2023-2024学年辽宁省沈阳市第一二〇中学高二上学期第四次质量监测数学试题含答案

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一、单选题
1．与圆：及圆：都外切的圆的圆心在（ ）
A．椭圆上B．双曲线的一支上C．抛物线上D．圆上
【答案】B
【分析】根据两圆方程得出两圆的圆心坐标和半径，判断出两圆的位置关系，再利用与两圆都外切的位置关系得出圆心距离所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义即可得出答案.
【详解】设所求圆的半径为，圆心为，
圆：的圆心，半径，
圆化为标准方程得，则圆心，半径，
因为，所以两圆相离，
由题意可得，两式相减得，
所以圆心在双曲线的一支上.
故选：B.
2．在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用全概率公式即可直接求解.
【详解】设甲中奖为A事件，乙中奖为B事件,
则
,
故选：B.
3．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立
【答案】B
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】 ，
故选：B
【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立
4．从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：
由上表可得经验回归方程，则当x＝35时，蝗虫的产卵量y的估计值为（ ）
A．B．C．8D．
【答案】A
【分析】根据线性回归方程的性质求出，由此可求.
【详解】由表格数据知：，，
因为数对满足，得，
∴，即，∴，∴x＝35时，.
故当x＝35时，蝗虫的产卵量y的估计值为.
故选：A.
5．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用全概率公式结合条件可得，然后利用和事件的概率公式和条件概率公式结合条件逐项分析即得.
【详解】因为，，，
所以，，又，
所以，
所以，故A错误；
由，可得，故B错误；
所以，故C正确；
所以，，故D错误.
故选：C.
6．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等
C．记第n行的第i个数为，则
D．第30行中第12个数与第13个数之比为
【答案】C
【分析】选项A，利用组合数性质即可求解；选项B、D，利用杨辉三角中数的排列规律即可判断；选项C，先用杨辉三角确定，再结合二项式定理可得.
【详解】对A，由可得
，故A错误；
对B，第2023行有2024项，中间两项最大，即和，
也就是第2023行中第1012个数和第1013个数相等，故选项B错误；
对C，第n行的第i个数为，所以，故C正确；
对D，第30行中第12个数与第13个数之比为
，故D错误．
故选：C．
7．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意O、A、P、B四点在以OP为直径的圆上，可设点P坐标为，从而得出四点所在圆的方程为，利用两圆方程之差求得切点A、B所在直线方程，进而求得M、N两点坐标即可解决本题.
【详解】依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，则该圆的方程为：，
将两圆方程：与相减，得切点所在直线方程为
，解得，因为，所以
故选：A
8．如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法错误的是（ ）

A．当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值
B．存在这样的点，使得
C．当直线与平面所成的角为45°时，点的轨迹长度为
D．当时，点的轨迹长度为
【答案】B
【分析】对于选项A，由点P到侧面的距离为定值即可判断；对于选项B，结合空间向量的线性运算即可判断；对于选项C，分当点P在侧面，侧面上时以及当点P在上底面上时，和点P在侧面，上时三种情况分类讨论即可判断；对于选项D，分当P在底面ABCD上时和点在侧面上时分类讨论即可判断.
【详解】对于选项，由点到侧面的距离相等，故四棱锥的体积为定值，故选项正确；
对于选项，因为，而，，
因此点P是的中点，所以这样的点P不在正方体的表面上，故B选项错误；
对于选项C，①当点在侧面，侧面上时（不包括正方形的边界），
过点作平面的垂线，垂足为，连，在Rt中，由，可得；
②当点在上底面上时，过点作平面的垂线，垂足为，
若，必有，又由，有，
此时点的轨迹是以为圆心，2为半径的四分之一圆，点的轨迹长度为；
③当点在侧面上时，点在线段上符合题意，
此时点的轨迹长为；由上知点的轨迹长度为，故选项正确；
对于选项，①当在底面上时，点的轨迹为以为圆心，
为半径的圆与底面的交线，记圆与相交于点，与交于点，
有，可得，
则点的轨迹与底面的交线长为；
②当点在侧面上时，，
可得点的轨迹与侧面的交线为以点为圆心，为半径的四分之一圆，
交线长为．
由对称性可知，点的轨迹长度为，故D选项正确．
故选：B.
