=4，求x的值．
②计算：(1−122)(1−132)(1−142)…(1−120202)(1−120212)．
22.(本小题11分)
数学课上，刘老师出示了如下框中的题目：
小聪与同桌小明讨论后，仍不得其解.刘老师提示道：“数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路”.两人茅塞顿开，于是进行了如下解答，请你根据他们提供的思路完成下面相应内容：

(1)特殊情况⋅探索结论
当点E为线段AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系请你直接写出结论：AE ______ DB.(选填“>”，“<”或“=”)
(2)特例启发⋅解答题目
当E为线段AB上除中点外的任意一点时，其余条件不变，如图2，(1)中线段AE与DB的大小关系会发生改变吗？若不会，请证明；若改变，请说明理由．
(3)拓展结论⋅设计新题
经过以上的解答，小聪和小明发现如果把刘老师的题目稍加改变，就会得到这样一道题目：在等边△ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC.若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长．
请你根据(1)(2)的探究过程，尝试解决两人改编的此问题，直接写出CD的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：点A(2,−1)关于y轴对称的点B的坐标为(−2,−1)，
故选：D．
分析：
根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于y轴对称的点的坐标，关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数．
2.【答案】C
【解析】解：A.分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B.分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C.分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；
D.分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据分式的定义逐个判断即可．
本题考查了分式的定义，能熟记分式的实质是分母中含有字母是解此题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.a2⋅a4=a6，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故此选项错误．
B.a4÷a=a3，同底数幂相除，底数不变，指数相减，故此选项错误．
C.a2，a3不是同类项，不能进行加减运算，故此选项错误．
D.(−a2)3=−a6，正确．
故选：D．
直接利用同底数幂的除法运算法则以及积的乘方运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的除法运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：设第三边AC的长为x，
则7−4∴第三边AC的长可能是10，
故选：A．
根据三角形三边关系定理确定第三边的范围，判断即可．
本题考查的是三角形三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵∠1=∠2=∠3，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠ADC=∠B+∠1，
∴∠ADE+∠3=∠B+∠1，
∴∠B=∠ADE，
在△ABC和△ADE中，
∠B=∠ADE∠BAC=∠DAEAC=AE，
∴△ABC≌△ADE(AAS)．
故选：D．
证出∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，由“AAS”可证△ABC≌△ADE，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、2a−2b=2(a−b)，正确；
B、x2−9=(x+3)(x−3)，正确；
C、a2+4a+4=(a+2)2，正确；
D、−x2−x+2=−(x−1)(x+2)，错误；
故选：D．
根据公式法分解因式的特点判断，然后利用排除法求解．
本题主要考查了因式分解，关键是对于完全平方公式和平方差公式的理解．
7.【答案】A
【解析】解：设文学类图书平均每本的价格是x元，
则可列方程为：9000x−10000x+5=100．
故选：A．
设文学类图书平均每本的价格是x元，直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本列出方程，进而得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵∠A=20°，∠C=60°，
∴∠ABC=180°−∠A−∠C=100°，
由作图可知，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=12∠ABC=50°，
∴∠ADB=180°−∠A−∠ABD=110°，
故选：B．
利用角平分线的定义，三角形内角和定理求解即可．
本题考查作图−基本作图，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
9.【答案】A
【解析】解：如图，在BC上其一点P′，使BP′=BP=2，连接PP′，P′Q，EP′，
∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，
∴直线BD是△ABC的对称轴，点P′与点P关于BD对称，AC=2AD，
∴PE=P′E，
∴PE+QE=P′E+QE≥P′Q，
∴PE+QE的最小值为线段P′Q的长，
∵AQ=2，QD=1.5，
∴AC=2(AQ+QD)=2×(2+1.5)=7，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠C=60°，
∵AQ=2，BP′=2，
∴CP′=CQ，
∴△CP′Q是等边三角形，
∴P′Q=CQ，
∵CQ=AC−AQ=7−2=5，
∴PE+QE的最小值为5，
故选：A．
在BC上其一点P′，使BP′=BP=2，连接PP′，P′Q，EP′，证明出PE+QE的最小值为线段P′Q的长，△CP′Q是等边三角形，即可求出P′Q的长，从而解决问题．
