2023-2024学年福建省莆田市哲理中学高二上学期综合训练二数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省莆田市哲理中学高二上学期综合训练二数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，直线过点且与射线相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】D
【分析】求出直线的斜率，结合图象即可得解.
【详解】根据题意，在平面直角坐标系中，作出点，如图，
，
因为直线过点且与射线相交，
由图可知，所以直线的斜率或.
故选：D.
2．设是数列的前项和，已知且，则（ ）
A．9B．27C．81D．101
【答案】B
【分析】时，，作差得数列从第二项起成等比数列，即可求解.
【详解】时，，
时，，
作差得，即,
所以数列从第二项起成等比数列，
所以.
故选：B.
3．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解.
【详解】记，则为直线的斜率，
故当直线与半圆相切时，斜率最小，
设，则，解得或（舍去），
即的最小值为.
故选：C.

4．在圆的上任取一点，过作轴的垂线段，垂足为D，并延长至M，使得，则点M的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，设，则，然后代入圆的方程，化简即可得到结果.
【详解】
设，则，又点在圆上，所以，
化简可得，所以点M的轨迹方程是.
故选：C
5．椭圆的两焦点为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两边，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用题干可得，则，构建的等量关系即可求离心率.
【详解】由题可知等边的边的中点为，
所以可得，所以，
由椭圆定义可得，即，
则离心率.
故选：D
6．已知是抛物线：上一点，过的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A．24B．28C．30D．32
【答案】D
【分析】求出抛物线方程后，设，不妨设，设直线的方程为，联立直线和抛物线方程消元后，利用韦达定理及抛物线的定义可得，利用基本不等式即可求出最小值.
【详解】因为是抛物线上一点，
所以，故，
则抛物线方程为，
设，不妨设，
设直线的方程为，
联立，
所以，
，
则，
当且仅当且时，等号成立，
故的最小值为，
故选：
7．已知数列通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据数列的单调性，即可根据对恒成立，以及求解.
【详解】当时，恒成立，
所以对恒成立，故，
又当时，为单调递增的数列，
故要使对任意，都有，则，即，
解得，
综上可得，
故选:C
8．已知双曲线的一条渐近线恰好是圆的切线，且双曲线的一个焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，求出双曲线的渐近线方程，再根据焦点到渐近线的距离为，求得双曲线的参数，即可确定双曲线方程.
【详解】由题意可知：圆的圆心，半径为，
且，可知原点在圆上，直线的斜率，
又因为双曲线的一条渐近线恰好是圆切线，
则双曲线的一条渐近线方程的斜率为，可知，即，
根据对称性不妨取一条渐近线的方程为，即，焦点为，
由题意可得：，解得，
又因为，可得，，
所以双曲线的方程为.
故选：D.
二、多选题
9．已知数列满足，数列满足，记数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等差数列B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】由题意可得，再根据等差数列的定义及性质即可判断AB；求出数列和的通项，再利用裂项相消法即可求出，从而可判断CD.
【详解】因为，所以，
所以，且，
所以数列是等差数列，且该数列的首项为1，公差为，
所以，所以选项AB正确；
因为，所以，
所以，
所以
，所以选项C正确，D错误．
故选：ABC．
10．在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据和点到直线的距离公式结合的面积是可得，；
由公式，可得，.
【详解】由题意得，设直线：即，
则点到直线的距离是，
所以，得，所以，
，，所以AC正确，
故选：AC.
11．下列结论正确的是（ ）
A．若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为
B．表示双曲线
C．设椭圆的两个焦点分别为，短轴的一个端点为.若为钝角，则离心率的取值范围是
D．等轴双曲线的中心为O，焦点为为上的任意一点，则恒成立.
【答案】BD
【分析】结合双曲线的渐近线方程求解即可判断A；结合判断，的范围，进而判断方程表示何种曲线，即可判断B；由题意可得，进而求解判断C；不妨设等轴双曲线的方程为，设，进而结合两点间的距离公式验证即可判断D.
【详解】对于A，由题意，双曲线的一条渐近线方程为，即，
则或，即或，
整理得或，所以双曲线的离心率为或，故A错误；
对于B，因为，则，，
即，，
则方程，即表示焦点在轴上的双曲线，故B正确；
对于C，因为为钝角，则，
又，则，即离心率的取值范围是，故C错误；
对于D，不妨设等轴双曲线的方程为，则，
则，，设，则，即，
所以，
，
，
所以，
因为，即，所以，即，
所以，故D正确.
故选：BD.
12．在平面直角坐标系中，已知，点满足的斜率之积为，点的运动轨迹记为.下列结论正确的（ ）
A．轨迹的方程 （）
B．存在点使得
C．点，则的最小值为
D．斜率为的直线与轨迹交于，两点，点为的中点，则直线的斜率为
【答案】AD
【分析】先设动点坐标，根据条件斜率之积为列方程可判断A； 根据圆的直径所对圆周角为判断B；由椭圆的定义表示出，再利用三点共线取出最值可判断C；设，则由题意可得，两式相减化简结合斜率公式可求判断D.
【详解】对于A，由已知设点的坐标为，由题意知
，
化简得点的轨迹方程为，故A正确；
对于B，由椭圆方程知，，，，
若，则点在以线段为直径的圆上，
以线段为直径的圆的方程为的圆在椭圆外，
所以椭圆上不存在满足，B错误；
对于C，由设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义为，
所以，所以，
当且仅当为的延长线与椭圆的交点时，等号成立.故C正确.
对于D，设，因为点为的中点，
所以设，因为在椭圆上，
所以，两式相减得，
，即，
所以，所以，
则直线的斜率为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．数列满足：，则的值为 .
【答案】
【分析】根据数列的通项公式逐个代入，当代入到第五个时，发现出现重复，则数列存在周期，利用周期的特点求值即可.
【详解】解：∵，，
∴当时，，
当时，，
依此类推，，，，
∴数列为周期数列，周期，
∴.
故答案为：.
14．直线过点且与椭圆相交于，两点，若点为弦的中点，则直线的斜率为 ．
【答案】/
【分析】设出，两点的坐标，代入椭圆方程作差后化简得出，再通过中点坐标与两端点坐标关系结合已知得出，代入即可解出答案.
【详解】设，两点的坐标分别为，，
直线与椭圆相交于，两点，
，作差得：，
即，
即，
点在椭圆内，且为弦的中点，
，代入解得：，
故直线的斜率.
故答案为：.
15．已知是抛物线：的焦点，点，过点的直线与交于，两点，是线段的中点．若，则直线的斜率 ．
【答案】2
【分析】方法一：设直线：，设，，联立直线与抛物线的方程求出，由可得，将韦达定理代入化简即可得出答案；方法二：设，，在准线上的射影分别是，，，由题意可得出轴，设，，：，联立直线与抛物线的方程可得，解方程即可得出答案.
【详解】方法一：由题意，，设直线：，其中，
联立消去得，，
设，，则，，
又，则，即，
而，，
则，
即，
即，
所以，解得，所
以.
方法二：如下图，由题意，，点在准线上，
设，，在准线上的射影分别是，，，
则，
所以轴，
设，，：，
联立消去得，
所以，所以，
故答案为：2．

