2023-2024学年内蒙古赤峰市阿鲁科尔沁旗天山第一中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年内蒙古赤峰市阿鲁科尔沁旗天山第一中学高二上学期期中数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知点，点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由斜率公式可求得直线斜率，由斜率和倾斜角关系可得直线倾斜角.
【详解】，直线的倾斜角为.
故选：C.
2．若与共线，则（ ）
A．－4B．－2C．2D．4
【答案】A
【分析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可.
【详解】解：因为与共线，
所以，即，即，解得.
故选：A
3．“”是“直线和直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据两条直线垂直的性质再结合充分条件、必要条件的概念求解即可.
【详解】直线的斜率为，
当时，直线的斜率为，则两条直线垂直，满足充分性.
因为“直线和直线垂直”，
所以直线的斜率存在，为.
所以，解得，不满足必要性.
所以“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件.
故选：A
4．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，如图，四棱锥为阳马，平面ABCD，且，若，则（ ）

A．3B．C．D．1
【答案】B
【分析】根据向量线性运算，以为基地表示出，从而确定的值即可.
【详解】，
，
，
.
故选：B
5．在平面直角坐标系中，已知圆，圆的公切线有2条，则m的取值范围为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【分析】根据圆与圆有2条公切线，则两圆相交，利用两圆心距离小于半径和大于半径差的绝对值，列不等式求解.
【详解】解：由题意，圆与圆有2条公切线，则两圆相交，
圆的圆心，半径为，
圆，
即，圆心，半径为1，
要使两圆相交，则，
解得：或，
故选：B．
6．在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先利用判别式法，求出与椭圆相切的直线方程，然后即可求得本题答案.
【详解】设直线与椭圆相切，
联立方程，得①，
因为直线与椭圆相切，所以，得，
当时，与的距离最大，最大距离为，
把代入①得，，得，
代入，得，
所以点的坐标为，
故选：A
7．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出点的轨迹方程，数形结合得到最小距离为圆心到直线的距离减去半径，结合点到直线距离公式求出答案.
【详解】设，则，化简得，
即点的轨迹方程为以为圆心，为半径的圆，
则点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径，
即，点到直线的距离最小值为.
故选：A
8．已知椭圆的右顶点为A，P、Q为C上关于坐标原点对称的两点，若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意结合椭圆方程整理得，进而可求离心率.
【详解】由题意可知：，
设，则，可得，
则，
又因为点在椭圆上，则，整理得，
可得，即，
所以C的离心率.
故选：A.

二、多选题
9．已知，，，则（ ）
A．直线与线段AB有公共点
B．直线AB的倾斜角大于
C．的边BC上的高所在直线的方程为
D．的边BC上的中垂线所在直线的方程为
【答案】BC
【分析】A选项，画出图像即可看出有无交点；B选项用先用直线斜率公式求出斜率，再比较倾斜角与的大小；C选项的边上的高所在直线过点A，且斜率和直线的斜率乘积为，用点斜式写出边上的高所在直线；D选项的边上的中垂线经过BC的中点，且斜率和直线的斜率乘积为，从而利用点斜式写出中垂线所在直线的方程；
【详解】如图所示：所以直线与线段无公共点，A错误；
因为，所以直线的倾斜角大于，B正确．
因为，且边上的高所在直线过点A，
所以的边上的高所在直线的方程为，
即，C正确，
因为线段的中点为，且直线的斜率为，
所以上的中垂线所在直线的方程为，
即，故D错误.
故选：BC.
10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若对空间中任意一点，有，则四点共面
C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．若，则是钝角
【答案】ABC
【分析】根据向量共面的定义可判断A，根据共面定理可判断B，根据基底的定义可判断C，利用向量夹角的取值范围判断D.
【详解】对于A，因为有两个向量共线，所以这三个向量一定共面，A正确；
对于B，因为且，
所以P，A，B，C四点共面，B正确；
对于C，因为是空间中的一组基底，所以不共面且都不为，
假设共面，则，
即，则，与其为基底矛盾，所以不共面，
所以也是空间的一组基底，C正确；
对于D，若，则是钝角或是，D错误；
故选：ABC
11．已知直线，和圆，下列说法正确的是（ ）
A．直线l恒过定点
B．圆C被x轴截得的弦长为
C．直线被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为
D．直线被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为
【答案】ABD
【分析】利用直线系方程求得直线所过定点的坐标判断A；求出圆C被x轴截得的弦长判断B；当直线过圆心时可判断C，当直线时算出弦长可判断D.
【详解】对于A，由，得，
联立，得，无论m为何值，直线恒过定点，故A正确；
对于B，在中，令，得，所以圆被轴截得的弦长为，故B正确；
对于C，当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最大，最大值为圆直径4，故C错误；
对于D，由于直线恒过的定点，易知此点在圆内，设此定点为，当直线与直径垂直时，直线l被圆截得的弦长最小，且最小值为，故D正确.
故选：ABD
12．如图，在四棱锥中，平面平面，侧面PAD是边长为的正三角形，底面为矩形，，Q是PD的中点，则下列结论正确的是（ ）

