2023-2024学年广东省揭阳市惠来县第一中学高二上学期第二次阶段考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省揭阳市惠来县第一中学高二上学期第二次阶段考试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.
【详解】，所以，
故选：C
2．已知椭圆C的焦点在轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆上的点及椭圆的长短轴关系即可求得椭圆方程.
【详解】由题可知，所以，
且椭圆C的焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为.
故选：A.
3．若双曲线（，）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的渐近线、离心率公式以及两直线的垂直与斜率的关系求解.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
直线的斜率为，
所以由题可知，，
所以双曲线的离心率为，
故选:C.
4．如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由空间向量基本定理求解即可．
【详解】由，点为的中点，
可得，
又，．
故选：B．
5．“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现，该数列满足递推关系：，．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用递推关系找到通项即可.
【详解】，以此类推，．
故选：D
6．直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，线段中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，，代入抛物线方程，两式相减后结合线段中点的纵坐标得出，再结合焦点的坐标得出直线的方程，由点到直线距离公式计算即可．
【详解】由抛物线得焦点，
设，，则，
两式相减得，即，
因为线段中点的纵坐标为1，即，
所以，即，
所以直线的方程为，即，显然此时直线与抛物线有两交点，
所以到直线的距离，
故选：A．
7．已知椭圆与双曲线共焦点（记为，），点是该椭圆与双曲线的一个公共点，则的面积为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据椭圆与双曲线的定义，建立方程组，结合余弦定理以及三角形面积公式，可得答案.
【详解】因为椭圆与双曲线共焦点，
所以有，，，
因为该椭圆与双曲线是中心对称图形和轴对称图形，
所以不妨设点是在第一象限，左、右焦点分别为，，
设，由椭圆和双曲线的定义可知：，则，
由余弦定理可知：，
所以有，
因此的面积为，
故选：D．
8．已知各项都不相等的数列，2，，，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（ ）
A．2014B．2015C．4028D．4030
【答案】D
【分析】根据两圆的关系求出两圆的公共弦，求出圆的圆心，得到，利用倒序相加法即可求得结果.
【详解】根据题意知，圆与圆相交，设交点为，，
圆，圆，
相减可得直线的方程为：
圆平分圆的周长，直线经过圆的圆心，
，．
的所有项的和为．
故选：D
【点睛】方法点睛：求数列和常用的方法：
（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；
（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；
（4）等差等比数列：错位相减法.
二、多选题
9．已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．直线过定点D．当平行时，两直线的距离为
【答案】ACD
【分析】对于，通过是否成立来判断；对于B，将代入即可判断；对于C，将直线变形为，进而可得定点；对于D，利用直线平行的公式求出直线方程，然后利用两平行线的距离公式求解.
【详解】对于，当时，那么直线为，
直线为，此时两直线的斜率分别为和，
所以有，所以，故A选项正确；
对于，当时，那么直线为，直线为，此时两直线重合，故B选项错误；
对于，由直线，整理可得：，故直线过定点，故C选项正确；
对于，当平行时，，解得：或，
当时，两直线重合，舍去；
当时，直线为为，
此时两直线的距离，故D选项正确.
故选：ACD.
10．为使成为一个圆的方程，的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根据方程成为圆的条件,然后对各个选项进行判断，从而求解.
【详解】由题意知：表示一个圆，
则：，化简得：，
即：或，解之得：或，
所以：A项和B项不满足要求，故A项和B项错误；
所以：C项和D项满足要求，所以C项和D项正确；
故选：CD.
11．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．C的渐近线方程为
B．若直线与双曲线C有交点，则
C．点P到C的两条渐近线的距离之积为
D．当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2
【答案】AC
【分析】由双曲线的渐近线方程可判断A，通过对比直线与双曲线的渐近线斜率之间的关系可求解B，结合点到直线的距离公式可求C，PA，PB的斜率相乘后，结合双曲线方程化简可得定值，则D可判断.
【详解】双曲线，则，
对于A，C的渐近线方程为，A正确；
对于B，由双曲线的渐近线方程为可知，
若直线与双曲线C有交点，则，B错误；
对于C，设点，则，
点P到C的两条渐近线的距离之积为，C正确；
对于D，易得，，设，则，
所以直线PA，PB的斜率之积为，D错误．
故选：AC.
12．如图，正方体的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若E为的中点，则直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．E为的中点时，直线与平面所成的角正切值为
D．过点的截面的面积的范围是
【答案】BCD
【分析】利用空间向量研究线面关系可判定A，利用等体积法可判定B，利用线面角的定义可判定C，利用平面的性质及面积公式结合函数的单调性可判定D.
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，即，，
所以直线平面不成立，故A错误；
易知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角，
则，所以，故C正确；
设，作，则易知，，
由平面的性质可知过点的截面即平面，
由上可知，，
所以，
则与的距离为，
故截面面积，
令，易知函数在内单调递增，
所以，故，D正确.
由等体积法可知：，故B正确；
故选：BCD
三、填空题
13．抛物线上一点到焦点的距离为8，则点到轴的距离为 ．
【答案】7
【分析】根据抛物线的定义即可求解.
【详解】设，抛物线的焦点为，
则由抛物线的定义可得，所以，
故点到轴的距离为7，
故答案为：7.

14．若，则 ．
【答案】
【分析】利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式化简可得，然后由可解.
【详解】因为
，
所以，
所以．
故答案为：
15．已知圆，点是圆上的任意一点，点为直线上任意一点，点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】求出关于对称点的坐标，数形结合得到四点共线时，取得最小值，利用两点间距离公式进行求解即可
【详解】由，可得，则圆心，半径.
设关于对称点的坐标为，
则，解得，
点是点关于直线的对称点，
所以.
要使取得最小值，四点共线即可，
此时最小值为.

