2022-2023学年江苏省南通市崇川区高二上学期期末质量监测数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省南通市崇川区高二上学期期末质量监测数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．过点且与直线平行的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设出所求的直线方程，再利用待定系数法求解即得.
【详解】依题意，设所求直线方程为，
因此，解得，
所以过点且与直线平行的直线的方程为.
故选：C
2．在数列中，若，则的值为（ ）
A．17B．23C．25D．41
【答案】A
【分析】根据给定的通项公式，直接计算即可.
【详解】依题意，.
故选：A
3．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的离心率计算公式，结合渐近线方程可得答案.
【详解】由，可得，
故所求的双曲线的渐近线方程是，即.
故选：D.
4．国际足联世界杯，简称“世界杯”，每四年举办一次，第届世界杯足球赛于年月日在亚洲的卡塔尔举办．根据世界杯足球赛的规则，第一阶段是小组循环赛，每小组有四球队，其中任意两支球队比赛场，每场比赛，若分出胜负，则胜队得分，负队得分，若双方打平，则各得分．小组赛结束后每支球队的积分为该队参加的所有比赛的累计得分，已知某小组在小组循环赛中，场分出胜负，场打平，且四支球队的积分成公差不为的差数列，则积分最高的球队的积分为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用已知条件，设出等差数列首项与公差，列出关系式，然后求解即可.
【详解】由题意可知，总得分为分，得分为等差数列，
设四个积分为，
可得，即，
并且，可得，
所以积分最高的球队的积分为.
故选：B
5．设抛物线的焦点为，若点在抛物线上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用抛物线过点，求出，，然后利用两点之间距离公式即可求解.
【详解】因为点在抛物线上，
所以，，，
则.
故选：C
6．在直角坐标系xOy中，圆M的圆心在射线OM：上，圆M与x轴相切，与y轴相交于A，B两点，若，则圆M的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，设出圆心的坐标，再利用圆的性质列式求解即得.
【详解】依题意，设圆心，由圆与x轴相切，得圆的半径，
圆心到y轴的距离，由圆截y轴所得弦，得，
即，解得，
所以圆M的方程为.
故选：A
7．已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前n项积，则取得最大值时n的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】先求出的通项公式，利用函数的性质即可求得取得最值时的值.
【详解】因为数列为等比数列，，公比，
所以 ，
所以，当时，最大，
即 ，解得：，
所以当时，最大.
故选：B.
8．已知三次函数的零点从小到大依次为m，0，2，其图象在处的切线l经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可设，求导，根据导数的几何意义可得切线方程为，代入点运算求解即可.
【详解】由题意可设，
则，
可得，
即切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，
代入点得，
且，得，解得.
故选：B.
二、多选题
9．下列式子求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据基本初等函数的求导公式，以及加减乘除和复合函数的求导法则即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A, ,故A正确，
对于B, ,故B错误，
对于C，，故C正确，
对于D，，故D错误，
故选：AC
10．设点A在圆O：上，点B在圆C：上，则（ ）
A．圆O与圆C外切
B．存在点A，B，
C．存在点A，B，
D．当直线AB与圆C相切时，的最小值为
【答案】BD
【分析】求出圆心距判断A；求出的取值范围判断B；求出的量大值判断C；求出的最小值判断D.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
对于A，，则圆O与圆C外离，A错误；
对于B，依题意，，即，
显然，B正确；
对于C，对于给定点，当与圆相切时，取得最大值，此时，
当且仅当点是圆与y轴正半轴的交点时取等号，而是锐角，则最大值为，C错误；
对于D，当直线AB与圆C相切时，，当且仅当点坐标为时取等号，D正确.
故选：BD
11．设数列是公差为d的等差数列，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等差数列B．是等比数列
C．D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，求出，再逐项分析、计算即可判断得解.
【详解】由数列是公差为d的等差数列，，得，即，
对于A，，不是常数，A错误；
对于B，，显然数列是等比数列，B正确；
对于C，由选项B知，，则，因此，C正确；
对于D，，由选项A知，，D正确.
