2022-2023学年上海市普陀区桃浦中学高二下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年上海市普陀区桃浦中学高二下学期期末数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．已知椭圆经过点和，则椭圆的离心率为 .
【答案】/0.5
【分析】通过已知两个点求出椭圆方程即可得到离心率.
【详解】将两个点代入椭圆方程得：，解得，故.
故答案为：
2．已知函数，则的极小值为 ．
【答案】/-0.5
【分析】根据函数的导数与单调性、极值的关系求解.
【详解】函数的定义域为，
，
令，即，得，
令，即，得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
故当时，函数取得极小值，极小值为．
故答案为: .
3．某微信群中五人同时抢4个红包，每人最多抢一个且红包全部被抢完，已知4个红包中有两个2元，一个3元，一个5元（红包中金额相同视为相同的红包），则有 种不同的情况.
【答案】60
【分析】可分2步进行分析：①在5人中任选2人，抢两个2元的红包；②经剩下的2个红包分给剩下的3人中的2个人，最后由分步计数原理，即可求解．
【详解】根据题意，可分2步进行分析：
①在5人中任选2人，抢两个2元的红包，有种情况；
②经剩下的2个红包分给剩下的3人中的2个人，有种情况，
由分步计数原理可得，共有种不同的情况．
故答案为60.
【点睛】本题主要考查了排列、组合及计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理分类是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
4．若圆与圆交于P，Q两点，则直线PQ的方程为 .
【答案】
【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线PQ的方程，运算求解即可.
【详解】∵圆与圆相交，则两圆方程之差即为直线PQ的方程，
将与作差得，
整理得，
即直线PQ的方程为.
故答案为：.
5．已知函数，若，使成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】结合导数分析函数在上的单调性，进而求解即可.
【详解】因为，
所以
当时，，
则函数在上单调递增，
所以，即
因为，使成立，
所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
6．设随机变量Y满足，方程有实数根的概率是，则 .
【答案】1
【解析】由题意可得，再由正态分布曲线的对称性可得值.
【详解】由方程有实数根，
得，解得
即，因为，
所以
故答案为：1.
【点睛】本题主要考查正态分布的对称性，意在考查灵活应用所学知识解得问题的能力，属于基础题.
7．曲线上的点到直线的距离的最小值为
【答案】
【分析】求出曲线的斜率为的切线与曲线相切的切点坐标，再根据点到直线的距离公式可求出结果.
【详解】的定义域为，
求导得，令，解得，则，故切点坐标为，
故曲线上的点到直线的距离的最小值即为切点到直线的距离，即为.
故答案为：
8．已知函数，若函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数的单调性与导函数的关系，将其转化为在恒成立即可求解.
【详解】,在上是严格减函数,故在恒成立，且不恒为0，即，记，则，所以在单调递增，故，因此，
故答案为：
9．某小区一号楼共有层，每层只有家住户，已知任意相邻两层楼的住户在同一天至多一家有快递，且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递，则在同一天这家住户有无快递的可能情况共有 种．
【答案】
【分析】将所有的情况按照有2组2户相邻住家收不到快递，只有1组2户相邻住家收不到快递和没有相邻2户收不到快递三种情况，分别列举可能的情况再求和即可.
【详解】有快递用符号#，没有快递用符号O，
由题意，有2组2户相邻住家收不到快递，有：
#OO#OO#；OO#OO#O；O#OO#OO；OO#O#OO；4种；
只有1组2户相邻住家收不到快递，6种：
1、2层，2、3层，3、4层，4、5层，5、6层，6、7层，有6种；
没有相邻2户收不到快递，有O#O#O#O；#O#O#O#O，2种情况．
共有12种可能．
故答案为：12.
10．已知为坐标原点，，.若点满足.记点的轨迹为曲线，且与曲线在第一象限的交点为，则 .
【答案】
【分析】根据椭圆的定义可判断曲线为椭圆，再联立方程求出点坐标即可
【详解】由已知可得，，且，
则点的轨迹为以，为焦点的椭圆.