本题考查轴对称−最短路线问题，等边三角形的判定和性质，三角形两边之和大于第三边，能用一条线段的长表示出两线段和的最小值是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：a+3a−5−a−5a+2÷a2−10a+25a2−4
=a+3a−5−a−5a+2×(a+2)(a−2)(a−5)2
=a+3a−5−a−2a−5
=a+3−a+2a−5
=5a−5，
∵a为整数，且分式的值为正整数，
∴a−3=1，5，
a=4，8，
∴所有符合条件的a的值的和：4+8=12．
故选：B．
首先对于分式进行化简，然后根据a为整数、分式值为正整数可求出a的值，最后将a的所有值相加即可．
本题考查了分式的混合运算，对分式的分子和分母能够正确分解因式是解题的关键．
11.【答案】35°
【解析】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠EAD=∠CAB，
∴∠1=∠2=35°．
故答案为：35°．
直接利用全等三角形的性质得出∠EAD=∠CAB，进而得出答案．
此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出∠EAD=∠CAB是解题关键．
12.【答案】2
【解析】解：将x=−2代入分式方程x−kx+3=2x，
可得：−2−k=−4，
解得：k=2，
故答案为：2．
将x=−2代入分式方程x−kx+3=2x，求出k即可．
本题考查分式方程的解；将所给方程的解代入原方程求解k的值是关键．
13.【答案】−16
【解析】解：∵(x+2)(x−3)=x2−x−6=x2+ax+b，
∴a=−1，b=−6，
∴ba=(−6)−1=−16．
故答案为：−16．
根据多项式乘多项式的计算方法求出a、b的值，再代入计算即可．
本题考查多项式乘多项式，负整数指数幂，掌握多项式乘多项式的计算方法，负整数指数幂的运算性质是正确解答的前提．
14.【答案】9cm2
【解析】解：∵BD=BA，BP是∠ABC的平分线，
∴AP=PD，
∴S△BPD=12S△ABD，S△CPD=12S△ACD，
∴S△BPC=S△BPD+S△CPD=12S△ABD+12S△ACD=12S△ABC，
∵△ABC的面积为6×6÷2=18(cm2)，
∴S△BPC=12×18=9cm2，
故答案为：9cm2．
根据等腰三角形三线合一的性质可得AP=PD，然后根据等底等高的三角形面积相等求出△BPC的面积等于△ABC面积的一半，代入数据计算即可得解．
本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形的面积的运用，利用等底等高的三角形的面积相等求出△BPC的面积与△ABC的面积的关系是解题的关键．
15.【答案】22023−1
【解析】解：由题意得：(2−1)×(22022+22021+22020+…+2+1)=22023−1，
∴22022+22021+22020+…+2+1=22023−1．
故答案为：22023−1．
由特殊情况得到一般规律，即可求解．
本题考查规律型：数字的变化类，多项式乘多项式，关键是由特殊情况得到一般规律．
16.【答案】解：(1)原式=28m5p÷7mp
=4m4．
(2)原式=x3−x2−x3+x2+x
=x．
【解析】(1)直接根据运算法则计算即可．
(2)先去括号，再合并同类项即可．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】解：(3x+4x2−1−2x−1)÷x+2x2−2x+1
=3x+4−2(x+1)(x+1)(x−1)⋅(x−1)2x+2
=3x+4−2x−2x+1⋅x−1x+2
=x+2x+1⋅x−1x+2
=x−1x+1，
当x=0时，
原式=0−10+1
=−1．
【解析】按照分式的性质进行化简后代入x=0求值即可．
本题考查了分式的化简求值的知识，掌握分式的化简方法是关键．
18.【答案】证明：(11)∵AD//EB，
∴∠A=∠EBC，
在△ADC和△BCE中
AD=BC∠A=∠EBCAC=BE，
∴△ADC≌△BCE(SAS)；
(2)∵△ADC≌△BCE，
∴DC=CE，
∵DF=EF，
∴CF⊥DE．
【解析】(1)根据平行线性质得出∠A=∠EBC，根据SAS证出△ADC≌△BCE；
(2)由全等三角形的性质得出DC=CE，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，关键是求出DC=CE，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．
19.【答案】解：(1)设该商场购进的第一批洗手液的单价为x元/瓶，则第二批洗手液的单价为(x+1)元/瓶，
依题意得：2×4000x=8800x+1，
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的解，且符合题意，
答：该商场购进的第一批洗手液的单价为10元/瓶；
(2)共获利：(400010+880010+1−200)×13+200×13×0.9−(4000+8800)=2540(元)．
答：在这两笔生意中商场共获得2540元．
【解析】(1)设该商场购进的第一批洗手液的单价为x元/瓶，由题意：某商场用4000元购进一批洗手液后，供不应求，商场用8800元购进第二批这种洗手液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元．列出分式方程，解方程即可；
(2)根据题意，用总销售额减去总进价，即可解决问题．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵a2−8a+16+|b−1|=0，
∴(a−4)2+|b−1|=0，
且(a−4)2≥0，|b−1|≥0，
∴a−4=0，b−1=0，
∴a=4，b=1，
∴B(4,1)；
(2)如图1中，过B作BH⊥x轴于H．

∵B(4,1)，
∴BH=1，
由题意得OA=3t，OC=t，
∵△ACB是以AB斜边的等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCH=90°，
∵BH⊥x轴，
∴∠OHB=90°，
∴∠BCH+∠CBH=90°，
∴∠ACO=∠CBH，
∴∠AOC=∠CHB=90°，
在△AOC与△CHB中，
∠AOC=∠CHB∠ACO=∠CBHAC=CB，
∴△AOC≌△CHB(AAS)，
∴OC=BH=1，
∴t=1，
