2023-2024学年山东省潍坊市高二上学期普通高中学科素养能力测评数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省潍坊市高二上学期普通高中学科素养能力测评数学试题含答案，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知直线：，直线：，则直线与的位置关系是（ ）
A．平行B．相交C．重合D．相交或重合
【答案】D
【分析】分和两种情况讨论直线的位置关系.
【详解】直线可化为，
所以当时，两直线重合；
当时，两直线相交.
故选：D
2．已知点是正方形的中心，点为正方形所在平面外一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别在和中利用向量加法的平行四边形法则就可得出答案.
【详解】因为点是正方形的中心，所以分别为,的中点，
所以在中，，
同理，在中，，
所以.
故选：.
3．已知为抛物线：上一点.点到的焦点的距离为8，到轴的距离为6，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】根据抛物线的焦半径公式即可求解.
【详解】根据题意可得，所以，
故选：C
4．如图，已知为圆的直径，且，垂直于圆所在的平面，且，是圆周上一点，，则二面角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用线面垂直的判定定理可得平面，再由性质定理可得即为二面角的平面角，在中求出可得答案.
【详解】因为垂直于圆所在的平面，且平面，
所以，，因为是圆周上一点，所以，
且，平面，所以平面，
平面，所以，可得即为二面角的平面角，
因为，，，所以，
因为，，所以，
，
则二面角的大小为.
故选：C.
5．开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为，最小距离，太阳半径为，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设椭圆的焦距为，长轴长为，根据题意得到，计算可得离心率.
【详解】设椭圆的焦距为，长轴长为，
则由已知可得，
两式相加可得，两式相减可得，
则，，
所以离心率.
故选：A.
6．已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出圆心C关于x轴的对称点，先求得的最小值，结合图象进而求得的最小值.
【详解】圆，圆心，半径为，
则圆心关于x轴的对称点为，
则，
当且仅当三点共线时取得最小值，
结合图像可知.
故选：C
7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，点在轴上，点在的渐近线上.若，，则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设出所在直线方程，然后与渐近线联立求出点坐标，然后利用，从而可求解.
【详解】由题意得，，设所在直线方程，则，
与双曲线渐近线联立得：，得，得，
由，得，得，
由，得，化简得，得，
所以，所以，故B项正确.
故选：B.
8．如图，在矩形中，，，分别为的中点，将沿直线翻折成，与不重合，连结，则在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可发现始终垂直平面，则只需过点作出平行的直线，找到该线与平面的交点，连接该点与即可得到与平面所成角，而后通过计算研究该角的正切值即可得.
【详解】连接、，设其交点为，连接，由矩形中，，，
故四边形为正方形，且，，
又由点关于折叠而来，故，且，
又、平面，且，
故平面，过点作于点，
由、，故，又平面，
故平面，连接，则为与平面所成角，
由平面，故，
故与平面所成角的正切值即为，
由，，，
故与全等，故，
，
过点作于点，则有，
设，则，
当点在线段上（可在点，不可在点）时，则，
有，
则，
则，
易得在上时随的增大而增大，
故，
当点在线段上（不在两端）时，，
则，
则，
则，
易得在上时随的增大而增大，
此时，
综上所述，，
即在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为.
故选：D.
【点睛】本题难点在于在翻折过程中如何找到与平面所成角，可以发现翻折过程中平面始终是固定的平面，即虽然在动，但实际上平面并不会动，只需找到点在平面上投影即可得到该角.
二、多选题
9．若方程所表示的曲线为，则下列命题错误的是（ ）
A．当时，为椭圆
B．当或时，为双曲线
C．若为椭圆，则长轴长为
D．若为双曲线，则焦距为
【答案】ACD
【分析】根据椭圆以及双曲线的几何性质，即可结合选项逐一求解.
【详解】当为椭圆时，则，所以且，故A错误，
当为双曲线时，所以，解得或，故B正确，
当时，表示焦点在轴上的椭圆，则长轴长为，当时，表示焦点在轴上的椭圆，则长轴长为，故C错误，
当时，表示焦点在轴上的双曲线，则焦距为，当时，表示焦点在轴上的双曲线，则焦距为，故D错误，
故选：ACD
10．如图，棱长为1的正方体中，为线段上动点（包括端点）.则下列结论正确的是（ ）
A．当点为中点时，平面
B．当点在线段上运动时，三棱锥的体积为定值
C．当点为中点时，直线与直线所成角的余弦值为
D．点到线段距离的最小值为
【答案】AB
【分析】建系，对于A：利用空间向量证明线面垂直；对于B：结合选项A结合体积公式分析求解；对于C：利用空间向量求线线夹角；对于D：利用空间向量求点到面的距离.