设椭圆的方程为.则，
即，，，
所以：，
又C与曲线在第一象限的交点为.
如图所示，联立方程
解得，
则.
故答案为：
11．已知函数在x＝1处取得极值，则函数的一个极大值点为 ．
【答案】(答案不唯一）
【分析】先利用条件求出，从而得到，再利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而利用极值点的定义求出结果.
【详解】因为，所以，则，解得a＝1，则，所以，
由，得到或，，
由，得到，，
由，得到，，所以的极大值点为，，
当k＝0时，，故的一个极大值点为（答案不唯一，满足，即可）.
故答案为：.
12．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线C上一点.下列说法中正确的有 .①双纽线关于原点中心对称； ②；③双纽线上满足的点有两个； ④.的最大值为.
【答案】①②④
【分析】对于①，根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将替换方程中的进行判断，对于②，根据三角形的等面积法分析判断，对于③，由题意得，从而可得点在轴上，进行可判断，对于④，由向量的性质结合余弦定理分析判断.
【详解】对于①，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，
所以，
用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以①正确，
对于②，根据三角形的等面积法可知，
即，所以，所以②正确，
对于③，若双纽线上的点满足，则点在轴上，即，
所以，得，所以这样的点只有一个，所以③错误，
对于④，因为，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以的最大值为，所以④正确，
故答案为：①②④
二、单选题
13．(1－x)6展开式中，x的奇次项系数和为（ ）
A．32B．－32
C．0D．－64
【答案】B
【解析】首先求二项展开式，再求奇次项系数的和.
【详解】，
所以x的奇次项系数和为，
故选：B.
14．已知直线经过双曲线的一个焦点，且平行于的一条渐近线，则的实轴长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意列出满足的方程，求得a的值，即得答案.
【详解】由题意知，的焦点在轴上，所以直线与轴的交点是的一个焦点，
故；
又因为直线与的一条渐近线平行，故的一条渐近线的斜率为-2，
即，联立，解得，
因此的实轴长为，
故选：C.
15．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，记次品数为，已知，且该产品的次品率不超过，则这10件产品的次品数为（ ）
A．2件B．4件C．6件D．8件
【答案】A
【解析】设10件产品中存在件次品，根据题意列出方程求出的值．
【详解】设10件产品中存在件次品，从中抽取2件，其次品数为，
由得，，
化简得，
解得或；
又该产品的次品率不超过，
；
应取，
故选：A
【点睛】本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列问题，是基础题．
16．过坐标原点的直线与圆相交，且将该圆分成的两段弧长之比为，则的斜率为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【分析】由题得两段弧所对的圆心角分别为和，圆心到的距离为1，设的方程为，解方程即得解.
【详解】圆心坐标为，半径为2，因为将该圆分成的两段弧长之比为，
则两段弧所对的圆心角分别为和，
由几何性质可知，圆心到的距离为1，
设的方程为，则，
所以．
故选：B
三、解答题
17．已知函数在处的切线为．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求函数在上的最值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的最大值为，最小值为.
【分析】（Ⅰ）由导数的几何意义以及切点在切线上也在曲线上联立方程可解.
（Ⅱ）利用导数求出单调区间，再根据单调性可求最值.
【详解】解：（Ⅰ），
，
由题意，有，解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
，
令，得；令，得.
在上单调递增，在上单调递减.
，
.
18．已知椭圆的焦点在x轴上，满足短轴长等于焦距，且长轴两端点与上顶点构成的三角形面积为.
（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）若双曲线与（1）中椭圆有相同的焦点，且过点，求双曲线的标准方程.
【答案】（1）椭圆的标准方程为，离心率为；（2）.
【解析】（1）根据题意可得，根据三角形面积为，可得，根据a，b，c的关系，即可求得a，b，c的值，即可得答案.
（2）由（1）可得焦点坐标，根据双曲线定义，可求得双曲线中a，根据双曲线中a，b，c的关系，即可求得a，b，c的值，即可得答案.
【详解】（1）由题意得：在椭圆中，，且.
