2023-2024学年福建省厦门外国语学校高二上学期12月阶段性训练数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省厦门外国语学校高二上学期12月阶段性训练数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意列式即可求解.
【详解】依题意有，解得倾斜角.
故选：C.
2．已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题意，结合向量坐标的意义即可求解.
【分析】因为向量在基底下的坐标为，
可得，
所以向量在基底下的坐标为.
故选：B.
3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（ ）
A．228里B．192里C．126里D．63里
【答案】B
【分析】应用等比数列的求和公式可得答案.
【详解】由题意得，该人所走路程构成以为公比的等比数列，令该数列为，其前项和为，
则有，解得，
故选：B.
4．已知圆与圆的公共弦所在直线与轴垂直，则实数的值为（ ）
A．－4B．－2C．2D．4
【答案】D
【分析】两个圆方程相减，可得所在直线方程，翻译条件解出值即可.
【详解】，
两方程相减得到公共弦所在直线方程为
公共弦所在直线方程与轴垂直，，解得
故选：D
5．如图，在正方体中，当点在线段上运动时，下列结论正确的是（ ）.

A．与可能平行
B．与始终异面
C．与平面可能垂直
D．与始终垂直
【答案】D
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，然后结合空间向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】
构建如图示的空间直角坐标系，若正方体棱长为1，
则，，，，，
令且，故，
而，，，
所以，即，故D正确；
显然在由相交线和所成的平面上，
且与该平面有交点，
故在上移动过程中可能与相交，B错误；
若且，则，不存在这样的值，A错误；
若面，则，显然不存在这样的值，故C错误.
故选：D
6．已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在椭圆上，则的值为（ ）
A．6B．12C．18D．24
【答案】B
【分析】根据已知条件, 作出图形, 连接的中点与椭圆的两个焦点, 便会得到三角形的中位线, 根据中位线的性质及椭圆上的点到两焦点的距离和为即可求出.
【详解】解：如图
设的中点为，椭圆的左右焦点分别为,连接,,
是的中点, 是的中点, 是，
,
同理:,
在椭圆上,
+=6
+=12.
故选：B.
7．已知数列满足，，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
【答案】A
【分析】根据递推公式求得，再根据的单调性，即可判断和选择.
【详解】因为，，所以当时，；
当时，，故，
因为函数在区间上单调递减，
所以当，时，是递减数列.
又，所以，且，故数列的最小项为，最大项为.
故选：A.
8．双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，则E的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合题意作出图形，然后结合双曲线的定义表示出，进而利用勾股定理可得的关系，从而可求出结果.
【详解】由题意知延长则必过点,如图：