故答案为：
16．已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是 .
【答案】
【分析】当不为椭圆的上、下顶点时，设直线、分别与圆切于点A、B，，题意转化为，又，，利用得出的不等关系，得出离心率的范围．
【详解】连接，当不为椭圆的上、下顶点时，设直线、分别与圆切于点A、B，，
∵存在、使得，∴，即，
又，∴，连接，则，∴．
又是上任意一点，则，
又，∴，则由，得，又，∴．
故答案为：．
四、解答题
17．求符合下列条件的曲线的标准方程
(1)求经过点，的椭圆的标准方程；
(2)求与椭圆有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】⑴根据椭圆过的点确定椭圆方程.
⑵先求出椭圆的焦点，确定双曲线的焦点，有，结合双曲线过的点列出方程组求，.
【详解】（1）椭圆过点，，根据椭圆的性质可知，，焦点在轴，
所以椭圆方程为.
（2）椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为，
设双曲线的方程为，故，
，整理有，解得或（舍）
所以，，所以双曲线方程为.
18．已知的三内角所对的边分别是，向量，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求三角形周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得再结合正弦定理及正弦函数两角和公式即可求解；
（2）利用余弦定理及结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由已知，且，
所以，
由正弦定理得，
即，
即，
因为，所以，所以，
因为，所以.
故角的大小为.
（2）由（1）及题意知，，
所以由余弦定理得
，
当且仅当时取等号，
所以，则，
所以周长的最大值.
19．如图，在四棱锥中，，四边形ABCD是正方形，，E是棱PD上的动点，且.

(1)证明：平面ABCD；
(2)是否存在实数，使得平面PAB与平面AEC所成夹角的余弦值是？若存在.求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）由题设，根据线面垂直的判定得平面，再由线面垂直的性质有，并由勾股定理证，最后应用线面垂直的判定证结论；
（2）构建空间直角坐标系，写出相关点的坐标，应用向量法求面面角的余弦值，结合已知列方程求参数，即可判断存在性.
【详解】（1）因为四边形是正方形，则，
且，平面，，所以平面，
且平面，可得，
又因为，所以，即，
由平面，且，所以平面.
（2）由（1）可知：平面，且，
如图，以A为坐标原点建立空间之间坐标系，

不妨设，则，
可得，
则，可得，
设平面平面AEC的法向量，则，
令，则，可得，
且平面PAB的法向量，
由题意可得：，
整理得，解得或（舍去），
所以存在实数，的值为.
20．已知圆．
(1)若直线过点且与圆相切，求直线的方程；
(2)设直线与圆相交于，两点，点为圆上异于，的动点，求的面积的最大值．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）确定圆心和半径，考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据直线与圆的位置关系得到答案.
（2）确定圆心到直线的距离，计算，，计算面积的最大值得到答案.
【详解】（1）圆：，圆心的坐标为，半径．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
圆心到的距离，与圆相切；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由直线与圆相切，得，解得，
所以直线的方程为．
综上所述：直线的方程为或．
（2）圆心到直线的距离，所以，
因为为圆上异于，的动点，所以点到直线的距离，
所以的面积，
当且，在圆心的两侧时，等号成立，
所以的面积的最大值为．
21．在第19届杭州亚运会上中国射击队获得32枚金牌中的16枚，并刷新3项世界纪录.甲、乙两名亚运选手进行赛前训练，甲每次射中十环的概率为，乙每次射中十环的概率为，在每次射击中，甲和乙互不影响.已知两人各射击一次至少有一人射中十环的概率为.
(1)求；
(2)甲、乙两人各射击两次，求两人共射中十环次的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用对立事件的概率公式列等式求；
（2）“两人共射中十环次”即“甲中次且乙中次”与“甲中次且乙中次”的和事件，利用互斥事件的概率加法公式可得.
【详解】（1）设事件“两人各射击一次至少有一人射中十环”，
则“两人均未射中十环”，
由题意知甲每次射中十环的概率为，乙每次射中十环的概率为，
则甲每次未射中十环的概率为，乙每次未射中十环的概率为，
由对立事件的概率公式与相互独立事件的概率乘法公式可得，
，解得；
（2）设表示事件“甲两次射击恰射中十环次”，，
设表示事件“乙两次射击恰射中十环次”，.
则，，
，.
设“甲、乙两人各射击两次，两人共射中十环3次”，
则，且事件与互斥，
则由互斥事件的概率加法公式可得，
.
故甲、乙两人各射击两次，两人共射中十环3次的概率为.
22．动点P到定点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，设点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知O为坐标原点，与x轴不垂直的直线l与曲线C交于A，B两点，若曲线C上存在点P，使得四边形为平行四边形，证明：的面积为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设点，得到方程，化简得到曲线C的方程；
（2）设出直线l，联立曲线C的方程，得到两根之和，两根之积，由四边形为平行四边形得到，设，得到，代入椭圆方程中，得到，表达出和坐标原点到直线l的距离，求出的面积等于.
【详解】（1）设点，依题意可得，
化简得，
所以曲线C的方程为.
（2）证明：设，，直线l：.
由，消去y得，
则，
，，
则，
因为四边形为平行四边形，所以.
设，则，
又因为，即，得，
所以
，
因为坐标原点到直线l的距离，
所以的面积为，
所以的面积为定值.

【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.