∴当t=1时，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形；
(3)过点A作AF⊥DB，交BD延长线于F，AF延长线交BC的延长线于点E．

∵∠AFB=∠ACB=90°，
∴∠1+∠E=90°，
∠2+∠E=90°，
∴∠2=∠1，
在△DCB与△ECA中，
∠2=∠1AC=BC∠DCB=∠ECA=90°，
∴△DCB≌△ECA (ASA)，
∴AE=DB=m，
在△BFA与△BFE中，
∠2=∠3BF=BF∠BFA=∠BFE=90°，
∴△BFA≌△BFE (ASA)，
∴AF=EF=12AE=12m，
∴S=12⋅BD⋅AF=12×m×12m=14m2．
【解析】(1)根据非负性得出a，b的值，进而解答即可；
(2)过B作BH⊥x轴于H，根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
(3)过点A作AF⊥DB，交BD延长线于F，AF延长线交BC的延长线于点E.根据全等三角形的判定和性质解答即可．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)C；
(2)①∵x2−4y2=(x+2y)(x−2y)，且x+2y=4，
∴12=4(x−2y)，
得：x−2y=3，
联立x+2y=4①x−2y=3②，
①+②，得2x=7，
解得：x=72；
②(1−122)(1−132)(1−142)⋯(1−120202)(1−120212)
=(1−12)(1+12)(1−13)(1+13)(1−14)(1+14)…(1−12020)(1+12020)(1−12021)(1+12021)
=12×32×23×43×34×54×⋯×19992020×20212020×20202021×20222021
=12×20222021
=10112021．
【解析】解：(1)第一个图形中阴影部分的面积是a2−b2，
第二个图形的面积是(a+b)(a−b)，
则a2−b2=(a+b)(a−b)．
故选：C；
(2)见答案：
(1)分别计算图1和图2中阴影部分的面积，根据面积相等即可得出答案；
(2)①逆用平方差公式，求出x−2y=3，联立方程组求x即可；
②逆用平方差公式，中间项全部约分掉，只剩下第一项和最后一项，从而得出答案．
本题考查了平方差公式，掌握a2−b2=(a+b)(a−b)是解题的关键．
22.【答案】解：(1)=；
(2)结论不变，AE=DB．
理由：如图2，过点E作EF/​/BC，交AC于点F．
∵EF/​/BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°．
∴△AEF是等边三角形，AE=EF=AF．
∴BE=CF．
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠D．
又∵∠ECF=60°−∠ECD，∠DEB=∠EBC−∠D=60°−∠D，
∴∠ECF=∠DEB．
在△BDE与△FEC中，
BE=FC∠DEB=∠ECFED=CE,
∴△BDE≌△FEC(SAS)，
∴BD=EF=AE．
∴AE=DB；
(3)解：分为两种情况：①CD=3；
②CD=1．
【解析】解：(1)∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，
∴∠BCE=30°，BE=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠BCE=30°，
∵∠ABD=120°，
∴∠DEB=30°，
∴DB=EB，
∴AE=DB，
故答案为：=；
(2)结论不变，AE=DB．
理由：如图2，过点E作EF/​/BC，交AC于点F．
∵EF/​/BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°．
∴△AEF是等边三角形，AE=EF=AF．
∴BE=CF．
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠D．
又∵∠ECF=60°−∠ECD，∠DEB=∠EBC−∠D=60°−∠D，
∴∠ECF=∠DEB．
在△BDE与△FEC中，
BE=CF∠ECF=∠DEBED=EC，
∴△BDE≌△FEC(SAS)，
∴BD=EF=AE．
∴AE=DB；
(3)解：分为两种情况：①如图3
过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM/​/EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=12BC=12，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM/​/EN，
∴∠BAM=∠BNE，
∵AB=1，AE=2．
∴AB=BE
在△AMB和△ENB中，∠BAM=∠BNEAB=BE∠ABM=∠EBN,
∴△AMB≌△ENB(ASA)，
∴MB=NB=12
∴CN=1+12=32，
∴CD=2CN=3；
②如图，延长BD至点F，使DF=BC，
∵EC=ED，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠BCE=∠FDE，
在△EBC和△EFD中，BC=DF∠BCE=∠FDEEC=ED,
∴△EBC≌△EFD(SAS)，
∴BE=EF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴△EBF是等边三角形，
∴BF=BE=3，
∴CD=BF−BC−DF=1
综上所述，CD=3或1．
(1)根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠EDB=∠BCE=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；
(2)过E作EF/​/BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；
(3)当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由三角形全等求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，第(3)题是难点，解题的关键是确定出有2种情况，求出每种情况的CD值．如图，在等边△ABC中，E为线段AB上一点，D为线段CB延长线上一点，且ED=EC，试确定AE与DB的大小关系，并说明理由．