2023-2024学年福建省泉州市德化第一中学高二上学期第二次质量检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省泉州市德化第一中学高二上学期第二次质量检测数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．两平行直线，的距离等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】借助两平行线的距离公式即可得.
【详解】即为，
则.
故选：B.
2．当点在圆上运动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设点，的中点的坐标为，根据已知中点关系建立关系式，利用变换代入化简即可.
【详解】设点，的中点的坐标为，
，由中点坐标公式可得，可得，
又点在圆，则，即.
因此，线段的中点的轨迹方程为.
故选：C.
3．已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设双曲线方程为，由题意算出即可.
【详解】椭圆：，上、下顶点分别为，，上、下焦点分别为，.
因为双曲线的焦点与的上、下顶点相同，且经过的焦点，
设双曲线方程为，则有，，，
所以双曲线的方程为.
故选：C
4．已知向量，且，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，设，即，，，2，，分析可得、的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．
【详解】根据题意，向量，2，，，，，且，
则设，即，，，2，，
则有，则，，
则，，，故；
故选：A．
5．若直线与圆相切，则实数的值为（ ）
A．或B．1或
C．或3D．或
【答案】C
【分析】借助圆心到切线的距离等于半径，计算即可得.
【详解】由圆心为，半径为，
即，
则，
解得或.
故选：C.
6．两直线，，则直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设所求直线方程为，根据所求直线到直线的距离等于直线、间的距离可得出关于的等式，求出的值，即可得出所求直线的方程.
【详解】设所求直线方程为，
由题意可知，所求直线到直线的距离等于直线、间的距离，
所以，，，解得.
因此，所求直线的方程为.
故选：D.
7．已知是棱长为1的正方体，若在正方体内部且满足，则到的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系后由点到直线距离公式即可得.
【详解】
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则有，，，，
则，，，
故，
故到的距离
.
故选：B.
8．已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得是的中位线， ，可得Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项.
【详解】因为P是焦点为，的椭圆上的一点，为的外角平分线，，设的延长线交的延长线于点M，所以，
，
所以由题意得是的中位线，所以，
所以Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q与y轴重合时，
Q与短轴端点取最近距离
故选：A.

二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为120°
B．经过点，且在轴上截距互为相反数的直线方程为
C．直线恒过定点
D．直线，，则或0
【答案】AC
【分析】根据直线方程求得斜率为，得到，可判定A正确；当直线过原点时，得到，满足题意，可判定B错误；化简得到，进而可判定C正确；根据直线的一般式的条件和垂直关系，列出方程，可判定D不正确.
【详解】对于A中，设直线的倾斜角为，由直线，可得斜率为，
即，因为，所以，所以A正确；
对于B中，当直线过原点时，此时过点直线方程为，即，满足题意；
当直线不过原点时，要使得直线在轴上截距互为相反数，可得所求直线的斜率，
所以点的直线方程为，即，所以B错误；
对于C中，直线，可化为，
由方程组，解得，所以直线恒过点，所以C正确；
对于D中，由直线，
若，可得且，解得，所以D不正确.
故选：AC.
10．已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】设，可得，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围，可判断AB选项；利用距离的几何意义求出的最大值，可判断C选项；设，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围，可判断D选项.
【详解】将方程化为标准方程可得，
圆的圆心为，半径为，
对于A选项，设，可得，
则直线与圆有公共点，
所以，，整理可得，解得，AB都对；
对于C选项，代数式的几何意义为圆上的点到原点的距离的平方，如下图所示：
由图可知，当点为射线与圆的交点时，取最大值，即，
故的最大值为，C错；
对于D选项，设，则直线与圆有公共点，
所以，，解得，
所以，的最大值为，D对.
故选：ABD.
11．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）
A．
B．平面
C．向量与的夹角是60°
D．直线与AC所成角的余弦值为
【答案】AC
【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．
【详解】解：对于，
，
所以，选项错误；
对于
，所以，即，
，所以，即，因为，平面，所以平面，选项正确；
对于：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项错误；
对于，
所以，
，
同理，可得
，
所以，所以选项正确．
故选：AC．
12．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（ ）
A．
B．若，则M到x轴距离为3
C．若，则
D．的最小值为4
【答案】ABD
【分析】根据给定的条件，求出抛物线的方程，结合抛物线定义，逐项分析计算即可判断作答.
【详解】抛物线上的点A到抛物线焦点F距离的最小值为1，则有，解得，A正确；
抛物线的方程为，焦点，准线，设，
对于B，点，由抛物线的定义知，，
有，所以M到x轴距离，B正确；
对于C，，由得：，即，
又，即，则，解得，
于是得，C不正确；
对于D，抛物线中，当时，，因此点在抛物线上方，
过点P作于，交抛物线于点Q，连QF，过A作于，连AF，AP，，如图，
显然，当且仅当点A与Q重合时取等号，
所以，D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ．
【答案】
【分析】利用空间向量共线的充要条件计算即可.
【详解】因为，，
则有，
又三点共线，于是可设，
即，而不共线，
因此，解得，
所以实数k的值是.
