2022-2023学年四川省攀枝花市高二上学期期末考试数学（理）试题含答案

这是一份2022-2023学年四川省攀枝花市高二上学期期末考试数学（理）试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向右，焦点为
C．开口向上，焦点为D．开口向右，焦点为
【答案】A
【分析】将抛物线方程化为标准方程，再由抛物线的性质，即可得到开口方向和焦点坐标．
【详解】抛物线，即为抛物线，
由抛物线的性质可得该抛物线开口向上，
焦点为．
故选：A．
2．已知随机事件和互斥，且，，则事件的对立事件的概率为（ ）
A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8
【答案】D
【分析】借助互斥事件的概率公式及对立事件的定义计算即可得．
【详解】根据题意，因为，事件和互斥，
所以，
所以，
所以事件的对立事件发生的概率为.
故选：D.
3．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】4．2022年第24届冬奥会在北京和张家口成功举办，出色的赛事组织工作赢得了国际社会的一致称赞，经济效益方面，得到的数据如图所示．已知赛事转播的收入比政府补贴和特许商品销售的收入之和多27亿元，则估计2022年冬奥会这几项收入总和约为（ ）
A．118亿元B．143亿元C．218亿元D．223亿元
【答案】C
【分析】直接利用题意列出关系式，解方程即可进一步求出结果.
【详解】设2022年冬奥会收入的总和大约为亿元，
由于赛事转播的收入比政府补贴和特许商品销售的收入之和多27亿元，
故，
解得（亿元）．
故选：C．
5．的展开式中，常数项为
A．－15B．16C．15D．－16
【答案】B
【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的常数项．
【详解】∵（）•（1），故它的展开式中的常数项是1+15=16
故选B
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，项的系数的性质，熟记公式是关键，属于基础题．
6．2021年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于12秒与18秒之间，抽取其中100个样本，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，…，第六组，得到如下频率分布直方图，则该100名考生的成绩的平均数和中位数（保留一位小数）分别是（ ）
A．15.2 15.4B．15.1 15.4C．15.1 15.3D．15.2 15.3
【答案】C
【分析】利用平均数和中位数的定义求解.
【详解】100名考生成绩的平均数
，
因为前三组面积和为，
前四组面积和为，
所以中位数位于第四组内，设中位数为，
则有，
解得，
故选：C.
7．程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果，则判断框中应填入
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】按照程序框图执行，直到结果为，即可确定判断框中的条件.
【详解】初始值
执行框图如下：
；不能满足条件，进入循环
；不能满足条件，进入循环；
，此时要输出，因此要满足条件，所以.
故选D
【点睛】本题主要考查程序框图，分析清楚框图的作用，即可求解，属于基础题型.
8．为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设，，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ）
A．54种B．240种C．150种D．60种
【答案】C
【分析】根据已知对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理即可求解．
【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选，，C三门德育校本课程，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，有两类情况，
①三组人数为1、1、3，此时有种情况，
②三组人数为2、2、1，此时有种情况，
所以共有种．
故选：C．
9．甲、乙两位同学进行围棋比赛，约定五局三胜制（无平局），已知甲每局获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据进行分类讨论，结合独立重复试验概率计算公式求得正确答案.
【详解】解：根据题意，甲获胜包括三种情况，即.
若甲获胜，则概率为；
若甲获胜，则概率为；
若甲获胜，则概率为；
所以甲胜的概率为.
故选：D
10．若平面内两定点、的距离为4，动点满足，若点不在直线上（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】以经过，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，设，得到，当点到（轴）的距离最大时，求解三角形的面积的最大值即可．
【详解】解：以经过，的直线为轴，建立直角坐标系，
如图所示：
则，，设，
∵，∴，
整理得：，即，
当点到（轴）的距离最大，即最大值为时，三角形的面积最大，
所以三角形面积的最大值为．
故选：C．
11．已知、分别为椭圆：的左、右焦点，为椭圆上一点，以为圆心，为半径的圆交轴于、两点，则的最大值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【分析】设出的坐标，利用垂径定理，得到．
【详解】、分别为椭圆的左、右焦点，故，
设，
以点为圆心，为半径的圆交轴于、两点，
则
．
当且仅当时，取得最大值．
故选：D．
12．已知双曲线：(，)的渐近线与抛物线：()交于点、、，若的垂心为抛物线的焦点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设所在的直线方程为，则所在的直线方程为，联立，求得点的坐标，再根据是的垂心，由求解.
【详解】设所在的直线方程为，则所在的直线方程为，
解方程组得：，
则点的坐标为，
抛物线的焦点的坐标为，
∵是的垂心，
∴，
∴，即，
∴，
解得，
故选：A.
