福建省长乐第一中学2024届高三上学期1月考试数学试卷（解析版）

这是一份福建省长乐第一中学2024届高三上学期1月考试数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数单调性得到，解得答案.
【详解】在上是增函数，
则，解得.
故选：D.
2. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，角的终边经过点，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数定义得到，进而利用正弦差角公式求出答案.
【详解】由三角函数定义得，，
所以.
故选：C
3. 在三棱锥 中，侧棱，则其外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据可得到点在底面的射影为底面三角形的外心，从而判断三棱锥的外接球球心在上，分别求得和,设出外接球半径，借助于直角三角形即可求得.
【详解】
如图，设的外接圆半径为，由正弦定理：，解得：，
过点作平面，垂足为，
分别连接，因，故，即点是的外心，
则
依题，三棱锥 的外接球球心必在直线上，连接,不妨设外接球半径为，
则,
在中，由勾股定理，，解得：
故外接球的表面积为
故选：B.
4. 2021年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于12秒与18秒之间，抽取其中100个样本，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，…，第六组，得到如下频率分布直方图，则该100名考生的成绩的平均数和中位数（保留一位小数）分别是（ ）
A. 15.2 15.4B. 15.1 15.4C. 15.1 15.3D. 15.2 15.3
【答案】C
【解析】
【分析】利用平均数和中位数的定义求解.
【详解】100名考生成绩的平均数
，
因为前三组面积和为，
前四组面积和为，
所以中位数位于第四组内，设中位数为，
则有，
解得，
故选：C.
5. 已知双曲线：的虚轴长与实轴长的差为2，点，，坐标原点到直线的距离为，则的焦距为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】中由面积得出一个关于的等式，再由及列方程组求得，从而得结论．
【详解】由题意得，则，
得所以的焦距为.
故选：C．
6. 定义：在数列中，若对任意的都满足为常数，则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题中条件可求得数列的通项公式，继而，利用通项公式计算即可.
【详解】因为等差比数列，，，，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以，
所以
故选：
7. 已知函数及其导函数的定义域均为R，及，若，均为偶函数，则下列说法正确的是（ ）．
A. B. 的周期为2
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断.
【详解】因为是偶函数，则，即关于对称，
对两边同时求导可得：，
即，所以关于对称，
又因为是偶函数可得，即关于对称．
从而得的周期为4．所以的周期也为4．
对于选项A，因为若满足题意，则也满足题意．故的值不确定，所以A错；
对于选项B， 的周期为4，所以B错；
对于选项C， 的周期也为4，所以，所以C对；
对于选项D，关于对称，所以，所以D错．
故选：C．
8. 2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不同的站法共有（ ）种．
A. 144B. 72C. 36D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】利用相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法求解即可.
【详解】先将不相邻的两队排除，将贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队看成一个整体，与余下两队先排，有种方法，再将不相邻的两队插入他们的空隙中，有种方法，最后落实贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队的具体排法有种方法，故不同的站法有种.
故选：A.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的.正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若是第一象限角，则
B. 终边经过点的角的集合是
C. 对，恒成立
D. 若，且，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由所在象限得出的范围，进而可得的范围，即可判断A；根据角的终边经过点可写出角的集合即可判断B；根据同角的三角函数关系结合角的范围，可判断C；将平方，从而可求得的符号，求出的值，进而可判断D.
【详解】对于A，若是第一象限角，则，
则，
当时，，为第一象限角，
当时，，为第三象限角，
所以是第一或第三象限角，故；，故A正确；
对于B，终边经过点的角的终边落在第一、三象限的角平分线上，
即角的集合是，故B错误；
对于C，当时，，
则，故C正确；
对于D，若，则，
即若，所以，
则，
又，则，所以，
故，D正确.
故选：ACD.
10. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是（ ）

