2022-2023学年河南省济源第一中学高二上学期期末考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河南省济源第一中学高二上学期期末考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知数列满足，，，则
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由数列满足得数列为等差数列，又由，及等差数列的性质可得，，所以得
【详解】由数列满足得数列为等差数列，所以，即，同理,即，所以，选择B
【点睛】等差数列，若，则，特别的，若，则，其中00000
2．在中，已知，则（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】B
【分析】首先根据正弦定理求得，再比较得到，得到或.
【详解】在中，因为，
由正弦定理得得：，
所以，
又因为，所以，
且，故或.
故选：B
【点睛】本题主要考查解三角形中的正弦定理及大边对大角定理，属于简单题.
3．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则满足条件的（ ）
A．无解B．有一个解
C．有两个解D．不能确定
【答案】C
【分析】根据题中条件，由正弦定理，求出，再验证，即可得出结果.
【详解】因为，，
由正弦定理可得，，所以，
因为为三角形内角，所以，因此或，
若，则符合题意；若，则，符合题意；
因此有两个解；
故选：C.
4．已知等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由等差数列的前项和性质，求出，进而得到.
【详解】由等差数列的前项和性质，
得：，，也成等差数列，
即，
又因，，则解得，
因此.
故选：C.
5．已知等差数列且，则数列的前13项之和为（ ）
A．24B．39C．104D．52
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质化简已知条件可得的值，再由等差数列前项和等差数列的性质即可求解.
【详解】由等差数列的性质可得：，，
所以由可得：，
解得：，
所以数列的前13项之和为
，
故选：D.
6．已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则（ ）．
A．B．C．D．或
【答案】B
【分析】由，，，成等差数列可求出公差，从而可求出，由，，，，成等比数列，可知是和的等比中项，从而可求出，进而可求得答案
【详解】解：因为，，，成等差数列，所以公差,
所以，
因为，，，，成等比数列，所以是和的等比中项，
所以，解得或，
因为等比数列中奇数项同号，所以，
所以，
故选：B
7．已知数列中，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意求出数列的通项公式，再求数列的前项和即可.
【详解】当时，，当时，因为，
所以，两式相减得：，
经验证时，，符合，
所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
故选：A.
8．△ABC中, a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且 则角B的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
【答案】A
【详解】由正弦定理得 可化为
化简得到，可以得到 ，由特殊角的三角函数值得到 .
故答案选A.
9．在中，已知，且满足，则的面积为
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理先进行化简，然后根据余弦定理求出C的大小，结合三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】在中，已知，∴由正弦定理得，
即，∴＝＝，即＝.
∵ ，∴的面积．
故选D．
【点睛】本题主要考查三角形面积的计算，结合正弦定理余弦定理进行化简是解决本题的关键,属于基础题．
10．在△ABC中，三个角满足2A＝B＋C，且最大边与最小边分别是方程3x2－27x＋32＝0的两根，则△ABC的外接圆的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据2A＝B＋C求出A＝，并判断出最大边与最小边，利用一元二次方程的根与系数的关系，得出最大边与最小边之间满足的关系式，再利用余弦定理求出边a，利用正弦定理求出外接圆的半径，即可得到外接圆的面积．
【详解】∵2A＝B＋C，又A＋B＋C＝π，∴A＝，B＋C＝，
可知A既不是最大角也不是最小角，
∴最大边与最小边分别是b，c（不妨设b＞c），
∴b，c分别是方程3x2－27x＋32＝0的两根，则，
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccsA＝(b＋c)2－2bc(1＋csA)＝81－32＝49，∴a＝7，
由正弦定理，得＝2R，知R＝＝，
∴△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝．
故选：B．
11．在中，，，分别为，，的对边，且，，的面积为，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用面积公式得到，结合和余弦定理即可求出的值.
【详解】由，
可得，
又，
且，
得，
所以，
则.
故选：B
12．数列满足，则等于
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】代入求得；当时，可知，与已知等式作差可求得，可知数列为等比数列；由等比数列下标和性质将所求等式化为，求得后代入求得结果.
【详解】当时，
当且时，

经验证，时，满足
数列是以为首项，为公比的等比数列
又
本题正确选项：
【点睛】本题考查由数列前项和求解数列通项公式、等比数列的判断、等比数列性质应用等知识；关键是能够确定已知等式为数列的前项和的形式，进而根据前项和与通项关系求得与有关的数列的通项公式.
