2023-2024学年上海市七宝中学高二上学期12月测试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市七宝中学高二上学期12月测试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知点，则直线的斜率为2，则
【答案】
【分析】根据斜率公式计算即可.
【详解】依题意，得，所以.
故答案为：
2．圆的圆心坐标是 .
【答案】
【分析】化圆的一般方程为标准方程，即可求得圆心坐标．
【详解】由，得，
可得圆心坐标为．
故答案为：．
3．一名射击运动员在一次射击测试中射击10次，每次命中的环数如下：，则其射击成绩的方差 .
【答案】1.2
【分析】根据给定条件，利用方差的定义计算作答.
【详解】依题意，命中环数的平均数为，
所以射击成绩的方差.
故答案为：1.2
4．两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占70%，次品率为4%，将两批产品混合，从混合产品中任取1件.则取到这件产品是合格品的概率为 .
【答案】0.957/95.7%
【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算作答.
【详解】设=“取到合格品”，=“取到的产品来自第i批”（i=1，2），则，，
由全概率公式得：.
故答案为：0.957
5．单位向量，，两两之间的夹角都是，求 .
【答案】
【分析】由题意得，，两两之间夹角都是，展开后利用数量积的定义直接运算再开方即可得解.
【详解】由题意得单位向量，，且两两之间夹角为，
所以，
，
所以.
故答案为：.
6．已知事件A与事件B相互独立，如果，，那么 ．
【答案】/
【分析】根据独立事件的概率公式计算即可.
【详解】解：因为事件A与事件B相互独立，，
则，
所以，
故答案为：
7．已知数列满足：，，且是递增数列，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意是递增数列可知，进而可得不等式恒成立，即得.
【详解】是递增数列，且对于任意的，都有成立
对于任意，，，
化为：恒成立，
又单调递减，
所以．
故答案为：.
8．已知无穷等比数列，，，则公比 ．
【答案】
【分析】依题意得到，再利用无穷等比数列和的公式得到与，解方程组即可得解.
【详解】因为无穷等比数列，，则，，
所以是首项为，公比为的等比数列，
又，得，即，
则，又，
则，得．
故答案为：．
9．已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，若也是公差为的等差数列，则的通项为 .
【答案】an＝2或an
【分析】等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，若数列也是公差为d的等差数列，可得，当n≠1时可化为d2n2+（2d）n+（），再根据对应系数相等解方程组即可．
【详解】依题意，等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，若数列也是公差为d的等差数列，
可得，
当n≠1时，可化为d2n2+（）n+（），
即，解得或者，
所以an＝2，或者an．
故答案为：an＝2或an．
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，属于难题．解题时要注意前n项和公式的灵活选取与应用．
10．在平面直角坐标系中，已知点，对于任意不全为零的实数、，直线，若点到直线的距离为，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先求出直线过定点，再根据数学结合思想，利用两点的距离公式即可求得正解.
【详解】因为直线过定点
所以
即，
故答案为：
【点睛】本题主要考查直线的方程、直线的定点问题和点到直线的距离，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，具有一定的综合性，属于中档题型.
11．已知函数.若项数为的等差数列公差为，且使得，则写出一个符合条件的数列的通项公式为 .
【答案】或其他符合的数列.
【分析】根据题意得函数为奇函数，然后结合数列应满足即符合条件，从而可以写出符合题意的数列.
【详解】由题意得的定义域为，解得，所以，
所以，所以函数为奇函数，
所以对于数列为公差为的等差数列，且满足，就使得，
故答案为：.或其他符合的数列.
12．已知实数、满足，则的取值范围
【答案】
【解析】设为圆上任意一点，构造直线，分别求得点P到直线的距离PM，P到原点的距离PO，将问题转化为求解.
【详解】如图所示：
设为圆上任意一点，
点P到直线的距离为，
点P到原点的距离为，
所以，
当圆与直线相切时，
，
解得，
所以最小值为，最大值为，
所以，即，
的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.
二、单选题
13．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．内含D．以上均有可能
【答案】D
【分析】利用圆与圆的位置关系求解.
【详解】解：两个圆的圆心分别为，，且圆心在圆上，
因为圆的半径不确定，所以均有可能．
故选：D．
14．如图，设每个电子元件能正常工作的概率为，则电路能正常工作的概率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据电路正常工作的可能情况进行判断即可.
【详解】记上端两个电子元件正常工作分别为事件，下端电子元件正常工作为事件，
设电路能正常工作为事件，
根据独立事件的乘法公式，，
则.
故选：B
15．的三内角、、所对的边长分别为、、，若、、成等比数列，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】因为，，成等比数列，所以，且，然后利用余弦定理即可求解.
【详解】因为，，成等比数列，所以，又因为，
所以由余弦定理得，故D项正确.
故选：D.