A. B. 平面ABCD
C. 三棱锥的体积为定值D. 的面积与的面积相等
【答案】ABC
【解析】
【分析】选项A，用线面垂直的判定定理得出：平面，进而得出；
选项B，应用面面平行的性质，得出：平面平面，进而得到平面；
选项C，线面平行的判定定理，不难得出，从大的三棱锥中观察，到的距离始终是定值；
选项D，设，取的中点，运用平面几何性质：，所以，D选项错误.
【详解】对于A选项，连接、，因为四边形为正方形，则，
平面，平面，，
平面，所以平面，
因为平面，因此，A选项正确；
对于B选项，因为平面平面，平面，
所以平面，B选项正确；
对于C选项，因为，，
所以，故，
故点到平面的距离为定值.
因为的面积为，
点到平面的距离为定值，
故三棱锥的体积为定值，C选项正确；
对于D选项，设，取的中点，连接、，
由A选项可知，平面，即平面，
平面，则，因为且，
故四边形为平行四边形，则且，
因为、分别为、的中点，
故且，所以四边形为平行四边形，
平面，平面，
所以，故四边形为矩形，所以，平面，所以平面，
平面，，，
所以，D选项错误.

故选：ABC.
11. 函数的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对的取值进行分类讨论，利用导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象.
【详解】当时，是偶函数，当时，为减函数，此时对应图象可能是C；
当时，，令得，为非奇非偶函数，且，
令其对应方程的，设其对应方程的两根分别为，，，
所以，，，，，，
即函数在和上单调递减，在上单调递增，由单调性判断此时对应图象可能是B；
当时，为非奇非偶函数，在处无定义，
取时且单增，
时且单增，时单增，
此时对应图象可能是D；
对于A，由于图象无间断点，故，但此时在上不可能恒正，
故选：BCD.
12. 下列关于随机变量的说法正确的是（ ）
A. 若服从正态分布，则
B. 已知随机变量服从二项分布，且，随机变量服从正态分布，若，则
C. 若服从超几何分布，则期望
D. 若服从二项分布，则方差
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，先得到，进而根据方差的性质得到答案；B选项，根据二项分布求出概率，得到方程，求出，再根据正态分布的对称性求出概率；C选项，根据超几何分布的期望公式求出答案；D选项，由二项分布方差公式求出D正确.
【详解】对A，由于，所以，
根据方差的性质，，故A正确；
对B，服从二项分布，
∴，解得，
∴，根据正态分布的对称性可得，，故B错误；
对C，服从超几何分布，根据超几何分布的期望公式，，故C正确；
对D，服从二项分布，根据二项分布方差公式得，
，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知为定义在上的偶函数，在区间上单调递减，且满足，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用偶函数的性质及函数单调性求解即得.
【详解】因为为定义在上的偶函数，则不等式，
不等式化为或，而，于是为或，
又函数在区间上单调递减，则在上单调递增，
解，得，解，得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
14. 已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合图形及圆锥的性质可表示出的面积，进而可得底面圆的半径及圆锥的母线，然后根据圆锥的侧面积公式即得.
【详解】∵与圆锥底面所成角为，如图设为圆锥的底面圆的圆心，则垂直底面，
∴为等腰直角三角形，
设，则，，
在中，，则，
∴，解得，
∴，即母线长，
∴该圆锥的侧面积为．
故答案为：.
15. 已知椭圆与双曲线（，）具有相同的左、右焦点、，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据椭圆、双曲线的定义得，结合离心率得，在中利用余弦定理得，结合椭圆性质知：当为短轴顶点时取到最大值，分析求解即可.
【详解】由题设，又，
直线与轴的交点的坐标为，则，
中，
综上，，整理得，可得或（舍），
由，则，
由椭圆性质知：当短轴顶点时取到最大，此时，
由，则，即，故.