二、填空题
13．某学生的八次数学测验成绩（百分制）的茎叶图如图所示，则这八次成绩的中位数为 ．
【答案】83
【分析】由题中茎叶图可得八次成绩的具体数据，再根据中位数定义可得.
【详解】由题中茎叶图可得八次成绩的具体数据为：
69，72，75，82，84，86，90，95，
则中位数为.
故答案为：83.
14．明代著名数学家程大位所著的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作，它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第三十三问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个，问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数为 ．
【答案】84
【分析】根据题中给出的程序框图，模拟程序的运行，直到条件满足，由此求出输出S的值．
【详解】根据题意，模拟程序的运行：
输入，，，
则，，，不满足条件，执行循环体；
，，，不满足条件，执行循环体；
，，，不满足条件，执行循环体；
，，，不满足条件，执行循环体；
，，，不满足条件，执行循环体；
，，，不满足条件，执行循环体；
，，，刚好满足，
因此，最终输出的值为84．
故答案为：84．
15．某公司为提高产品的竞争力、开拓市场，决定成立甲乙两个小组进行新产品研发，已知甲小组研发成功的概率为，乙小组研发成功的概率为．则在新产品研发成功的情况下，新产品是由甲小组研发成功的概率是 ．
【答案】/0.8
【分析】根据对立事件求出新产品研发成功的概率，再根据条件概率公式可直接求解．
【详解】设事件A为“新产品研发成功”，则，
事件为“甲小组研发成功”，则，
则在新产品研发成功的情况下，是由甲小组研发成功的概率为．
故答案为：
16．设是双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点、，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为 ．
【答案】/
【分析】设为双曲线的左焦点，由题意画出图形，由已知结合双曲线的定义求解，，再由余弦定理列式求解双曲线的离心率即可．
【详解】设为双曲线的左焦点，如图所示，
由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，
∴，，
而，所以，
由双曲线的定义可知，，
∴，，
∵，∴，
在中，由余弦定理知，
即，化简得，
∴（负值舍去）．
故答案为：．
三、解答题
17．已知双曲线的离心率为，且经过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)经过点的直线交双曲线于、两点，且为的中点，求的方程．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由双曲线的离心率可得，设出双曲线方程，代入已知点的坐标求解，则双曲线方程可求；
（2）利用“点差法”求直线的斜率，然后结合的坐标可求出的方程．
【详解】（1）由，得，即，
∴，
设双曲线的方程为或，
把代入两个方程，得或，
解得（第二个方程无解），
∴双曲线的标准方程为；
（2）设，，
∵，都在双曲线上，∴，，
两式作差可得：，即，
∵为的中点，∴，，
可得，
∴直线的方程为，即，
联立，得，
，符合题意．
∴直线的方程为．
18．从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目．
已知（），且的二项展开式中，____．
(1)求的值；
(2)①求二项展开式的中间项；
②求的值．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)①；②．
【分析】（1）由题意，根据系数、二项式系数等知识，列出等式，解出的值．
（2）由题意，利用通项公式求出二项展开式的中间项，再判断、、、、为正数，、、、为负数，再给赋值，从而求出的值．
【详解】（1）若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是，
则有，
化简可得，求得或（舍去）．
若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36，
则有，
化简可得，求得或（舍去）．
（2）由（1）可得，
①的二项展开式的中间项为．
②二项式展开式的通项公式为，
所以、、、、为正数，、、、为负数．
在中，令．
再令，可得，
∴．
19．“停课不停学，停课不停教”，疫情防控静态管理期间，从高二年级随机抽取120名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这120人中随机抽取1人，抽到喜欢钉钉直播上课的学生的概率是．
(1)请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析能否有95%的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关？
(2)校团委为进一步了解学生喜欢钉钉直播上课的原因，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人组成总结交流汇报小组，从该小组中随机抽取3人进行汇报，记3人中男生的人数为X，求X的分布列、数学期望．
附临界值表：
参考公式：，其中．
【答案】(1)没有95%的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关；
(2)分布列见解析，．
【分析】（1）求出喜欢钉钉直播上课的学生的人数，补充列联表即可，代入计算即可判断；
（2）确定抽取的男生人数，确定X的可能取值，分别求出，，的值，求出分布列，从而求出数学期望．
【详解】（1）由120人中随机抽取1人抽到喜欢钉钉直播上课的学生的概率是，
故喜欢钉钉直播上课的学生共有50人，列联表补充如下：
由已知数据可求得：，
