2023-2024学年河北省石家庄二十四中高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省石家庄二十四中高二上学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，则（ ）
A．B．C．4D．10
【答案】D
【分析】利用空间向量的数量积的坐标运算即可.
【详解】因为向量，
所以，
故选：D
2．方程所表示的圆的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把圆的方程化成标准形式，再求出圆心坐标即得.
【详解】方程化为：，
所以方程所表示的圆的圆心坐标为.
故选：B
3．双曲线的右焦点是，则实数（ ）
A．8B．4C．10D．2
【答案】A
【分析】借助双曲线中，计算即可得.
【详解】由，右焦点为，故有，解得.
故选：A.
4．已知向量，且，则（ ）
A．6B．C．4D．
【答案】B
【分析】利用空间向量共线，列式计算即得.
【详解】向量，且，则，解得，
所以.
故选：B
5．已知直线，若，则实数 （ ）
A．1B．3C．1或3D．0
【答案】A
【分析】根据直线平行公式求出参数m的值，验证是否重合.
【详解】因为，所以，
解得：或，
当时，，，两直线平行，满足题意，
当时，，，两直线重合，舍，
所以.
故选：A.
6．三棱锥中，，若，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的运算，表示出，根据可得，结合数量积运算，即可求得答案.
【详解】由题意可知，
而，故，
即，所以，
则，解得，
即，
故选：A
7．已知两定点，动点P在直线上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】借助几何图形，并求出点关于直线的对称点的坐标，再求出线段长即得.
【详解】如图，显然点在直线的同侧，设点关于直线的对称点为点，
则，解得，，即点，
由对称性知，
当且仅当点为线段与直线的交点时取等号，
所以的最小值是.
故选：C
8．已知右焦点为F的椭圆上两点A、B，满足直线AB过坐标原点，若，且，则E的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设椭圆的左焦点为，由对称性及已知得四边形为矩形，由椭圆的定义求出，再利用勾股定理构造齐次式即可得解.
【详解】如图，设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性知，线段互相平分，则四边形为平行四边形，
又，因此为矩形，即有，由，得，
又，于是，令半焦距为c，在中，
由，得，即，解得，所以的离心率为.
故选：D
二、多选题
9．在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（ ）
A．点关于原点O的对称点的坐标为
B．点关于y轴的对称点的坐标为
C．点关于平面对称的点的坐标是
D．点到平面的距离为1
【答案】ABD
【分析】由点关于原点、坐标轴、坐标平面对称点的坐标变换特征以及点到坐标平面距离的定义逐一判断即可得解.
【详解】对于A，点关于原点O的对称点的坐标为，故A正确；
对于B，点关于y轴的对称点的坐标为，故B正确；
对于C，点关于平面对称的点的坐标是，故C错误；
对于D，点到平面的距离为，故D正确.
故选：ABD.
10．下列命题正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．过点与圆相切的直线有两条
C．两平行直线与之间的距离是
D．圆关于直线对称
【答案】ACD
【分析】求出直线过的定点判断A；由点与圆的位置判断B；求出平行间距离判断C；判断圆心与直线的位置判断D.
【详解】对于A，直线中，对于任意实数，当时，，
因此直线恒过定点，A正确；
对于B，显然点在圆上，过点与圆相切的直线只有1条，B错误；
对于C，直线，即，则两平行直线与
之间的距离是，C正确；
对于D，圆的圆心在直线上，
因此圆关于直线对称，D正确.
故选：ACD
11．若曲线的方程为：，则（ ）
A．可能为圆
B．若，则为椭圆
C．若为焦点在轴上的椭圆，则越大，离心率越大
D．若为焦点在轴上的椭圆，则越大，离心率越大
【答案】AC
【分析】由椭圆和圆的方程特征判断A，B选项的正误，由离心率得计算方法判断C，D的正误.
【详解】时，则：为圆，A正确；
若为椭圆，则，且，解得或，B错误；
若为焦点在轴上的椭圆，则，即，
此时，，则增大时，变大，变小，
所以椭圆会变扁，离心率变大，C正确；
若为焦点在轴上的椭圆，则，即，
此时，，则增大时，变小，变大，
所以椭圆会变圆，离心率变小，D错误；
故选：AC．
12．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆C：，，，，为顶点，，为焦点，P为椭圆上一点，下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ）

A．长轴长为4，短轴长为B．
C．轴，且D．四边形的内切圆过焦点，
【答案】BD
【分析】根据椭圆的性质结合解直角三角形一一计算判定即可.
【详解】
对于A项，若长轴长为4，短轴长为，
可知此时，即A错误；
对于B项，若，此时，
即，符合定义，即B正确；
对于C项，若轴，且，易得，
且，则，即C错误；
对于D项，若四边形的内切圆过焦点，，则O到直线的距离为，
此时，
解之得，又，符合定义，即D正确.