根据，解得，，
所以椭圆的标准方程为.
椭圆的离心率为.
（2）由题意，椭圆的焦点为和.
因为双曲线过点，根据双曲线的定义，
得，
所以，又因为，
所以，
所以双曲线的标准方程为.
19．年月日时分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，适逢暑假，大学生小张调查了当地某小区的户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成、、、、五组作出频率分布直方图，如图：
（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的户居民捐款情况如表格，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为捐款数额多于或少于元和自身经济损失是否到元有关？
（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取户居民，抽取次，记被抽取的户居民中自身经济损失超过元的人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差.
【答案】（1）答案见解析，有；（2）分布列见解析，，.
【分析】（1）由频率分布直方图可求出抽取的户中，经济损失不超过元的户数，经济损失超过元的户数， 从而可补全列联表，进而可求出，得出结论；
（2）由题意知的取值可能有、、、，符合二项分布，则，从而利用二项分布的概率公式求出各自对应的概率，进而可得的分布列，期望和方差.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的户中，经济损失不超过元的有户，则经济损失超过元的有户，
则表格数据如下：
，
∵，，
∴有以上把握认为捐款数额是否多于或少于元和自身经济损失是否到元有关；
（2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过元居民的频率为，将频率视为概率，
由题意知的取值可能有、、、，符合二项分布，则，
，，
，，
从而的分布列为：
，.
20．已知函数，．
（1）当时，若在点，切线垂直于轴，求证：；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2），．
【分析】（1）首先求函数的导数，利用，求证等式；（2）利用参变分离，，转化为求函数的最小值.
【详解】（1）证明：由题意可知，
则，
设切点为，，
则由，解得，
则，即，
故等式得证；
（2）解：因为，其中，
所以对恒成立，
令，
则，
即，
令，
则，其中，
则为上的增函数，
又因为（1），，
所以存在，使得，
即，即，
又因为在上单调递增，
故，即，
又当时，，所以为减函数，
当时，，所以为增函数，
所以，
所以的取值范围为，．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是第二问利用二次导数求函数的最值，一般都是利用二次导数的正负，判断导数的单调性，再结合零点存在性定理，可知存在极值点，使，再通过代换求函数的最值.
21．已知椭圆：（）的离心率为，右顶点、上顶点分别为、，原点到直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，为椭圆上两不同点，线段的中点为．
①当的坐标为时，求直线的直线方程
②当三角形面积等于时，求的取值范围．
【答案】（1）（2）①，②.
【解析】（1）设出方程，根据到直线的距离列出关于的方程，结合离心率求解出的值，由此求解出椭圆的方程；
（2）①利用点差法结合点坐标，求解出直线的斜率，再根据直线的点斜式方程求解出的直线方程；
②根据直线与轴是否垂直进行分类讨论，若与轴垂直，则根据坐标直接求解出的值；若与轴不垂直，采用联立方程思想，借助韦达定理表示出三角形的面积，由此得到关于的等式，再化简的表达式，即可求解出的范围.
【详解】解：（1）设直线，即，
所以到直线的距离为，所以，
又因为，所以，所以椭圆的方程为：；
（2）①因为的中点为，且的斜率存在，设 ，
所以，所以，所以，
又因为，所以，
所以的直线方程为：，即；
②若直线垂直于轴，则
，，所以
若直线不垂直于轴，设直线方程：，，
，
所以，，，即，
又因为到的距离为，所以，
，且此时，即满足，
而，，
所以，
因为，所以，所以，所以，
综上可知：.
【点睛】方法点睛：已知椭圆中一条弦的中点坐标，求解该弦所在直线方程时，可以通过先设出弦所在直线与椭圆的交点坐标，将坐标代入椭圆方程中并将两个方程作差，由此可得中点和坐标原点连线的斜率与直线斜率的关系，从而根据直线的点斜式方程可求解出直线方程.
经济损失
不超过元
超过元
合计
捐款超过元
捐款不超过元
合计
经济损失不超过元
经济损失超过元
合计
捐款超过元
捐款不超过元
合计