二、填空题
13．已知等差数列的公差为正数，且，，则其前20项的和 .
【答案】180
【分析】根据等差中项的性质，结合等差数列的通项公式，可得答案.
【详解】由题意：设等差数列的公差为.
，而，
∴，解得.
∴，解得，
∴.
故答案为：.
14．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则 .
【答案】
【分析】根据数列，是等差数列，且，设，再利用数列通项与前n项和关系求解.
【详解】因为数列，是等差数列，且，
所以设，
所以，
故答案为：
15．已知数列中，，则 ．
【答案】
【解析】将，变形为，利用等差数列定义求解.
【详解】因为，
所以，又，
所以数列是以为首项，以 为公差的等差数列，
所以，
所以 ，
故答案为；
16．在中，已知，给出下列结论：
①由已知条件这一三角形被唯一确定；
②一定是一个钝角三角形；
③；
④若，则的面积是．
其中正确结论的序号是 .
【答案】②③
【分析】由题可得,无法得到确定唯一的三角形；由“大边对大角”,利用余弦定理求得,即可判断三角形是否为钝角三角形；利用正弦定理的边角关系判断③；由求得,进而求出三角形面积即可
【详解】由,可得,即只知道三边的比例关系,无法确定唯一的三角形,故①错误；
则,即,即是钝角三角形,故②正确；
由正弦定理可得,,故③正确；
因为,则,,所以,故④错误；
故答案为：②③
【点睛】本题考查正弦定理的应用,考查三角形的形状的判定,考查三角形面积公式的应用
三、解答题
17．在中，内角对边的边长分别是，已知，．
（Ⅰ）若的面积等于，求；
（Ⅱ）若，求的面积．
【答案】（Ⅰ），，（Ⅱ）
【详解】（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，
又因为的面积等于，所以，得．
联立方程组解得，
（Ⅱ）由题意得，
即，·
当时，，，，，
当时，得，由正弦定理得，
联立方程组解得，．
所以的面积．
18．已知是数列的前项和，，，且，其中.
（1）求证数列是等比数列；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）将化为，根据等差数列的定义可证结论成立；
（2）利用等比数列的通项公式求出，再分组根据等比数列的求和公式可求得结果.
【详解】（1）证明：∵，∴，
∴.
又也满足上式，，
，
∴数列是公比为2，首项为的等比数列.
（2）∵数列是公比为2，首项为的等比数列，
，
，
.
【点睛】方法点睛：证明等比数列的常用方法有：
一、定义法：若，且为常数，，则数列为等比数列；
二、等比中项法：若，则数列为等比数列.
19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，已知
(1)求角A；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知等式由余弦定理和面积公式代入变形可得求角A；
（2）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，进而根据正弦函数的性质即可求解取值范围.
【详解】（1）已知，由余弦定理和三角形的面积公式，
得，即，
若，则，不符合题意，故，
所以，由，得.
（2），，，
由正弦定理，
，
由，则，得，
所以，即的取值范围.
20．已知数列的前项和满足，等差数列满足，．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，问>的最小正整数是多少?
【答案】（1）∴ ；（2）
【详解】解：（1）当时，，∴
当时，，
即
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴
设的公差为，，∴
∴
（2）
∴
由>，得>，解得>
∴>的最小正整数是
21．在①向量，，且，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答.
已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，______.
(1)求角B的大小；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量的数量积运算，结合正弦定理以及余弦定理，可得答案；
（2）利用余弦定理，结合三角形面积公式，可得答案.
【详解】（1）若选条件①，则，
根据正弦定理得，∵，
∴，，∵，∴.
若选条件②，根据正弦定理得，，
∵，∴.
若选条件③，∵，∴，
∴，根据正弦定理得，
∵，∴，，∴，∴.
（2）根据余弦定理得，
∴，∴，的面积为.
22．已知等比数列中，，.
(1)求公比q；
(2)若数列为等差数列，且满足，，求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）根据等比数列的通项公式运算得解；
（2）根据等差数列的基本量运算可得解；
（3）利用错位相减法运算得解.
【详解】（1）∵，，为等比数列，
∴，.
（2）由（1）知，，∴，.
∴，，∴.
∴，即，计算得出，
∴.
（3）由.
∴①．
②．
①－②得：
.