2023-2024学年内蒙古自治区赤峰市赤峰学院附中高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年内蒙古自治区赤峰市赤峰学院附中高二上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两点间斜率公式求解即可；
【详解】解析：，又因为
所以，
故选：B.
2．在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A．B．C．或D．l与斜交
【答案】C
【解析】由可得，所以或，即可得正确选项.
【详解】直线l的方向向量为，平面的法向量为，
因为，
所以，
所以或，
故选：C.
3．已知直线的倾斜角，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出直线斜率，利用斜截式写出直线方程.
【详解】直线的倾斜角，故斜率为，
故此直线方程为.
故选：D
4．若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案.
【详解】对于A，；
对于B，；
对于C，；
对于D，.
故选：A.
5．在空间直角坐标系中，若，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由，得求出，从而可求出的坐标，进而可求出其模
【详解】因为，，且，
所以，得，
所以，所以，
所以，
故选：B
6．已知点，若线段的垂直平分线的方程是，则实数的值是（ ）
A．B．C．3D．1
【答案】C
【分析】根据垂直平分线的性质，结合互相垂直两直线的斜率的性质进行求解即可.
【详解】由，所以直线的斜率为，
因为线段的垂直平分线的方程是，
所以有，
检验中点可知m=3符合题意.
故选：C
7．若方程表示圆，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用圆的标准方程即可求解
【详解】方程表示圆，
则，
解得，即的取值范围为.
故选：A.
8．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据向量线性运算，以为基底表示出，从而确定的取值.
【详解】，，
，
，，，.
故选：A.
二、多选题
9．如果，，那么直线经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】ACD
【分析】根据直线斜率与截距判断即可.
【详解】因为，故，故直线的斜截式方程为：，
因为，，故，，
故直线经过第一象限、第三象限、第四象限．
故选：ACD．
10．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是
【答案】BD
【分析】利用空间向量共线可判断A；求出与同向的单位向量可判断B；求出和夹角的余弦值可判断C；求出平面的一个法向量可判断D.
【详解】对于A，，，因为，所以与不是共线向量，故A错误；
对于B，，与同向的单位向量是，故B正确；
对于C，，，，所以和夹角的余弦值是，故C错误；
对于D，，，设为平面的一个法向量，
则，，令，可得，
所以平面的一个法向量是，故D正确.
故选：BD.
11．已知直线，直线，则（ ）
A．当时，与的交点是B．直线与都恒过
C．若，则D．，使得平行于
【答案】ABC
【分析】将代入，联立两直线方程即可求得交点，则A可解；由直线过定点问题可求B；由两直线垂直时的斜率之积为可解C，注意讨论斜率为0和斜率不存在的情况；由两直线平行得到关于a的方程，解方程可得a值，再代入验证两直线是否重合即可判断D.
【详解】对于A，当时，，，
，解得，故交点为，即A正确；
对于B，，恒过定点，，
，解得，，也过定点，故B正确；
对于C，当时，与不垂直，
当时，由可得，解得，故C正确；
对于D，由可得，解得或，
当时，，，两直线重合，不符合题意，
当时，，，两直线重合，不符合题意，故D错误；
故选：ABC.
12．设O为坐标原点，直线过圆的圆心且交圆于两点，则（ ）
A．B．
C．的面积为D．
【答案】BC
【分析】对于A，整理圆的方程为标准方程，明确圆心与半径，可得答案；
对于B，由题意，将圆心代入直线方程，求得参数，可得答案；
对于C，利用点到直线的距离公式求得三角形的高，结合三角形的面积公式，可得答案；
对于D，根据两点求得斜率，利用垂直直线斜率的关系，可得答案.
【详解】由圆的方程，
则，所以圆心，半径，
易知，故A错误；
将代入直线方程，则，解得，故B正确；
将代入直线方程，整理可得直线方程，
原点到直线的距离，且此为底上的高，
所以，故C正确；
由与，则直线的斜率，
由直线方程，则直线斜率，
由，则与不垂直，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
13．已知直线经过点且一个方向向量为，则直线的一般式方程为 .