故选：BD
三、填空题
13．在空间直角坐标系中，若平行四边形ABCD的顶点，则顶点D的坐标为 ．
【答案】
【分析】设D的坐标为，根据，结合向量的坐标运算，即可求得答案.
【详解】设D的坐标为，
平行四边形ABCD的顶点，
故，即，
则，即D的坐标为，
故答案为：
14．已知实数x，y满足，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据基本不等式可得，再计算的范围即可求解.
【详解】因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，
所以的最小值为，
故答案为：.
15．已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】/
【分析】根据题意求得双曲线的渐近线方程为，且右焦点的坐标为，得到，结合两条渐近线均与圆相切，列出方程求得，进而求得的值，即可求得双曲线的离心率.
【详解】
由题意，双曲线的渐近线方程为，即，
又由圆，可得圆心，半径为，
因为右焦点与圆心重合，所以双曲线的右焦点的坐标为，即，
又因为双曲线的两条渐近线均与圆相切，
可得，即，解得，所以，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
16．点P是直线上一动点，线段AB是圆的一条动直径，则的最小值为 ．
【答案】16
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律，结合点到直线距离公式计算即得.
【详解】圆的圆心到直线距离，圆半径，
因此，
所以的最小值为16.
故答案为：16
四、解答题
17．已知直线和．
(1)求经过原点与垂直的直线方程；
(2)若直线和与x轴分别交于A，B两点，求|AB|．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）联立两直线方程可得点，根据垂直求出斜率，即可得出直线方程；
（2）令，求出两点坐标，再利用距离公式求出.
【详解】（1）因为直线，所以的斜率为，
设所求直线的斜率为，因为与垂直，所以，解的，
所以所求直线方程为，即；
（2）对于直线，令，则，所以，
对于直线，令，则，所以，
所以，
所以.
五、问答题
18．已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且经过和．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线经过且与椭圆相切，求直线的斜率．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设出椭圆的一般方程式，分别将、点代入从而求解.
（2）设出直线方程，然后与椭圆方程联立，利用判别式即可求解.
【详解】（1）由题意设椭圆方程为，
因为，在椭圆上，
则，解得，所以椭圆的方程式为：，
故椭圆的标准方程为.
（2）由题意得直线的斜率存在且设为，则直线的方程为，
与椭圆方程联立得，化简得：，
因为直线与椭圆相切，所以，
解得：,所以或.
所以直线的斜率为或.
六、解答题
19．已知圆C的圆心在第四象限，与x轴相切于，且截y轴所得的弦长等于，
(1)求圆C的方程；
(2)设点P是圆C上一动点，求点P到直线的距离的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据圆的切线性质设出圆心的坐标，结合圆的弦长求解即得.
（2）求出圆心到直线距离，利用几何性质求出取值范围即得.
【详解】（1）由圆C的圆心在第四象限，与x轴相切于，设点，显然圆的半径为，
由圆截y轴所得的弦长等于，得，解得，
所以圆C的方程为.
（2）由（1）知，圆的圆心，半径，
点到的距离，
显然直线与圆相离，因此圆上点到该直线距离最小值为3，最大值为7，
所以点P到直线的距离的取值范围是.

20．已知圆和点，动圆M经过点A且与圆C内切，
(1)求动圆圆心M的轨迹方程；
(2)作轴于P，点Q满足﹐求点Q的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，根据椭圆的定义可得解；
（2）设出点，点，根据坐标化可得，再由点在上代入可得解.
【详解】（1）
设动圆的半径为R，圆C的方程可变为，
可得圆心，半径，
由动圆经过点且与圆C内切，则，，
即得，又，
所以圆心是以点为左右焦点的椭圆，其方程为.
（2）设点，点，则，
又，得，整理得，
又，代入运算得，
所以点的轨迹方程为.
21．如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，、分别为、的中点．
(1)设线段中点为，求点到点的距离；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）证明、、两两垂直后，建立空间直角坐标系求解；
（2）求出两平面的法向量后借助夹角公式求解.
【详解】（1）连接，因为，，
又，、平面，
所以平面，又底面为正方形，所以,
故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
又，所以，，
则，，，，，
又、分别为、的中点，所以，，
s，所以，
所以；
（2）由（1），可得，，
，，
设平面与平面的法向量分别为、，
则有与，
不妨取，，解得、分别为、，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
七、问答题
22．已知椭圆离心率为，且短轴长等于．
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由短轴长和离心率即可求出，从而可得椭圆方程；
（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，由点直线的距离公式，结合韦达定理，把面积表示为的函数，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】（1）因为椭圆离心率为，且短轴长等于，
所以，，
又因为，
所以，
所以椭圆C的方程为.
（2）
设，
联立，消得，
，得到，
由韦达定理得，，
又因为
，
又原点到直线的距离为，
所以
，
当且仅当，即，满足，
所以，面积的最大值为.