16．将函数的图象绕点逆时针旋转，得到曲线，对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大时的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先画出函数的图象，然后根据由图可知当此圆弧绕点逆时针方向旋转角大于时，曲线都不是一个函数的图象，求出此角即可．
【详解】解：由，得，
，则函数的图像是以为圆心的圆的一部分，
先画出函数的图象,
这是一个圆弧AB，圆心为,如图所示，
由图可知当此圆弧绕点逆时针方向旋转角大于时，
曲线都不是一个函数的图象，
即当圆心在x轴上时，
所以最大值即为，
，所以最大时的正切值为.
故选：B.
三、解答题
17．已知数列满足，，是其前n项和.
(1)计算，，并猜想的通项公式，用数学归纳法证明；
(2)记，求.
【答案】(1)，，猜想，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据递推关系计算出，猜想通项公式并利用数学归纳法进行证明.
（2）利用裂项求和法求得
【详解】（1），，猜想
时，，满足猜想，
假设时，猜想成立，即，
则当时，
，所以时成立，
所以猜想成立，即.
（2），，
，
.
18．已知三条直线，直线，且与的距离是.
(1)求a的值；
(2)若点P同时满足下列条件：①P是第一象限的点；②点P到的距离是点P到的距离的；③点P在直线上，求点P的坐标.
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）用平行线间距离公式求参数即可.
（2）用点到直线的距离公式直接求解即可
【详解】（1）直线方程为，
∴和距离为，
解得
（2）设点，
若点P满足条件②，则P在与，平行的直线上，
且，得或，
所以或.
若满足条件③，联立方程解得，舍去，
或者联立方程解得，为所求点.
19．某市政府为了倡议市民节约用电，计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一户居民月均用电量标准 a，用电量不超过 a的部分按照平价收费，超出部分按议价收费．为了确定一个合理的标准，从某小区抽取了100户居民进行用电量调查单位，并绘制了如图所示的频率分布直方图：
(1)求x的值：
(2)求被调查用户的月用电量平均值：同一组数据用该区间的中点值作代表
(3)若使居民用户的水费支出不受影响，应确定a值为多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接根据概率和为1计算得到答案.
（2）直接根据平均值公式计算得到答案.
（3）确定分位数在之间，计算得到答案.
【详解】（1），解得；
（2）
；
（3）；
；
故分位数在之间，设为，
，
解得.
20．已知圆C：，圆C1：，以及直线l：．
(1)求圆C1：被直线l截得的弦长；
(2)当m为何值时，圆C与圆C1的公共弦平行于直线l；
(3)是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点距离等于弦AB长度的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)这样的圆不存在．
【分析】（1）根据直线和圆相交的弦长公式即可求圆C1：被直线l截得的弦长；
（2）求出两圆的公共弦结合直线平行的条件即可求出直线l；
（3）先判断出点P在以AB为直径的圆上，表示出以AB为直径的圆，建立方程组，利用m无解即可得到结论
【详解】（1）因为圆C1：的圆心，半径
所以，圆心O到直线l：的距离d：
由勾股定理可知：
圆C1：被直线l截得的弦长为．
（2）圆C与圆C1的公共弦方程为
因为该公共弦平行于直线，
则
解得：
经检验符合题意，故所求
（3）假设这样实数m存在．
设弦AB中点为M，由已知得|AB|=2|PM|，即|AM|=|BM|=|PM|
所以点在以弦AB为直径的圆上．
设以弦AB为直径的圆方程为：
圆心坐标为：
则
由可得：
因为
所以方程无实数根
所以，假设不成立，即这样的圆不存在．
21．已知数列． 若存在，使得为递减数列，则称为“型数列”．
(1)是否存在使得有穷数列为型数列？若是，写出的一个值；否则，说明理由；
(2)已知2022项的数列中，（）． 求使得为型数列的实数的取值范围；
(3)已知存在唯一的，使得无穷数列是型数列． 证明：存在递增的无穷正整数列，使得为递增数列，为递减数列．
【答案】(1)存在；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）取，可得答案；
（2）当（）时，由，解得，同理，当时得，从而得到的范围；
（3） 首先证明：对任意，①存在，使得；②存在，使得．
用反证法证明①，②可同理得到答案；根据①、②可知，存在，使得，存在，使得，由①的证明知，如此递归选择的使得递增且递减即为所求．
【详解】（1）是，如：取，则为递减数列．（时均可）．
（2）当（）时，，解得，同理，当（）时，，解得，
而此时确为型数列，故为所求．
（3）首先证明：对任意，①存在，使得；②存在，使得．
用反证法证明①，②可同理得，
若存在，使得当时，均有，则由型数列定义，，
设，由题意，，
当时，， 而当时，，故． 因此，也是型数列，与的唯一性矛盾， 证毕．
根据①、②可知，存在，使得，存在，使得，
由此，若，则存在，使得，又存在，
使得，由①的证明知，如此递归选择的，使得递增且递减，即为所求．
【点睛】本题考查了数列新定义的问题，考查了数列的单调性及反证法。要求学生有较强的逻辑能力和计算能力.