故答案为：
【点睛】关键点点睛：关键在于找到的两种表达方式，构造了关于的方程，从而得解.
16. 已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】代入，得出.根据求出的表达式，代入检验，即可得出答案.
【详解】当时，.
当时，.
因为，
所以，.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知定义域为的函数是奇函数.
（1）判断的单调性，并证明；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）在R上是递减函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数性质求得，再由单调性定义判断函数单调性即可；
（2）根据函数奇偶性、单调性可得，再由对数函数性质求解集即可
【小问1详解】
因为是定义在R上的奇函数，则，
即
，解得，
所以，故在R上是递减函数．
证明：任取、，且，
则，又，
∴，即，故是定义在R上的递减函数；
【小问2详解】
∵，∴，
是R上的奇函数，∴，
是R上的减函数，∴，
∴，解得，
∴不等式的解集为．
18. 如图，在正方体中，E是的中点.

（1）求证：平面；
（2）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面；
（2）利用等体积法，求三棱锥的体积.
【小问1详解】
证明：因为在正方体中，，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以，
三角形ABC的面积，
三棱锥的体积.
19. 已知向量满足，且的夹角为.
（1）求的模；
（2）若与互相垂直，求λ的值.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据向量满足，且的夹角为，由求解；
（2）根据与互相垂直，由求解.
【小问1详解】
因为向量满足，且的夹角为，
所以，
解得；
【小问2详解】
因为与互相垂直，
所以，
，
即，解得或.
20. 在中，角，，的对边分别为，，，面积为，在下列三个条件中任选一个，解答下面的问题．①，②，③．
（1）求角的大小；
（2）若外接圆的面积为，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）选①，根据条件、正弦定理以及三角恒等变换进行化简即可求解；选②，根据条件、余弦定理以及三角形的面积公式进行化简即可求解；选③，根据条件以及射影定理进行化简即可求解；
（2）先根据题意求出外接圆的半径，再结合（1）及正弦定理求出，再根据余弦定理，基本不等式及三角形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
选①，由，
则根据正弦定理得，
在中，有，
则，
又，所以，即，
又，所以．
选②，由，
则根据余弦定理可得，
在中，有，
所以，即，
又，所以．
选③，由，
在中，根据射影定理可得，
所以，即，
又，所以．
【小问2详解】
因为外接圆的面积为，所以外接圆半径为，
又结合（1）可知，则根据正弦定理可得，
则根据余弦定理可得，
又，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以面积，
所以的最大值为．
21. 已知等差数列满足，，公比不为等比数列满足，．
（1）求与通项公式；
（2）设，求的前项和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）通过求首项、公差、公比来求得与通项公式.
（2）利用裂项求和法来求得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，解得，则；
，由于，则，
故解得，则.
【小问2详解】
，
所以.
22. 某工厂注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线．现对这两条生产线生产产品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）制成如下所示列联表：
（1）通过计算判断，是否有的把握认为产品质量与生产线有关系？
（2）现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品．若在这6件产品中随机抽取3件，求这3件产品中产自于甲生产线的件数的分布列和数学期望．
附表及公式：
其中．
【答案】22. 有的把握认为产品质量与生产线有关系
23. 的分布列见解析，数学期望为1
【解析】
【分析】（1）根据列联表,求得,即可判断；
（2）用分层抽样的方法抽取6件产品，从甲、乙生产线分别抽取2,4件，结合超几何分布求分布列和期望.
【小问1详解】
，
所以有的把握认为产品质量与生产线有关系.
【小问2详解】
在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取6件产品，
则应在甲生产线抽取件产品，在乙生产线抽取件产品，
由题意可知：，则：
，
可得的分布列为
所以的数学期望.
23. 己知双曲线的一条渐近线为，且双曲线的虚轴长为.
（1）求双曲线的方程；
（2）记为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线相交于不同的两点，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程.
（2）先求得直线的方程并与双曲线的方程联立，由此求得的坐标，进而求得的面积.
【小问1详解】
双曲线的一条渐近线为，
所以，虚轴长，所以，
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
直线的方程为，
由消去并化简得，
解得，
所以由解得，
所以.
良
优
合计
甲生产线
40
80
120
乙生产线
80
100
180
合计
120
180
300
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
0
1
2