【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
对于选项A：则，
可得，
设平面的法向量，则，
设，可得，可得，
当点为中点时，则，可得，
因为，即与共线，
所以平面，故A正确；
对于选项B：由选项A可知：点到平面的距离为，
所以三棱锥的体积（定值），故B正确；
对于选项C：当点为中点时，则，
可得，
因为，
所以直线与直线所成角的余弦值为，故C错误；
对于选项D：设，则，
在方向上的投影为，且，
则点到线段距离为，
所以当，点到线段距离取到最小值，故D错误；
故选：AB.
11．若某个正四棱锥的相邻两个侧面所成二面角的大小为，侧棱与底面所成线面角的大小为，侧棱与底边所成的角为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据线面角和二面角的性质来沟通侧棱长和底边长的关系，从而可得不同角的关系，从而可得正确的选项.
【详解】设底面边长为2，则侧棱长为，如图，记斜高，则，
过作，垂足为，连接，则且，
故为相邻两个侧面的二面角，
而，故，
故，而均为锐角，
故，
则
则，
即，
，则，
则.
故选：AC
12．设直线系：，则（ ）
A．点到中任意一条直线的距离为定值
B．存在定点不在中任意一条直线上
C．点到中所有直线距离的最大值为5
D．对任意的整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上
【答案】ABD
【分析】利用点到直线的距离公式，可判定A正确；由点到的距离为，得到直线表示的是圆的所有切线，可判定B正确；由直线B项知直线表示的是圆的所有切线，求得，进而可判定C不正确；结合正多边形的性质和圆的性质，可判定D正确.
【详解】对于A中，由点到的距离为，
所以点到中任意一条直线的距离为定值，所以A正确；
对于B中，由点到的距离为，可得直线表示的是圆的所有切线，所以存在定点，例如：圆内部的点，不在直线中任意一条直线上，所以B正确；
对于C中，由直线B项知直线表示的是圆的所有切线，
其中圆的圆心，半径为，又由，可得，
所以点到中所有直线距离的最大值为，所以C不正确；
对于D中，例如：若圆是一个正三角形的内切圆，即正三角形的三边分别为圆的切线，因为直线表示的是圆的所有切线，所以三角形的三边均在直线中的直线上，所以D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知抛物线方程为，则其焦点坐标为 .
【答案】
【分析】把抛物线方程化为标准式即得.
【详解】把抛物线方程化为标准式，得，
所以焦点坐标为.
故答案为：.
【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题.
14．已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】设，且，通过可求得最小值.
【详解】设，且，，
又，
又或，
所以
即的最小值为，当点为双曲线左定点时去最小值.
故答案为：.
15．在化学知识中，空间利用率是指构成晶体的原子在整个晶体空间中所占有的体积之比，即空间利用率晶胞含有原子的体积晶胞体积.如图是某金属晶体晶胞的一种堆积方式——体心立方堆积，该堆积方式是以正方体8个顶点为球心的球互不相切，但均与以正方体体心为球心的球相切.晶胞为上述正方体，则该金属晶体晶胞的空间利用率为 .
【答案】/
【分析】根据球的体积公式即可求解.
【详解】设小球半径为，正方体的棱长为，
所以，
故空间利用率为，
故答案为：
16．如图，平面与圆柱相交，而且平面与圆柱的轴不垂直，点为平面与圆柱表面交线上的任意一点，则点的轨迹为 .在圆柱内部放置两个半径与圆柱底面半径相同的球，平面分别与两球切于两点，过点作圆柱的母线，分别与两球切于两点，记线段长度为，线段长度为，且.在平面内的任意两条互相垂直的切线的交点为，建立适当的坐标系，则动点的轨迹方程为 .
【答案】 椭圆 （答案不唯一）
【分析】根据圆柱体的结构特征判断轨迹形状，结合球体切线长性质得到，确定椭圆参数并写出一个椭圆方程，再利用椭圆切线垂直关系求切线交点的轨迹方程.
【详解】由圆柱体的结构特征：平面与圆柱相交，而且平面与圆柱的轴不垂直，则截面为椭圆，
所以点的轨迹为椭圆，

如图，为椭圆轨迹上三点，而是两个球体上的切点，
由空间上一点作同一个球体上的切线，切线长都相等，则，，
所以，
当与重合时，即椭圆轨迹的焦点为，
所以焦距，则椭圆一个标准方程为，，

如上图，设，若切线斜率都存在，则切线为，
联立椭圆可得，
所以，
则，故是方程的两个根，
结合切线垂直，所以，则，
所以动点的轨迹方程为.
故答案为：椭圆，（答案不唯一）
【点睛】关键点点睛：利用球体切线性质得到椭圆轨迹的焦点为，并写出椭圆方程为关键.
