2023-2024学年上海市向明中学高二上学期12月质量监控考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市向明中学高二上学期12月质量监控考试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，，则 .
【答案】或/或
【分析】由空间两条平行线的性质和等角定理，可得与相等或与互补，由此不难得到正确答案．
【详解】①若角的两边和角的两边分别平行，且方向相同，则与相等
此时；
②当角的两边和角的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则与互补，
此时．
故答案为：或
2．在正方体中，，则直线到平面的距离为 ．
【答案】2
【分析】根据已知先得出平面.然后求出点到平面的距离，即可得出答案.
【详解】根据正方体的性质可知，.
又平面，平面，
所以，平面.
所以，点A到平面的距离，即等于直线到平面的距离.
又平面，所以点A到平面的距离即为.
所以，直线到平面的距离为2.

故答案为：2.
3．为了解黄浦区全体高二学生“小三门”的选科情况，区教育局共联络了950名黄浦区在读高二学生进行调查，在这项调查中，样本量是 .
【答案】950
【分析】根据样本量的定义即可求解.
【详解】由题意可知样本量为：950
故答案为：950
4．圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的高为 ．
【答案】
【分析】直接根据圆锥的图形特点计算即可.
【详解】由已知得该圆锥的高为.
故答案为：.
5．如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，，则的面积为 .

【答案】12
【分析】根据斜二测画法，将直观图还原可知原三角形为直角三角形，求出两直角边的长度，即可得出答案.
【详解】
如图，根据斜二测画法，将直观图还原后，得到的为直角三角形，
且两条直角边，，
所以，的面积为.
故答案为：12.
6．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则 ．
【答案】
【分析】根据，可得两平面的法向量共线，再根据空间向量的共线定理即可得解.
【详解】因为，
所以两平面的法向量共线，
所以存在唯一实数，使得，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
7．已知在一次随机试验中，定义两个随机事件，，且，，，则 .
【答案】0.4/
【分析】利用概率的基本性质及事件的运算求概率即可.
【详解】由题意.
故答案为：0.4.
8．长方体的8个顶点都在同一个球面上，且，，，则球的表面积为 ．
【答案】
【分析】根据已知求出长方体的体对角线的长，即可得出外接球的半径，进而根据球的表面积公式得出答案.
【详解】因为，长方体外接球的直径即等于长方体的体对角线，
且，
所以，
，
所以，，
所以，外接球的半径，表面积为.

故答案为：.
9．棱锥被一平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的高与体积时，相应的截面面积分别为，，则 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用棱锥平行于底面的截面性质，把分别用底面面积表示即可得解.
【详解】如图，平行于锥体底面的截面与锥体的高，棱分别交于点，
显然平面平面，令截面面积为，锥体底面面积为
有，且与方向相同，则，
同理，于是∽，有，
而，则，由比例的性质可得，
此时，截得的锥体的体积与原锥体的体积有：，
当截面平分棱锥的高时，，即，
当截面平分棱锥的体积时，，则，
所以.
故答案为：.
10．桌上有三个纸杯，正中间那一个有巧克力，现采取如下操作：将正中间那个纸杯和左右两边中的任意一个纸杯互换，记为一次操作，重复上述操作4次，则正中间纸杯中有巧克力的概率是 .
【答案】/0.375
【分析】利用列举法即可求解.
【详解】经过第一次操作后，纸杯按从左到右的顺序情况为（有无无）和（无无有），概率各为，
根据对称，接下来只考虑（有无无）的情况，
经过第二次操作后，纸杯按从左到右的顺序情况为（无有无）和（有无无），
经过第三次操作后，纸杯按从左到右的顺序情况为（有无无），（无无有），（无有无）和（有无无），
经过第四次操作后，纸杯按从左到右的顺序情况为（无有无），（有无无），（无无有），（无有无），（有无无），（无无有），（无有无），（有无无）
所以操作4次，则正中间纸杯中有巧克力的情况有3种，故当（无无有）的情况时也有3种符合条件的情况，
故重复上述操作4次，则正中间纸杯中有巧克力的概率是，
故答案为：
11．如图，已知正方体的棱长为2，P为正方形底面内的一动点，则以下结论：
（1）三棱锥的体积为定值；
（2）若点为的中点，满足平面的点的轨迹长度为2；
（3）若，则点在正方形底面内的运动轨迹是线段；
（4）以点为球心，为半径的球面与面的交线长为．正确的有 ．（填写所有正确结论的序号）