【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法：
（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；
（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
二、多选题
9．下列关于概率统计说法中正确的是（ ）
A．两个变量，的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
B．设随机变量服从正态分布，若，则
C．在回归分析中，为的模型比为的模型拟合的更好
D．某人在10次答题中，答对题数为，，则答对7题的概率最大
【答案】ACD
【分析】用概率与统计的知识点，逐个分析每个选项，排除可得答案.
【详解】对于A，两个变量，的相关系数为，越小，与之间的相关性越弱，故A正确
对于B，，，故B错误
对于C，越接近1，模型拟合越好，且，故C正确.
对于D，，则数学期望为，说明答对题的概率最大，故D正确.
故选：ACD
10．设，则下列结论中正确的是（ ）．
A．
B．
C．，，，，中最大的是
D．当时，除以16的余数是1
【答案】ABD
【分析】由二项式定理及二项展开式可解，观察式子特点可进行适合的赋值简化计算.
【详解】① ；
对A，对题给式子进行赋值，令，则，故A正确；
对B，由①式知，故B正确；
对C，，当时，；，
,最大的为，故C不正确；
对D，当时，
除以16的余数是1，故D正确.
故选：ABD
11．某校组织“喜迎二十大，奋进新征程”线上演讲比赛，经预选有甲、乙、丙、丁、戊五名同学进入复赛，在复赛中采用抽签法决定演讲顺序，记事件A：学生甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，B：学生乙第一个出场，则下列结论中正确的是（ ）
A．事件A中包括78种情况B．
C．D．
【答案】BC
【分析】先确定甲的位置，然后将剩下的四个人进行排列即可求出事件A包含情况的种数，即可判断A；求出总事件的个数，再根据古典概型即可判断B；求出事件包含基本事件的个数，再根据古典概型即可判断C；根据条件概率公式即可判断D.
【详解】解：由学生甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，
则学生甲只能在中间3个出场，
所以事件A中包括种情况，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，
则，故D错误.
故选：BC.
12．已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（ ）
A．点M到直线l的距离为定值B．以为直径的圆与l相切
C．的最小值为32D．当最小时，
【答案】BCD
【分析】设直线方程，并联立抛物线方程，利用根与系数的关系式，求得点M的横坐标，结合抛物线定义，可判断A;利用抛物线定义推得,由此判断B;
计算出弦长，可得的表达式，利用基本不等式求得其最小值，判断C;
求出的表达式，采用换元法，利用二次函数的单调性求得其最小值，判断D.
【详解】设，，，， ，
直线的方程为，则直线的方程为,
将直线的方程代入，化简整理得，
则，，
故,
所以，,
因为点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，
点M到直线l的距离，
又，所以，故A错误；
因为，
所以以为直径的圆的圆心M到l的距离为，
即以为直径的圆与l相切，故B正确；
同理，，所以，，，
则，当且仅当时等号成立，故C正确；
.
设，则，，.
当时，即时，最小，这时，故D正确,
故选:BCD.
【点睛】本题考查了抛物线的焦点弦的性质，具有较强的综合性，要求学生有较好的计算能力和思维能力，解答时要注意直线方程的设法，以及联立后结合根与系数的关系式的化简，涉及到焦半径以及弦长和距离的计算，比较繁杂，要细心运算.
三、填空题
13．方程的根为 ．
【答案】11
【分析】利用排列组合数公式即得.
【详解】因为，
所以，
所以，
解得或，又，
所以．
故答案为：11.
