2023-2024学年福建省建瓯市芝华中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省建瓯市芝华中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在空间直角坐标系中，已知点，则线段的长度为（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】A
【分析】根据距离公式计算即可.
【详解】.
故选：A.
2．已知直线在轴上的截距为，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】直线在轴上的截距为，即过点，代入即可求出.
【详解】因为直线在轴上的截距为，
所以，所以.
故选：D
3．圆的圆心和半径分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】先化为标准方程，再求圆心半径即可.
【详解】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.
故选：D.
4．已知是空间的一个基底，，，若，则 （ ）
A．B．C．6D．5
【答案】C
【分析】化简，结合，列出方程组，即可求解.
【详解】因为向量，
又因为，且，
可得，则，解得，
所以.
故选：C.
5．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交且过圆心B．相切
C．相离D．相交但不过圆心
【答案】D
【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得结论.
【详解】圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
因为，所以直线与圆相交但不过圆心，
故选：D.
6．已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】易知焦点坐标，根据三角形重心性质以及抛物线焦半径公式可知.
【详解】抛物线的焦点为，由重心的性质有，
又由抛物线的定义知，
同理可得，
又因为，
所以，
故选：C．
7．如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使杯底与水平桌面成，此时杯内水面成椭圆形，此椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题干条件作出辅助线，求出，即，进而求出离心率.
【详解】如图，由题意得：∠BAC=30°，，，且AC=DE，则在直角三角形ABC中，，所以，所以此椭圆的离心率.
故选：C
8．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.
【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，
设，则，显然有，，
，因此，，在，，
即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，
所以E的离心率为.
故选：B
【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得的值，根据离心率的定义求解离心率；
②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
二、多选题
9．已知圆：与圆：外切，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】由两圆外切可得圆心距等于半径之和，从而可得答案.
【详解】圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
因为圆：与圆：外切，
所以，即，解得或.
故选：AC.
10．下列选项正确的是（ ）
A．两条不重合直线的方向向量分别是，则
B．直线的方向向量，平面的法向量是，则
C．直线的方向向量，平面的法向量是，则
D．两个不同的平面的法向量分别是，则
【答案】AD
【分析】对于A由不重合两直线方向向量平行可判断；对于B要考虑直线可能在面内；对于C，直线方向向量与法向量平行，则直线与面垂直；对于D，由两法向量垂直可得两平面垂直.
【详解】对于A，两条不重合直线的方向向量分别是：
，
则，所以，即，故A正确；
对于B，直线的方向向量，平面的法向量是，
则，
所以，即或，故B错误；
对于C，直线的方向向量，平面的法向量是，
则，所以，即，故C错误；
对于D，两个不同的平面的法向量分别是，
则，
所以，故D正确．
故选：AD.
11．若曲线：，下列结论正确的是（ ）
A．若曲线是椭圆，则B．若曲线是双曲线，则
C．若曲线是椭圆，则焦距为D．若曲线是双曲线，则焦距为
【答案】BCD
【分析】根据方程表示椭圆、双曲线的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项
【详解】对于A，时，系数为正数，系数为负数，曲线不是椭圆，故不正确；
对于B，若曲线为双曲线，则，解得，故正确；
对于C，若曲线为椭圆，则，
故即所以，故正确；
对于D，若曲线为双曲线，则，
故即，所以，故正确；
故选：BCD
12．已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为，焦距为，点P在椭圆C上且满足，直线与椭圆C交于另一个点Q，若，点M在圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为B．面积的最大值为
C．D．圆G在椭圆C的内部
【答案】BCD
【分析】利用,求得，利用已知条件及椭圆定义求出，再对选项进行验证得解
【详解】，
,设 则
又，，
，即，所以A不正确；
当点在轴上时三角形面积的最大，
此时 , 所以B正确；
因为所以，故C正确；
圆， ，圆在椭圆内部，所以点在椭圆内部，所以D正确.
故选：BCD
三、填空题
13．经过两条直线，的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为 ．
【答案】
【分析】先求出两直线交点坐标，结合直线的方向向量得到直线斜率，得到直线方程.
【详解】联立，解得，
∴直线过点，
∵直线的方向向量，
∴直线的斜率，则直线的方程为，即．
故答案为：
14．已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意得出且与不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件即可求出x的取值范围.
【详解】因为与的夹角为钝角，
所以且与不共线，
因为，，
所以，且，
解得，且，
所以的取值范围是.
故答案为：.
15．已知直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为 ．
【答案】或
【分析】利用待定系数法以及直线方程求解(注意讨论直线斜率是否存在).
【详解】因为，所以点P在圆外．
当直线l的斜率存在时，设其方程为，即．
由题意知圆O的圆心坐标为O（0，0），半径为2．
因为圆心到切线的距离等于半径，所以，解得，
故直线l的方程为．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，也满足条件．
故直线l的方程为或．
故答案为：或.
16．晶体结构中有一类为菱方晶系，菱方晶系是指从一个顶点出发等长且互相所成角两两相等的线段形成的平行六面体，如图所示.若一种金属的菱方晶系结构币，为研究此金属的性质，需计算出侧棱与底面的所成角的余弦值，则此余弦值为 .
【答案】
【分析】过作平面ABCD，，连接，得到为侧棱与底面所成的角，易证，进而得到点O在的角平分线上，由求解.
【详解】如图所示：
过作平面ABCD，，
连接，则，
为侧棱与底面所成的角，
因为平面ABCD ，
所以，又，
所以平面，则，
同理，
因为,
所以，则，
所以，
则点O在的角平分线上，
所以，
设，则，，
所以，
故答案为：
四、解答题
17．已知以点为圆心的圆经过点，线段AB的垂直平分线交圆于点C，D，且，
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆的方程．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）先求出直线的斜率，进而求得直线的斜率，再求线段的中点，即可利用点斜式得直线方程；
（2）设圆心的坐标为，利用勾股定理和点到直线的距离公式可求得的值，进而可得圆的方程．
【详解】（1）因为直线的斜率，所以直线的斜率为2，
的中点坐标为，
所以直线的方程为，即．
（2）设圆心，由点在直线上，得，
又因为，所以圆的半径，
,
弦心距，由勾股定理可得，
所以，解得或，
所以圆心或，
所以圆的方程为或．
18．已知椭圆的右焦点，且点在椭圆上.
（l）求椭圆的标准方程：
（2）过点且斜率为1的直线与椭圆相交于两点，求线段的长度.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据条件可知，，利用，求椭圆的标准方程；
（2）直线的方程是，代入椭圆方程，得到，得到韦达定理，代入弦长公式.
【详解】解：（1）由题意知，焦点且过点，
椭圆方程为
（2）由题意得，直线的方程为，设
联立直线与椭圆方程，得
，，，
则
，
又
【点睛】本题考查椭圆的标准方程和弦长公式，意在考查椭圆的基础内容，以及计算求解能力，属于基础题型.
19．已知正三棱柱，底面边长，，点、分别是边，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.
（Ⅰ）求正三棱柱的侧棱长.
（Ⅱ）若为的中点，试用基向量、、表示向量；
（Ⅲ）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）.
【分析】（Ⅰ）设侧棱长为，求出，，由，即可求解；
（Ⅱ）利用向量加法的平行四边性法则即可求解；
（Ⅲ）利用空间向量的数量积即可求解.
【详解】(Ⅰ) 设侧棱长为，则，，，，
，，
∵，则，
∴，
∴，即正三棱柱的侧棱长为；
（Ⅱ） ∵为的中点，
∴.
（Ⅲ）∵，，
∴，
∴，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
20．已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据渐近线方程相同，设双曲线的方程为且，将所过点代入求参数即可；
（2）联立直线与双曲线，应用韦达定理表示出线段AB的中点坐标，结合点在圆上求参数即可.
【详解】（1）设双曲线的方程为且，
将代入，得，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）由，得，
设，则中点坐标为，
由韦达定理可得，所以，
所以中点坐标为，且在圆上，
所以，解得．
21．在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得．