16．已知双曲线的左､右焦点分别是.点为左支上的一点，过作与轴垂直的直线，若到的距离满足，则的离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】设，，表达出，，从而得到关于的一元二次方程，转化为关于的一元二次方程在上有解问题，结合根的判别式和特殊点的函数值，得到，求出离心率的取值范围.
【详解】设，，则，
由题意得，，，
则，
两边平方得，整理得，
又，
所以，
变形得到，
即上式在上有解，
其中，
令，
则，
，
要想使得在上有解，
只需要开口向上，即，
即，所以，，解得
故离心率的取值范围是.

故答案为：
【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).
四、解答题
17．已知数列的首项为3，且满足.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，化简得到，结合等比数列的定义，即可得证；
（2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）由数列的首项为，且满足，
可得，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得，可得，
所以数列的前项和.
18．已知点，，点A关于直线的对称点为B.
(1)求的外接圆的方程；
(2)过点作的外接圆的切线，求切线方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用的垂直平分线和已知直线求圆心，再由两点间距离公式求半径，然后可得；
（2）分斜率存在和不存在讨论，利用圆心到直线距离等于半径求解可得.
【详解】（1），的垂直平分线方程为，
由题知，的垂直平分线方程为，
由，得圆心，半径，
所以的外接圆方程是.
（2）因为，则点在圆外，则过点作圆的切线有两条.
当切线斜率不存在时，直线方程为，易知满足题意；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
由题意得，圆心到切线的距离，解得，
所以切线方程为.
综上，切线方程为或.
19．已知双曲线的渐近线方程为，且点在该双曲线上.
(1)求双曲线方程；
(2)若点，分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线上一点满足，求的面积.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）根据双曲线渐近线方程得，根据点在双曲线上列方程，最后解方程组得出双曲线的方程；
（2）根据双曲线定义和列方程组求解，再根据三角形面积公式计算面积可得出答案.
【详解】（1）由题知，解得，
所以双曲线C的方程为：
（2）
根据双曲线的定义得，
解方程得，
【点睛】 考查双曲线方程求解及焦点三角形的面积求解，属基础题.
20．已知等比数列的公比，若，且分别是等差数列的第1，3，5项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据等差、等比数列的知识求得首项和公差、公比，从而求得.
（2）利用错位相减求和法求得.
【详解】（1）由题意得，，
，，解得（舍去）
则，解得，所以.
则，
设等差数列的公差为，则，
所以.
（2）.
所以，
两式相减得，
.
21．椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线过点，且与椭圆相交于两点，又点是椭圆的下顶点，当面积最大时，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆几何性质求解即可；
（2）设，直线：，并联立直线和椭圆方程求出，，再将面积表达出即可利用求函数最值的方法求出直线.
【详解】（1）令，
由题意得：，解得，则
∴椭圆的方程为：.
（2）
由题意可知，直线斜率必存在，故设，直线：，
联立，得，。
，，
，
令，则，
又∵在单调递增，
∴当即即时，面积最大，
此时直线：.
22．已知动圆过定点，且与直线相切.
(1)求动圆圆心C的轨迹的方程.
(2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当，变化且为定值，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
【分析】（1）根据已知的几何关系，结合抛物线的定义求解轨迹方程即可；
（2）首先设，，，设直线AB的方程为：，联立方程结合韦达定理可得，，再利用题干条件，得到两条直线的斜率关系，即可得到，将韦达定理的结果代入得到，进而判断直线恒过的定点.
【详解】（1）设动圆圆心，设C到直线的距离为d，则，
∴点C的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线.
设抛物线方程为：，由，得，
∴点C的轨迹方程为：.
（2）设，，，
∵，显然直线AB斜率存在，
∴设直线AB的方程为：
，消x得：
，
设OA的斜率为，OB的斜率为，
∵
则，，
∴，∴，∴，∴，
∴直线AB的方程为：，即，恒过定点