14．某同学将英文单词“millin”中字母的顺序记错了，那么他在书写该单词时，写错的情况有 种（用数字作答）．
【答案】1259
【分析】millin有7个字母，进行全排列，因为有两个i，两个l重复，总数要除以，则可能出现的错误再减去1种正确的，因此得解．
【详解】英文单词“millin”中字母的顺序记错了，
因为有两个i，两个l重复，那么他在书写该单词时，
共有种可能，
而正确的拼写只有1种，故写错的情况有1259种.
故答案为：1259
15．袋中有形状大小相同的球5个，其中红色3个，黄色2个，现从中随机连续摸球，每次摸1个，当有两种颜色的球被摸到时停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，则 .
【答案】
【分析】由题意得出随机变量的分布列，计算其期望即可.
【详解】由题意可得
若两次摸到两种颜色的球，则；
若三次摸到两种颜色的球，则；
若四次摸到两种颜色的球，则；
故.
故答案为：
16．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
【答案】13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.

四、解答题
17．已知二项式 的展开式中 ， .给出下列条件：①第二项与第三项的二项式系数之比是1：4；②各项系数之和为512；③第7项为常数项.
在上面三个条件中选择两个合适的条件分别补充在上面的横线上，并完成下列问题.
(1)求实数a的值和展开式中二项式系数最大的项；
(2)求的展开式中的常数项.
【答案】(1)，二项式系数最大的项为或
(2)
【分析】(1)先看条件①②③分别可以得到什么结果，然后分别选取求解即可;(2)根据第一小问得出的未知数的值，得到第二问的二项式，然后将前面括号打开，分别求常数项计算即可.
【详解】（1）由①可知，解得；由②得令得；由③得，要使该项为常数，则；所以条件①与③得到的是同一结果，所以只有选择条件①与②和条件②与③；
该两种组合都会得到，所以，解得；
所以二项式系数最大的项为或
（2）由（1）可知，，
所以有
所以常数项为
令，解得；所以常数项为.
18．（1）6名同学（简记为，，，，，）到甲、乙、丙三个场馆做志愿者.
（i）一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？
（ii）每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？
（2）某校选派4名干部到两个街道服务，每人只能去一个街道，每个街道至少1人，有多少种方法？（结果用数字表示）
（3）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数？（结果用数字表示）
【答案】（1）（i）126；（ii）114；（2）14；（3）60
【分析】（1）（i）利用隔板法求解即可；
（ii）把，视为一人，再把人按和分组，再分配即可；
（2）把4名干部按和分成两组，再分配到两个街道列式计算作答；
（3）根据给定条件，利用倍缩法列式计算作答.
【详解】（1）（i）16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙，
插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，
所以不同的发放方法种；
（ii）把，视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆，
分组方法有两类：第一类1，1，3，去掉，在一组的情况，有种分组方法，
再分配给三个场馆，有种方法，
第二类1，2，2，去掉，在一组的情况，有种分组方法，
再分配给三个场馆，有种方法，
所以不同的安排方法有种方法；
（2）把4名干部按分成两组，有种分组方法，
按分成两组，有种分组方法，
所以4名干部按要求分到两个街道的不同方法数是（种）；
（3）依题意，6串香蕉任意收取有种方法，
其中中间一列按从下往上有1种，占，
最右一列按从下往上只有1种，占，
所以不同取法数是（种）.