(1)证明：平面．
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由等边三角形三线合一，得出，再由勾股定理逆定理得出，即可证明；
（2）方法一：建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量法计算即可；方法二：作，垂足为M，作，垂足为N，连接，首先由线面垂直得出，则二面角的平面角为，在中，求出即可．
【详解】（1）证明：连接OB，
因为为等腰直角三角形，，，
所以，
因为O为AC边的中点，
所以，
在等边三角形中，，
因为O为AC边的中点，
所以，则，
又，
所以，即，
因为，平面，平面，
所以平面．

（2）方法一：因为是等腰直角三角形，，为边中点，
所以，
由（1）得平面，则以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
由，得，令，得，
易知平面的一个法向量为，
设二面角的大小为θ，
则，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
方法二：
作，垂足为M，作，垂足为N，连接，
因为平面，平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又平面平面，
所以二面角的平面角为，
因为，所以，
所以，，
在中，，，
所以，
所以，
所以，即二面角的余弦值为．

22．如图，曲线是以原点为中心，、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点、为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的一个交点，且为钝角，，．
(1)求曲线和所在椭圆和抛物线的方程；
(2)过作一条与轴不垂直的直线，分别和曲线和交于、、、四点，若为的中点，为的中点，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)椭圆方程为，抛物线方程为．
(2)是，且
【分析】（1）设椭圆方程为，利用椭圆定义可求得的值，设、、，利用两点间的距离公式和抛物线的定义可得出关于、、的方程组，结合已知条件得出，解出的值，即可得出椭圆和抛物线的方程；
（2）设、、、，设直线的方程为，其中，将直线的方程分别与椭圆、抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合韦达定可计算出的值，即可得出结论.
【详解】（1）解：设椭圆方程为，则，得，
设、、，抛物线方程为，其中，
则，，
两式相减得，由抛物线定义可知，
因为为钝角，则，解得，
所以，椭圆方程为，抛物线方程为．
（2）解：设、、、，
设直线的方程为，其中，
联立可得，
由韦达定理可得，，
联立可得，由韦达定理可得，，
所以，
.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．