A．CQ⊥平面PAD
B．PC与平面AQC所成角的余弦值为
C．三棱锥的体积为
D．四棱锥外接球的半径为3
【答案】BD
【分析】证明两两垂直，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面PAD的法向量，和比较可判断A；根据线面角的向量求法可判断B；根据等体积法可判断C；确定四棱锥外接球的球心，即可求得半径，判断D.
【详解】如图，取AD的中点O，BC的中点E，连接，,
则，而；

因为为等边三角形，所以.
因为平面平面，平面平面，
所以平面.
因为，所以两两垂直．
以O为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点，，，)，，，
因为Q是PD的中点，所以Q点坐标为.
平面的一个法向量可取为，，
显然与不共线，所以CQ与平面不垂直，所以A不正确；
，，，
设平面的一个法向量为，则，
令x＝1，则，，所以.
设PC与平面所成角为，则，
所以，所以B正确；
三棱锥的体积为，所以C错误；
由题意四棱锥外接球的球心位于平面上，设为点，
则，
所以，解得，
即为矩形对角线的交点，
所以四棱锥外接球的半径为，D正确，
故选：BD
三、填空题
13．直线与平行，则它们的距离是
【答案】
【分析】根据两个平行线之间的距离计算公式，计算得答案.
【详解】直线可化为直线，
又，且，
所以它们的距离.
故答案为：.
14．已知圆心为的圆C与倾斜角为的直线相切于点，则圆C的方程为
【答案】
【分析】根据两点间距离公式，可的半径r，根据点斜式方程，可得直线的方程，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离d等于半径r，代入公式，化简计算，即可得答案.
【详解】由题意得，圆的半径，
直线的方程为：，整理得：，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
所以，解得，
所以圆C的方程为.
故答案为：
15．已知直线过点，且方向向量为，则点到直线的距离为 .
【答案】
【分析】利用向量的坐标运算及向量的单位化公式，结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】取直线的方向向量为，
因为，，
所以，，，，
所以点到直线的距离为.
故答案为：.
16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，C的下顶点为A，离心率为，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长为 .
【答案】/
【分析】利用可得椭圆的方程为，为正三角形，通过几何关系可得到直线的方程为，与椭圆进行联立可得到，，结合弦长公式和椭圆的定义即可求解
【详解】因为椭圆的离心率，所以，，所以椭圆的方程为，即，
在中，，，所以为正三角形，
过且垂直于的直线与C交于D，E两点，所以DE为线段的垂直平分线，直线DE的斜率为，所以直线的方程为，
设，，由，得，
所以，，
所以，解得，所以，
因为为线段的垂直平分线，所以，，
所以的周长为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
四、问答题
17．已知直线，直线．
(1)若，求直线的方程；
(2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据两直线平行列出方程，并求解；再代入直线方程检验，排除重合的情况即可得到答案.
（2）根据截距是否为进行分类讨论，并求解，即可得出直线的方程.
【详解】（1），直线，直线，
，解得或.
当时，
直线，即；
直线，即，
此时两直线重合，不满足，故舍去；
当时，
直线，即；
直线，即，
此时，满足题意；
综上可得：当，直线的方程为：.
（2）当直线在两坐标轴上的截距相等，都为时，直线过点，
则，解得.
此时直线方程为：；
当直线在两坐标轴上的截距相等，不为时，
则直线的斜率为，解得
此时直线方程为：.
综上可得：直线的方程为：.
18．已知圆.
(1)过点作圆的切线，求的方程；
(2)若直线方程为与圆相交于两点，求.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）讨论切线l斜率是否存在设方程，利用相切时圆心到直线的距离等于半径列关系计算即得结果；
（2）计算到直线AB的距离d，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦长.
【详解】（1）圆方程可化为，则圆心，半径为1，
由，可得点在圆外，
当过点的直线斜率存在时，设l的方程为，
即，
则圆心到直线l的距离为，解得，
的方程为，即，
当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切，
的方程为或；
（2）直线方程为，
则圆心到直线的距离，直线与圆相交，
五、证明题
19．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，平面ADE⊥平面ABCD，AB＝2AD＝2EF＝4，．
(1)求证：；
(2)求直线AE与平面BCF所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】(1)根据题意可得，利用线面平行判定定理证明平面，结合图形即可证明；
(2)取的中点，的中点，连接，则、，利用线面垂直的判定定理和性质证得，建立如图空间直角坐标系，利用向量法即可求出线面角的正弦值.
【详解】（1）因为四边形为矩形，所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以；
（2）取的中点，的中点，连接，
则，由，得，且，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
由平面，得，
建立如图空间直角坐标系，
，
则，
设为平面的一个法向量，
则，
令，得，所以，
，
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
六、问答题
20．在平面直角坐标系中，已知、，动点M满足
(1)求M的轨迹方程；
(2)设，点N是MC的中点，求点N的轨迹方程；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，根据向量数量积求解即可得答案；
（2）设，，进而根据相关点法求解即可；
【详解】（1）设，则，
所以，即
所以M的轨迹方程为.
（2）设，，
因为点N是的中点，
所以，即，
又因为在上，
所以，即.
所以点N的轨迹方程为.
21．已知椭圆：，点、分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与x轴重合）交椭圆于A，B两点．