19．某医科大学科研部门为研究退休人员是否患痴呆症与上网的关系，随机调查了市100位退休人员，统计数据如下表所示：
(1)依据的独立性检验，能否认为该市退休人员是否患痴呆症与上网之间有关联？
(2)从该市退休人员中任取一位，记事件A为“此人患痴呆症”，为“此人上网”，则为“此人不患痴呆症”，定义事件A的强度，在事件发生的条件下A的强度．
（ｉ）证明：；
（ⅱ）利用抽样的样本数据，估计的值．
附：，其中．
【答案】(1)有关联
(2)（ｉ）证明见解析；（ⅱ）2
【分析】（1）先计算的值，再与临界值比较，进而得到该市退休人员是否患痴呆症与上网之间是否有关联；
（2）（ｉ）先分别求得的表达式，进而证得成立；（ⅱ）先分别求得的值，再利用（ｉ）的结论即可求得的估计值．
【详解】（1）根据列联表中的数据，得
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为该市退休人员是否患痴呆症与上网之间有关联，
此推断犯错误的概率不大于0.01．
（2），
所以，
故
．
（ⅱ）由样本数据可得，
所以，所以估计的值为2．
20．如图，三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，平面平面，，分别是棱，的中点.
(1)证明：∥平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析；
(2).
【分析】（1）取的中点，连接，，易证四边形为平行四边形，从而有∥，故而得证；
(2) 过点作于，连接，以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系,用向量法求解即可.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，
因为，分别是棱，的中点，
则∥∥，，
四边形为平行四边形，
所以∥，
平面，平面，
∥平面；
（2）解：在平面中过点作于，连接，
平面平面，平面平面，
平面，
又因为，
所以,,
因为点为的中点，
，
故以为原点，、、分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以,
,,
设平面的法向量为，
则有，，
所以取，
设直线与平面所成角为，
则.
21．某校为了庆祝建校100周年，举行校园文化知识竞赛.某班经过层层选拔，还有最后一个参赛名额要在甲､乙两名学生中产生，该班设计了一个选拔方案：甲，乙两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为.甲､乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.
(1)分别求甲､乙两名学生恰好答对2个问题的概率；
(2)设甲答对的题数为，乙答对的题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.
【答案】(1)甲、乙恰好答对2个问题的概率分别为，
(2)选择学生甲，理由见解析
【分析】（1）由古典概率求出甲恰好答对2个问题的概率，再由独立事件的乘法公式求出乙恰好答对2个问题的概率；
（2）求出的可能取值及其对应的概率，再由期望、方差公式求出，因为~，由二项分布的期望、方差公式求出，比较它们的大小即可得出答案.
【详解】（1）由题意，知甲恰好答对2个问题的概率为，
乙恰好答对2个问题的概率为.
（2）的可能取值为1，2，3，
则；；.
所以，.
易知~，
所以，.
因为且，
甲的平均水平更好，也比乙更稳定.
所以选择学生甲.
22．椭圆，直线经过椭圆C的一个焦点与其相交于点M，N，且点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P，问：在x轴上是否存在一个定点Q，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标和的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，，.
【分析】（1）根据椭圆的焦点在轴上和直线经过椭圆的一个焦点得到为椭圆的焦点，即，根据在椭圆上得到，再结合得到，即可得到椭圆的方程；
（2）当时，联立直线和椭圆方程，然后利用韦达定理得到中点坐标和弦长，然后根据垂直平分得到点坐标，即可得到，然后根据为定值列方程，解方程得到，再说明时也是定值即可得到在轴上存在定点，使得为定值.
【详解】（1）因为直线经过椭圆的一个焦点，所以为椭圆的焦点，即，因为在椭圆上，所以，又，联立方程可得，，所以椭圆的方程为.
（2）设，，
当时，联立 得，所以，，，中点为，
，
线段得中垂线方程为，令，解得，所以，
所以，令，解得，此时；
当，时，联立得，所以，,，此时，
所以在轴上存在定点，使得为定值，定值为.
【点睛】型式子为定值求参数的方法：
①让分子分母对应项系数比值相等，例如：为定值，则，解方程即可；
②设，然后根据定值与变量无关列方程，例如：为定值，设，整理得，定值与变量无关，所以.
x
20
23
25
27
30
z
2
2.4
3
3
4.6
患痴呆症
不患痴呆症
合计
上网
16
32
48
不上网
34
18
52
合计
50
50
100
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828