所以没有95%的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关．
（2）由（1）知喜欢钉钉直播上课的男女生比例为，
按照分层抽样的方法，从该类学生中抽取5人组成总结交流汇报小组，抽取男生2人，
则的可能取值为0，1，2，
则，，，
所以的分布列为：
的数学期望为：．
20．已知抛物线：（）的焦点为F，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线交于、两点，过原点垂直于的直线与抛物线的准线相交于点．设、的面积分别为、，求的最大值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据题设条件列关于，的方程组，求出即可；
（2）设直线的方程为，与抛物线联立，得，设出交点坐标，将、的面积、表示出来，再利用基本不等式求得最值．
【详解】（1）由题意可得，解得，
故抛物线的方程为；
（2）
由（1）可得，且斜率存在不为零，设直线的方程为，
与抛物线的方程联立，消去，
可得，恒成立，
设，，则，，
所以，
则原点到直线l的距离为，
所以，
易得，，
所以，
故，
设，则，
当且仅当，即时，所以．
【点睛】本题考查抛物线方程求法，考查直线与抛物线的综合运用．
（1）根据题设条件列关于，的方程组，求出即可；
（2）设直线的方程为，与抛物线联立，得，设出交点坐标，将、的面积、表示出来，再利用基本不等式求得最值．
21．已知过点的曲线的方程为．
(1)求曲线的方程；
(2)点为曲线与轴正半轴的交点，不过点且不垂直于坐标轴的直线交曲线于、两点，直线、分别与轴交于、两点．若、的横坐标互为倒数.问：直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线过定点
【分析】（1）将点代入方程求出，再根据椭圆定义求解出的方程；
（2）设出的方程以及的坐标，联立与椭圆方程得到对应韦达定理形式，表示出的直线方程从而求得，根据以及韦达定理形式求得的值，从而可判断所过定点.
【详解】（1）将代入曲线方程，
由椭圆定义可知曲线是以，为焦点的椭圆，即，
则，
所以曲线的方程为；
（2）由题意可知，设，，，
联立，化简得，
因为，所以，
所以，，
所以直线的方程为，令得，
所以直线的方程为，令得，
因为，
所以，
所以，
所以，
整理得，解得或，
当时，经过，不符合题意，
所以，，
即直线的方程为，
所以直线过定点．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中过定点问题的两种求解方法：
（1）若设直线方程为或，则只需要将已知条件通过坐标运算转化为之间的线性关系，再用替换或用替换代入直线方程，则定点坐标可求；
（2）若不假设直线的方程，则需要将直线所对应线段的两个端点的坐标表示出来，然后选择合适的直线方程形式表示出直线方程，由此确定出定点坐标.
22．攀枝花属于亚热带季风气候区，水果种类丰富．其中，“红格脐橙”已经“中华人民共和国农业部2010年第1364号公告”予以登记，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“红格脐橙”的果径（最大横切面直径，单位：）在正常环境下服从正态分布．
(1)一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”，求会买到果径小于的概率；
(2)为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图是2013年至2022年（单位：万元）与年利润增量y（单位：万元）的散点图：
该果园为了预测2023年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了关于的两个回归模型；
模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：；
模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近．对投资金额做交换，令，且有，，，．
（ⅰ）根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程；
（ⅱ）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）．
附：若随机变量，则，；
样本（）的最小二乘估计公式为，；
相关指数．
参考数据：，，，．
【答案】(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）模型②刻画的拟合效果更好，当时，模型②的年利润增量的预测值为万元．
【分析】（1）由正态分布的对称性结合法则求解；
（2）（ⅰ）由已知数据利用最小二乘法求解模型②中关于的回归方程；
（ⅱ）由已知表格中的数据，可得模型①的小于模型②，说明模型②刻画的拟合效果更好，再由（ⅰ）中求得线性回归方程求解．
【详解】（1）由题意，，，
由正态分布曲线的对称性可知，
．
设一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”，
其中果径小于的有个，，
故，
∴一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”，会买到果径小于的概率为；
（2）（ⅰ）由题中所给数据，可得，，
，．
∴模型②中关于的线性回归方程为；
（ⅱ）由表格中的数据，有，即，
∴模型①的小于模型②，说明模型②刻画的拟合效果更好．
当时，模型②的年利润增量的预测值为：
万元．
男生
女生
合计
喜欢钉钉直播上课
20
不喜欢钉钉直播上课
30
合计
120
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.63
7.879
男生
女生
合计
喜欢钉钉直播上课
20
30
50
不喜欢钉钉直播上课
40
30
70
合计
60
60
120
X
0
1
2
P
回归模型
模型①
模型②
回归方程
102.28
36.19