故答案为：
14．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为 ．
【答案】10
【解析】根据双曲线的定义转换求解即可.
【详解】由双曲线的标准方程得a＝2,由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4,|BF2|－|BF1|＝4,所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|,当直线l过点F1,且垂直于x轴时,|AB|最小,所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝
故答案为：10.
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义的运用,需要利用定义将题中所给的线段进行转换再分析求解.属于基础题型.
15．已知点，则点M关于直线的对称点的坐标是 ．
【答案】
【分析】设出点M关于直线的对称点的坐标，根据对称的几何性质列出方程组，即可求得答案.
【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得，，
故点M关于直线的对称点的坐标是，
故答案为：
16．若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为 ．
【答案】
【分析】令，变形化简得到，再，根据条件，数形结合即可求出结果.
【详解】令，即，两边平方得到，
即，又由，易知，，
所以曲线表示以为圆心，为半径的半圆，如图所示，
令， 当与圆相切时，，得到（舍去）或，
当过点时，，
又因为方程有两个不等的实根，由图知，
故答案为：.

四、解答题
17．若直线的方程为.
（1）若直线与直线垂直，求的值；
（2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程.
【答案】（1）1；（2），．
【分析】（1）直线与直线垂直，可得，解得．
（2）当时，直线化为：．不满足题意．当时，可得直线与坐标轴的交点，．根据直线在两轴上的截距相等，即可得出．
【详解】解：（1）直线与直线垂直，
，解得．
（2）当时，直线化为：．不满足题意．
当时，可得直线与坐标轴的交点，．
直线在两轴上的截距相等，，解得：．
该直线的方程为：，．
【点睛】本题考查了直线的方程、相互垂直的直线斜率之间关系、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．已知圆经过点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)已知直线经过点，直线与圆相交所得的弦长为8，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）借助待定系数法设出方程，代入计算即可得；
（2）借助圆的弦长公式，设出直线方程计算即可得.
【详解】（1）设圆M的方程为，
因为圆M经过点，，且圆心在直线上，
依题意有
解得，，，
所以圆M的方程为．
（2）设圆心到直线l的距离为d，
则弦长，
当直线的斜率不存在时，，所以直线的斜率存在，
设其方程为，即，
，解得，，
所以所求直线l的方程为或．
19．设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切．
(1)求圆心的轨迹方程；
(2)问：曲线上是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据圆内切及外切的性质，结合双曲线定义即可得；
（2）可假设存在后设出该弦所在直线，则能求出该直线则存在，若得出矛盾点，则不存在.
【详解】（1）
∵圆M与圆外切，且圆M与圆内切，
∴，，
∴，
∴点M的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
∴点M的轨迹方程是；
（2）法一：设被点平分的弦所在的直线方程为，
代入双曲线方，
得，
∴，
解得．
设弦的两端点为，，
则．
∵点是弦的中点，
∴，∴．
故双曲线上不存在被点平分的弦．
法二：设双曲线上存在被点B平分的弦，且点，，
则，，
且，
由①②得，
∴，
∴直线的方程为，即．
由消去y，得．
又，∴直线与双曲线不相交，
故双曲线上不存在被点B平分的弦．
20．如图，在多面体中，平面，平面平面，，，.
(1)若点在上，且，求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，根据面面垂直性质可得平面，进而得到，结合长度关系可证得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定定理可得结论；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）取中点，连接，
，为等边三角形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
，，为中点，又为中点，
，，
，，
，，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面.
（2）连接，
，，又平面，两两互相垂直，
则以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
，
即与平面所成角的正弦值为.
21．已知抛物线：及该抛物线上一点.
(1)过点作抛物线的切线，求该切线的方程；
(2)过点分别作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为，，求证：直线的斜率为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设出该直线后联立得一元二次方程，计算即可得；
（2）设出该直线后联立得一元二次方程，借助韦达定理计算即可得.
【详解】（1）由题知，切线的斜率存在，
设过点A的切线方程为，
法一：联立，因为，
故消去x得，
由，
整理得：，解得，
所以切线l的方程为：
法二：，
消去y得，
由，
得，
即，
再利用平方差公式得：，即，得，
所以切线l的方程为：.
（2）设，故直线的斜率为
法一：由题可知直线与的斜率均存在，设直线的斜率为，
则直线的斜率为，
设则直线的方程为，
联立，因为，
故消去x得，（类似第（1）的法一，无需重复运算）
该方程有两个根为与4，由韦达定理，得；
同理可得，所以，
所以直线的斜率为；
法二：由题可设：，即，
代入抛物线的方程得，即，
则，故，
所以，
即，
设：，即，
同理可得，
则，
即
直线的斜率，
所以直线的斜率为定值．
22．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点代入，结合离心率与计算即可得；
（2）联立曲线后借助韦达定理及弦长公式表示出，结合原点到直线的距离即可表示面积，借助一元二次方程求取最值即可得.
【详解】（1）
由题意得，解得，
故椭圆的方程为；
（2）设直线的方程为，
联立得，
，即，
，，
由，
故，
原点到直线的距离，
∴，
即，
当且仅当时，等号成立，
∴面积的最大值为．