【答案】（1）（3）（4）
【分析】由三棱锥的性质可得（1）；先证面面平行，找到点的轨迹为，再求长度即可判断（2）；证明即可判断（3）；利用等体积法求出球心到截面的距离，再求交线长度即可判断（4）.
【详解】
对于（1），以相同顶点命名的三棱锥体积相同，故三棱锥的体积等于的体积，因为点到上底面的距离等于棱长，故（1）正确；
对于（2），取的中点分别为，连接，
由图像可知，，
又因为，
，当点在上时，
因为正方体棱长为，的中点分别为
所以，
故（2）错误；
对于（3），以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，
则
，
且，且都在平面内，
所以，
所以点的轨迹是线段，故（3）正确；
对于（4），为正三角形，设点到平面的距离为，点到平面的距离为，
由等体积法，可得
解得，
故以点为球心，为半径的球面与面的交线长为
故（4）正确；
故答案为：（1）（3）（4）
【点睛】本题为立体几何压轴题，（1）直接求即可；（2）面面平行得到线面平行，再用勾股定理求长度；（3）为线面垂直找轨迹，（4）等体积法求交线的长度；分析量比较大，属于较难题型.
12．空间中有三个向量，，，与的夹角为，，与的夹角等于与的夹角，记为.对任意，存在实数，，使成立，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意，作图，结合空间向量运算的几何性质，可得答案.
【详解】由题意，在四棱锥中，平面于，
在底面内，于，连接，，如下图所示：
设空间向量，，，由题意可知：，，，
由四点共面，根据平面向量基本定理，则存在，使得，
所以，
由平面，且平面，所以，
在中，，
在中，，
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，在中，
易知在四棱锥中，一定存在，则，
当时，，此时；
当平面时，取得最大值，即.
综上所述，.
故答案为：.
二、单选题
13．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为，经调查，某市市场上的食用油大约有个品牌，则不合格的食用油品牌大约有（ ）
A．个B．个
C．个D．个
【答案】C
【分析】先求出市场上食用油不合格率，再根据频数样本容量频率可得结果.
【详解】因为市场上食用油合格率为，所以市场上食用油不合格率为，
又市场上的食用油大约有个品牌，所以不合格的食用油品牌大约有个.
故选：C
14．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
【答案】C
【分析】根据直线、平面间的位置关系判断．
【详解】选项A中，直线可能平行，可能相交也可能异面，A错；
选项B中，平面也可能相交（只要直线与这两个相交平面的交线平行，即满足已知），B错；
选项C中，，设直线是平面内任一直线，则，又，所以（含相交垂直与异面垂直），因此，C正确；
选项D中，直线可能平行，可能异面，D错．
故选：C．
15．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，设事件“第一次点数为偶数”，事件“第二次点数为3的倍数”，则（ ）
A．与是互斥事件B．与是互为对立事件
C．D．
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式，结合互斥事件与对立事件的定义即可得解.
【详解】依题意，一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次的基本事件有件，
事件的基本事件有件，事件的基本事件有件，
事件的基本事件有件，事件的基本事件有件，
所以，
故，，
所以与不是互斥事件，更不是对立事件，故ABD错误，C正确.
故选：C.
16．已知正方体是一个棱长为2的正方体容器，，分别为，的中点，下列选项中正确的是（ ）
命题甲：过，，三点的截面面积为.
命题乙：若，，为三个小孔（孔的大小忽略不计），则此时容器的最大装水量为6
A．命题甲和命题乙都为真命题
B．命题甲和命题乙都为假命题
C．命题甲为真命题，命题乙为假命题
D．命题甲为假命题，命题乙为真命题
【答案】A
【分析】对于命题甲，连接三点，求解截面积，判断真假；对于命题乙，分类讨论水平面经过点的个数，结合体积公式以及基本不等式运算求解.
【详解】对于命题甲，过三点的截面，连接 可得如图所示，可得，与之间的距离为，
则截面积,
故甲是真命题;
对于命题乙，1.当处的小孔都在水平面时，则三棱台,
则所以容器所装水的多面体的体积,
2.当只有1个小孔在水平面上方时，
（1）当处的小孔在水平面上方时，如图；当处的小孔在水平面上方时，如图；显然这两种情况，容器所装水的体积比多面体的体积小，不会最大，
（2）当处的小孔在水平面上方时，设水面所在平面为，
①当在线段上时，如图，设，，则，
因为正方体的体积为，
棱台的体积为，
可得，当且仅当，即时取等号，
所以棱台的体积无最小值，此时该容器可装水的体积小于.
②当在线段上时，如图，设，的中点为，
可知：水平面为平行四边形，且四棱锥与四棱锥的体积相同，
可知：多面体的体积与三棱柱的体积相同，
所以三棱柱的体积为，
此时该容器可装水的体积为.
综上所述：该容器可装水的最大体积为6.
故命题乙是真命题.
故选：A.
【点睛】分类讨论水平面经过点，的个数，结合图形分析求解.
三、解答题
17．已知集合，，，，，记事件与所成角为锐角，求事件的概率.
【答案】
【分析】根据向量不共线，由所成角为锐角可得数量积为正数，即可根据列举所有符合条件的数对，即可由古典概型的概率公式求解.
【详解】当共线时，此时，所以，
由于,，故,无解，因此不共线，
当与所成角为锐角时，则，
所以的取值有共有10种，
故
18．如图，是圆柱的一条母线，AB是圆柱的底面直径，C在圆柱下底面圆周上，M是线段的中点.已知，.
(1)求圆柱的侧面积；
(2)求证：
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据圆柱的侧面积公式进行求解即可；
（2）根据圆柱的几何性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可.
【详解】（1）因为AB是圆柱的底面直径，
所以，，，所以，
所以圆柱的侧面积为.
（2）因为底面，底面，
所以
又因为，平面，
所以平面
因为平面，所以.
19．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意可以D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理可证明共面，即可证明平面；
（2）由空间向量数量积为零可证明，，再由线面垂直的判定定理即可证明平面.
【详解】（1）根据题意可知平面平面，
平面平面，
又是正方形，所以，平面，