故选：BCD
12．已知，分别为椭圆C：的左，右焦点，A为C的上顶点，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则（ ）
A．椭圆C的焦距为2B．
C．的面积为D．的周长为8
【答案】ABD
【分析】对于A：根据椭圆方程分析求解；对于B：分析可知，联立方程结合弦长公式分析求解；对于C：由，进而结合选项B求面积；对于D：根据已知条件及等边三角形的性质，再利用等腰三角形的三线合一定理及椭圆的定义，结合三角形的周长公式即可求解.
【详解】由，得，，，
解得，，
因为椭圆的上顶点为，两个焦点为，，
Ze ，故A正确；
所以，即为等边三角形，
因为过且垂直于的直线与交于两点，
可知，可知直线的斜率，
则，设，
联立方程，消去x得，
则，可得，
所以，故B正确；
因为，
所以的面积为，故C错误；
因为
由椭圆的定义可知，,
所以的周长为，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
13．已知等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，则 ．
【答案】
【分析】由等比数列前项和公式，将已知等式转化为基本量求解，所求式子也用基本量表示代入值可得.
【详解】由，，成等差数列，
则，
当时，，
由等比数列中，，则，故不满足题意，
则，所以，
化简得，. 解得（舍），或，
则.
故答案为：.
14．某同学在劳动实习中，加工制作烟筒．如图，先用矩形铁皮围成一个圆柱，然后用一平面截该圆柱得到两个柱形部件，再将两个部件焊接在一起做成一个直角烟筒弯头，则两个烟筒部件在焊接处的椭圆的离心率为 ．
【答案】
【分析】用圆柱形部件的底面圆半径表示出椭圆的长短长，再求出椭圆离心率.
【详解】设圆柱形部件的底面圆半径为，依题意，截面与圆柱底面所在平面成角，
因此，椭圆的长轴长，短轴长，即，
所以该椭圆的离心率.
故答案为：
15．已知直线与曲线相切，则实数 ．
【答案】
【分析】令，切点为，求导，再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意即可得出答案.
【详解】由题意知，令，则，
设切点为，则，
故切线方程可表示为：，
即，
则，解得：，
所以.
故答案为：.
16．设F是双曲线C：的左焦点，点P是双曲线右支上一点，直线PF与以双曲线实轴为直径的圆交于M，N两点，且，则直线PF的斜率为 ，又，则点F到该双曲线的一条渐近线的距离为 ．
【答案】
【分析】设为双曲线的右焦点，取的中点，则，可得，设，利用已知可得，进而可得，可求结论.
【详解】设双曲线的右焦点，半焦距为c，取的中点，则，
由，得是的中点，，则，，
设，则，，
由，得，解得，
于是，，
当点在第一象限时，直线的斜率为，当点在第四象限时，直线斜率为，
所以直线的斜率为；
由，得，又由，得，解得，
，所以点到渐近线的距离.
故答案为：；
【点睛】思路点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系.
四、解答题
17．设m为实数，已知F为抛物线的焦点，是抛物线上一点，O为坐标原点，且．
(1)求m的值；
(2)过点F垂直于MF的直线与抛物线相交于A，B两点，求AB的长．
【答案】(1)6
(2)32
【分析】（1）根据题意分析可知直线的，根据抛物线方程以及斜率公式列式求解；
（2）根据题意可得直线AB的方程，联立抛物线方程，结合抛物线的定义分析求解.
【详解】（1）由题意可得：，直线的倾斜角为，斜率，
则，解得或（舍去），
所以m的值为6.
（2）由（1）可知：抛物线方程为，，
因为，可知直线的斜率为，
则直线的方程为，
设，
联立方程，消去y得，
则，可得，
所以.
18．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：已知等差数列的前n项和为，满足，且________，
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求满足的最大整数n的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)条件选择见解析，；
(2)6.
【分析】（1）选择条件①②③，分别由数列的递推式和等差数列的通项公式、求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求.
（2）由等差数列的求和公式及裂项相消求和，再解不等式可得所求最大值.
【详解】（1）选①，，则，即，
于是等差数列的公差，由，得，解得，
所以的通项公式.
选②，，令等差数列的公差为，则，
于是，即，由，得，解得，
所以的通项公式.