(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若，求的面积；
(3)是否存在直线，使得点B在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见详解
【分析】（1）根据题意可得，进而可求和椭圆标准方程；
（2）可根据直线方程与椭圆方程联立方程组解出交点坐标，再根据点的坐标，求三角形面积．△的面积可分割成两个小三角形，其底皆为；
（3）存在性问题，一般从计算出发，即垂直关系结合椭圆方程交点求出B点坐标：或，而由椭圆范围知这样的B点不存在．
【详解】（1）由左焦点、左顶点可知：，则，
所以椭圆的标准方程为.
（2）因为，，
则过的直线的方程为：，即，
解方程组，解得或，
所以的面积.
（3）若点B在以线段为直径的圆上，等价于，即，
设，则，
因为，则，
令，
解得：或，
又因为，则不存在点，使得，
所以不存在直线，点B在以线段为直径的圆上.
七、证明题
22．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.
(1)求证：平面.
(2)求二面角的平面角的余弦值.
(3)若点在棱上（不与点，重合），直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，按照空间向量坐标运算证明即可；
（2）分别确定平面与平面的法向量，根据向量夹角余弦值与二面角的关系可求得二面角的平面角的余弦；
（3）根据点在棱上（不与点，重合），设比例系数，可得的坐标，假设直线能与平面垂直得向量关系为，根据坐标判断是否可得的值，从而判断假设是否成立.
【详解】（1）解：因为平面，所以，又
则以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，且，平面
所以平面.
（2）解：由（1）知是平面的一个法向量.
，.
设平面的一个法向量为，
所以，即
令，则，，
所以，
所以.
又由图可知二面角的平面角为锐角
所以二面角的平面角的余弦值为.
（3）解：由（1）得，，，.
设，则，
可得，所以.
由（2）知是平面的一个法向量.
若平面，可得
则，该方程无解，
所以直线不能与平面垂直.