所以平面，
即，，两两垂直；
以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
又为的中点，所以，
则，
所以，故共面．
又平面，
所以平面；
（2）
易知，所以；
又，可得；
又，平面，
所以平面.
20．已知一个袋子中有4个红球（标号为1，2，3，4）、2个黑球（标号为5，6），这些球的大小和质地都相同（即每个球被摸到的可能性相同）．现在不放回的摸出两个球，用表示第一次摸到号球，第二次摸到号球，样本空间．记事件：恰有一次摸到红球；事件：至少有一次摸到红球；事件：第一次摸到球的标号小于第二次摸到球的标号．
(1)写出事件相应的样本空间的子集（用列举法），并求出事件的概率；
(2)判断事件与事件的是否为相互独立？并说明理由．
【答案】(1)样本空间见解析；
(2)相互独立；理由见解析
【分析】（1）根据题意，求得不放回地摸出2个球的总数，再利用列举法求得恰有一次摸到红球所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）根据题意，利用列举法，结合古典摡型的概率公式，分别求得事件和事件的概率，由，得到事件与事件相互独立.
【详解】（1）根据题意，不放回地摸出2个球有种不同的摸法，
其中恰有一次摸到红球所包含的基本事件的空间为
，共有16种情况，
所以事件的概率为.
（2）根据题意，不放回地摸出2个球有种不同的摸法，
其中至少有一次摸到红球，有
，共有28种情况，所以，
第一次摸到球的标号小于第二次摸到球的标号，有
，共有15种情况，
所以,
又由事件中所包含的基本事件空间为
，共有14种情况，可得，
所以，所以事件与事件相互独立.
21．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，为棱的中点.
(1)求直线与平面所成线面角的大小（结果用反三角函数表示）；
(2)求二面角的余弦值；
(3)探究在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在点，使得点到平面的距离是，
【分析】（1）根据，，，证明，即可由面面垂直的性质得线面垂直，由线面角的几何法即可求解，
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可由向量法求解；
（3）根据空间距离的向量法即可求解.
【详解】（1）由于，则，，，所以，故，
由于平面平面，且其交线为，，平面,
所以平面，故为直线与平面所成线面角，
由于故,
故直线与平面所成线面角为，
（2），，，
，，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，
又，平面，，，由，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：
则,0,,,0,,,0,,,2,，为棱的中点，
,1,,, 1,，
,1,,,1,,
设平面的一个法向量为,,，
则，令，则，，
,,，
平面的一个法向量为,0,，
,，
二面角的余弦值为；
（3）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是，
设，，则,0,,,,，
由（2）知平面的一个法向量为,,，
，
点到平面的距离是，
或，由于，所以，．