由双曲线的定义知，
又因为，所以，
因为，所以，
设，则，因此，
从而由得，所以，
则，，，
又因为，所以，
即，即，
故选：B.
二、多选题
9．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AD
【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量，以及线面的位置关系求得正确答案.
【详解】若，则，即有，即，即有，故A正确，C错误；
若，则，即有，可得，
解得，则，故B错误，D正确．
故选：AD
10．已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则数列的公比可能为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】AC
【分析】，，成等差数列，得，利用前项和与通项的关系，化简得，化简得，求解可得.
【详解】设数列的公比为，
因为，，成等差数列，所以，
则有，即，
所以，又，
两边同除以得，，
解得或.
故选：AC.
11．已知点P在圆上，点.则（ ）
A．点P到直线AB的距离小于10B．圆上到直线AB的距离等于1的点只有1个
C．当最小时，D．当最大时，
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】由，可得圆心，
过点直线为：即，
所以圆心到直线的距离，
所以点P到直线AB的距离的最大值为，点P到直线AB的距离小于10，A选项正确；
所以点P到直线AB的距离的最小值为，圆上到直线AB的距离等于1的点有2个, B选项错误；
如图：当最大或最小时，此时与圆相切,且有圆心到的距离为，
利用勾股定理可得：，故C，D选项正确;
故选：ACD.
12．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过点的直线交于、两点，直线、分别交于、，则（ ）
A．的准线方程为B．
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】利用抛物线的方程求出准线方程，可判断A选项；设出直线的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理结合平面向量数量积的坐标运算可判断B选项；利用抛物线的焦半径以及基本不等式可判断C选项；利用韦达定理结合基本不等式可判断D选项.
【详解】对于A选项，对于抛物线，，可得，
所以，抛物线的准线方程为，A对；
对于B选项，若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立，可得，，
所以，，，
则，则，B对；
对于C选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，C错；
对于D选项，设点、，
设直线的方程为，联立可得，
判别式为，由韦达定理可得，，同理可得，
，同理可得，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为，D对.
故选：ABD.
三、填空题
13．双曲线的右焦点F到其一条渐近线的距离为 ．
【答案】2
【分析】求出右焦点和渐近线方程，由点到直线距离公式求出答案.
【详解】的右焦点为，渐近线方程为，
不妨取，则右焦点F到其一条渐近线的距离为.
故答案为：2
14．在数列中，，（），则 .
【答案】/
【分析】由和数列的递推公式，计算，得到数列的周期，可求.
【详解】由（），得（），
又，得，，，
所以数列是以3为周期的数列，得.
故答案为：
15．已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则梯形ABDC面积为 .
【答案】
【分析】取AB中点M，求出OM，由梯形的中位线性质和面积公式即可求解.
【详解】直线l的方程可化为，
所以直线l过定点，
又，所以直线l与圆的两个交点都在x轴上方，
取AB中点M，
易知为边长为2的等边三角形，
则，
因为，且M为AB中点，
所以为梯形ABDC的中位线，故，
所以梯形ABDC的面积为，
故答案为：
16．已知数列满足.给出定义：使数列的前项和为正整数的叫做“好数”，则在内的所有“好数”的和为 .
【答案】2026
【分析】先计算出数列的前项和，然后找到使其为正整数的，相加即可得到答案．
【详解】设数列的前项和为，
则
．
所以，
因为为正整数，所以，即．
令，则，
因为，所以，
因为为增函数，且，
所以，
所以所有“好数”的和为．
故答案为：2026．
四、解答题
17．已知等差数列 前项和为，且 .
(1)若 ，求证：数列 是等差数列.
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题得关于的方程，解出得到其通项，并计算出其前项的和，则得到的通项，利用定义计算的值即可.
（2）分和讨论即可.
【详解】（1）由题意，，解得 ，
数列的通项公式为，
，
，
数列 是以为首项，1为公差的等差数列;
（2）
当时，，数列的前项和，
当 时，，数列的前项和
，
.
18．已知抛物线：（）的焦点为，点在抛物线上，点，且满足（为坐标原点）.
(1)求的方程；
(2)求的角平分线所在直线的方程.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据题意，求得点的坐标，然后代入抛物线方程，即可得到结果；
（2）根据题意，由角平分线上的点到角两边的距离相等，结合点到直线的距离公式列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为，设，则，解得.
因为点在上，所以，
所以，所以.
（2）
由（1）知，所以直线的方程为，
又，所以直线的方程为，即.
由抛物线的图形知，的角平分线所在直线的斜率为正数.
设为的角平分线所在直线上任一点，则有，
若，得，其斜率为负，不合题意，舍去.
所以，即，
所以的角平分线所在直线的方程为.
19．设数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据计算即可得解；
（2）求得，则不等式恒成立，即 ，令，利用作差法求出数列的最大项即可得出答案.
【详解】（1）解：当时，，解得，
当时，，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
故；
（2）解：，
由对任意的恒成立，
即 ，
令，则 ，
当时，，当时，，
所以
即的最大值为 ，
故.
20．如图，在圆台中，截面分别交圆台的上下底面于点，，，四点.点为劣弧的中点.
(1)求过点作平面垂直于截面，请说明作法，并说明理由；
(2)若圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，母线长为3，，求平面与平面所成夹角的余弦值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理，证明平面垂直于截面，
（2）建立空间直角坐标系，向量法求两个平面所成夹角的余弦值.
【详解】（1）连接，，，平面即为所求作的平面，证明如下：

∵在圆台中，面，面，∴，
∵为劣弧中点，为圆的半径，∴，
又∵，平面，∴平面，
又∵平面，∴平面平面.
（2）连接，，在圆台中，面，因此梯形为直角梯形.
∵，，，∴，
，则，
过点在下底面内作的垂线交圆于点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.

∴由题意，，，.
为平面的法向量.
∵，，设平面的法向量为.
∴，令，则，
得.
设平面与平面的夹角为，则.
因此平面与平面的夹角余弦值为.
21．西部某地为了贱行“绿水青山就是金山银山”，积极改造荒山，进行植树造林活动，并适当砍伐一定林木出售以增加群众收入，当地2022年年末有林场和荒山共2千平方公里，其中荒山1.5千平方公里，打算从明年(2023年)起每年年初将上年荒山(含上年砍伐的林区面积)的16%植树绿化，年末砍伐上年年末共有林区面积的4%以创收.记2023年为第一年，为第n年末林区面积(单位:千平方公里).
(1)确定与的递推关系(即把，用表示)
(2)证明:数列是等比数列，并求；
(3)经过多少年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里？
(参考数据:)
【答案】(1).
(2).
(3)经过 5 年, 该地当年末的林区面积首次超过 1.2 千平方公里.
【分析】（1）根据题意找出林区和荒山的转化关系即可求解；（2）通过构造数列即可证明；（3）求解指数不等式即可求解.
【详解】（1）
.
（2），
，
，
所以数列 是等比数列.
解得 .
（3）由（2）知 ，
解得 ,
是递减的指数函数，
当 时 ,
当 时 .
经过 5 年, 该地当年末的林区面积首次超过 1.2 千平方公里.
22．已知椭圆C：的离心率为，椭圆上一动点P与左、右焦点构成的三角形面积的最大值为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线PQ交椭圆C于P，Q两点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，已知，设和的面积分别为，，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意列式即可求解；
（2）先讨论直线PQ的斜率为0的情况，斜率不为0时，联立直线方程和椭圆方程，用韦达定理结合已知条件证明直线PQ恒过x轴上一定点，再表示出即可求解.
【详解】（1）由题意知
解得所以椭圆C的方程为．
（2）依题意，，，设，．
若直线PQ的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，即，不合题意．
所以直线PQ的斜率必不为0，设其方程为，
与椭圆C的方程联立
得，
所以，且
因为是椭圆上一点，满足，
所以，
则，即．
因为
，
所以，此时，
故直线PQ恒过x轴上一定点．
因此，，
所以
，
则，当即时，取得最大值．