选③，，则，即有，
两式相减得，显然，
于是，令等差数列的公差为，有，即，
由，得，解得，
所以的通项公式.
（2）由（1）得，，
因此，
由，得，解得，
所以最大整数的值为6.
19．已知的一条内角平分线的方程为，一个顶点为，边上的中线所在直线的方程为．
(1)求顶点的坐标；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由点在直线上，设，由为边上的中线，得出线段的中点在直线上，根据中点公式求出中点，代入直线的方程即可求解；
（2）由是的一条角平分线，得出点关于直线的对称点在直线上，由点关于直线对称得出坐标，结合点的坐标求出直线的方程，再与直线联立求出的坐标，由两点之间距离公式求出，由点到直线距离公式求出到直线的距离，即可根据三角形面积公式代入计算即可．
【详解】（1）因为直线的方程为，
设，又，
所以线段的中点坐标为，
因为线段的中点在直线上，
所以，整理得，即，
所以．
（2）因为是的一条角平分线，
所以点关于直线的对称点在直线上，
设，
则，解得，
所以，
所以直线的方程为，整理得，
联立直线与直线的方程，，
解得，即，
所以，
点到直线的距离，
所以．
20．已知圆：上，圆：．
(1)圆与圆交于点，，若，求圆的半径；
(2)是否存在斜率为的直线，使以被圆截得的弦为直径的圆过点？若有，求出直线的方程，若不存在，说明理由．
【答案】(1)2
(2)存在，
【分析】（1）先利用两圆方程相减求得公共弦所在直线方程，进而利用弦长求得半径.
（2）设直线方程为，，，与圆联立方程可得，，，得，由已知可得，进而可得，求解即可.
【详解】（1）因为圆：，
圆：，
所以两圆方程相减得直线方程为，
又，
所以圆心到直线距离为，
两圆心距离为，
所以圆心到距离为，解得，.
（2）设直线方程为，，，
联立直线与圆消去得，
所以，，
，得，
，
，
因为被圆截得的弦为直径的圆过，
所以，，
所以，
即，解得，
所以存在斜率为的直线，
使以被圆截得的弦为直径的圆过点，
且直线方程为.
21．已知函数，记，且，
(1)求，；
(2)设，，
（i）证明：数列是等差数列；
（ii）求数列的前n项和．
【答案】(1)，；
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【分析】（1）利用求导公式及导数运算法则求出的导数，再求的导数即得.
（2）（i）求得，且，由等差数列的定义可得证明；（ii）由等差数列的通项公式和数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和.
【详解】（1）函数，，
.
（2）（i）由（1）知，，，
，
，
当时，，，
因此，，显然数列是首项为2，公比为2的等比数列，，
则，，从而，
所以数列是首项为，公差为的等差数列.
（ii）由（i）得，即有，
，
于是，
两式相减得，
所以数列的前项和.
【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解．
22．已知双曲线C：经过点，其离心率为，A，B分别为C的左，右顶点．若P为直线上的动点，PA与C的另一交点为M，PB与C的另一交点为N．
(1)求C的方程；
(2)证明：直线MN过定点．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由已知可得，把点的坐标代入方程可得，由此能求出双曲线的方程.
（2）设，由已知条件分别求出点的坐标，设定点为，再由共线向量的坐标表示列式计算即得.
【详解】（1）令双曲线的半焦距为c，由离心率为，得，又，则，
而双曲线经过点，即，联立解得，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）知，双曲线的左顶点，右顶点，设直线上的动点，
于是直线的斜率，直线的方程为，
由消去y并整理，得，设，
则，即点的坐标为，其中，
直线的斜率，直线的方程为，
由消去y并整理，得，设，
则，即点的坐标为，其中，
由双曲线的对称性知符合要求的定点在轴上，不妨设这个定点为，
，显然，
即，
当时，整理得，解得，则直线过点，
当时，直线与x轴重合，直线也过点，
所以直线经过定点.
【点睛】思路点睛：经过圆锥曲线上满足某条件的两个动点的直线过定点问题，求出这两个动点坐标，可借助向量共线或求出直线方程，即可解决.