四、解答题
17．已知双曲线：的一个焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求弦长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线的几何性质即可求解，
（2）根据点差法，结合中点弦可得直线方程，即可根据弦长公式求解.
【详解】（1）由焦点可知，
又一条渐近线方程为，所以，
由可得，解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）设中点的坐标为，
则
两式子相减得：，
化简得，
即，又，所以，
所以中点的坐标为，
所以直线的方程为，即.
将代入得，，
则，
,
18．已知直线：与圆：交于两点，且.
(1)求实数的值；
(2)若点为直线：上的动点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由弦与半径构成的三角形中根据角度得半径与圆心的直线的距离的关系，进而可求；（2）计算两平行直线间的距离，结合三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）圆可化为，
所以圆心，半径，则圆心到直线的距离
因为，所以，又，
所以，所以，
所以，解得，
又因为，所以.
（2）由（1）知，圆，
所以圆心到直线的距离为，
所以.
又，所以的高为，
所以.
19．如图，在五面体中，底面为正方形，侧面为等腰梯形，，平面平面，，.
(1)求直线到平面的距离；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点作于点，即可求解；
（2）以为坐标原点，分别以所在直线分别为轴，过点作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，应用向量法求线面角.
【详解】（1）因为侧面为等腰梯形，
，平面，平面，
所以平面，
则直线到平面的距离就是点到平面的距离.
如图，过点作于点，连接.
因为平面平面，
又平面平面平面，
所以平面，因为平面，所以.
因为四边形为等腰梯形，，
所以，所以，
又，所以，即直线到平面的距离为12.
（2）以为坐标原点，分别以所在直线分别为轴，过点作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
所以，
设平面的法向量为，则
，即，
令，则，
设直线与平面的夹角为，
则.
20．设椭圆：，其离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知斜率为的直线与相交于两点，线段的中点为，延长交于点，使得四边形为矩形，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据离心率和点列方程求出即可得椭圆方程；
（2）设直线，将直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理求出点坐标，代入椭圆方程，再结合列方程求出斜率.
【详解】（1）因为且，
所以①，
又因为点在椭圆上，所以②，
解①②得，
所以椭圆的方程为；
（2）由题意可知直线的斜率存在，
设直线，
由，得，
当，①
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以②
又因为，
所以
，
所以③
联立①②③解得，
所以直线的斜率为.
21．如图，已知在几何体中，是边长为4的正三角形，，，，二面角的大小为，为线段的中点.
(1)证明：平面；
(2)点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面所成角的余弦值的最大值，并说明此时点的位置.
【答案】(1)证明见解析
(2)平面与平面所成角的余弦值的最大值为，此时
【分析】（1）取线段的中点，连接，即可得到，，为二面角的平面角，即可得到，从而得到四边形是平行四边形，则，即可得证；
（2）取线段的中点，连接，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）因为，
由余弦定理得，同理可得，
取线段的中点，连接，
所以，，，所以，
所以，为二面角的平面角，即，
易知点共面，所以，
又因为，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）取线段的中点，连接，
所以，又，，，平面，
所以平面，
以点为坐标原点，以方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
，
设平面的一个法向量为，
所以
令，则，
又因为，
设，
又因为，
所以
设平面的一个法向量为，
则
令，则，
所以，
设平面与平面所成角为，则，
令，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以平面与平面所成角的余弦值的最大值为，此时
22．已知点，圆，点是圆上的任意一点.动圆过点，且与相切，点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若与轴不垂直的直线与曲线交于、两点，点为与轴的交点，且，若在轴上存在异于点的一点，使得为定值，求点的坐标；
(3)过点的直线与曲线交于、两点，且曲线在、两点处的切线交于点，证明：在定直线上.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）分析可知，点的轨迹是以为焦点的抛物线，即可得出曲线的方程；
（2）设、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，根据求出的值，可得出点的坐标，设、，则，利用平面内两点间的距离公式结合为定值，可求得的值，即可得出点的坐标；
（3）设直线的方程为，设、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，写出抛物线在点、的切线方程，联立两切线方程，求出点的坐标，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等，
所以，点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为，
（2）解：设、，设直线的方程为，
联立方程组，得，，可得，
所以①，②
，
即，
将①②代入得，因为，所以，所以点的坐标为，
设、，则，
使为定值，需满足，即，
因为，所以，则，所以点坐标为.
（3）解：设直线的方程为，设、，
联立方程组得，则，可得，
则③，④，
接下来证明出抛物线在点处的切线方程为，
联立，可得，即，
，
又因为，即点在直线上，
所以，曲线在点处的切线方程为，
同理可得曲线在点处的切线方程为，
联立，解得，
则，所以点的坐标为，
所以点在定直线上.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．