【答案】
【分析】由直线的方向向量求出直线的斜率，再利用点斜式求解即可.
【详解】因为直线一个方向向量为，所以其斜率为，
所以直线的方程为：，化为一般式方程为：.
故答案为：.
14．两平行直线：，：的距离为 .
【答案】
【分析】通过平行的条件求出，然后利用平行线直接的距离公式求解即可.
【详解】两条直线：与：平行，可得，
所以，所以：即，
则与间的距离是：.
故答案为：
15．直线关于点对称的直线的方程为 ．
【答案】
【分析】设所求直线上任一点坐标为，求点关于点对称的点，再代入直线的方程，即可求出结果.
【详解】设所求直线上任一点坐标为，
则其关于点对称的点的坐标为,代入直线的方程可得：
，整理得.
故答案为
【点睛】本题主要考查直线关于点对称的直线方程，设出所求直线上任一点的坐标，求出其关于定点对称的点的坐标，代入已知直线即可求出结果，属于基础题型.
16．如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为

【答案】
【分析】由向量的线性表示，根据向量模长根式即可代入求解.
【详解】解：由条件，知，,
所以
，
所以,
故答案为：
四、问答题
17．的三个顶点是，，，求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
（3）边BC的垂直平分线的方程．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）求得BC的中点坐标，结合A点坐标，求得中线方程；
（2）求得BC的斜率，从而求得其上的高的斜率，且过，求得高的方程；
（3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，写出垂直平分线的方程；
【详解】（1）BC的中点坐标为
则边BC上的中线所在直线的方程为；
（2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过，
则边BC上的高所在直线的方程为；
（3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，
则边BC的垂直平分线的方程为.
五、解答题
18．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求：
(1)求圆心为的圆的标准方程；
(2)设点在圆上，点在直线上，求的最小值；
(3)若过点作圆的切线，求该切线方程．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）先设圆的标准方程，再代入点的坐标及圆心在直线上即可求参；
（2）应用点到直线距离求圆上点到直线距离的最值；
（3）应用圆心到直线距离为半径求出直线方程.
【详解】（1）设圆的标准方程为，因为圆经过和点，且圆心在直线上，
所以 解得：
所以圆的标准方程为.
(2)因为圆心到直线的距离为
，
所以直线与圆相离，
所以的最小值为.
(3)易知斜率存在，由条件可知，圆心到直线的距离为5
根据点到直线的距离公式得：，解得.
所以直线方程为.
六、证明题
19．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（I）求证：平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
（III）求二面角的正弦值．
【答案】（I）证明见解析；（II）；（III）.
【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出及平面的一个法向量，证明，即可得证；
（II）求出，由运算即可得解；
（III）求得平面的一个法向量，由结合同角三角函数的平方关系即可得解.
【详解】（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则,,,,,,，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，，
所以,,,
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
因为，所以，
因为平面，所以平面；
（II）由（1）得，，
设直线与平面所成角为，
则；
（III）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，
则，
所以二面角的正弦值为.
七、解答题
20．已知直线与直线．
(1)若，求m的值；
(2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由题意可知，所以可得，从而可求出m的值；
（2）将点的坐标代入直线的方程中，求出m的值，从而可得点的坐标，然后设出直线方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程
【详解】（1）因为，所以，且，
由，得，解得或（舍去）
所以.
（2）因为点在直线上，
所以，得，所以点的坐标为，
所以设直线的方程为（），
令，则，令，则，
因为直线在两坐标轴上的截距之和为0，
所以，解得或，
所以直线的方程为或.
21．已知直线与圆交于两点，点在圆上运动．
(1)当时，求；
(2)已知点，求的中点的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解；
（2）设，利用相关点法求点的轨迹方程.
【详解】（1）由题意可知：圆的圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
可得，解得.
（2）设，
因为点，且为的中点，则，
又因为点在圆上，则，整理得，
所以点的轨迹方程为.
八、证明题
22．如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)求到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，，连接，即可得到，从而得证；
（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；
【详解】（1）证明：连接，，连接，
在直三棱柱中为矩形，则为的中点，又为的中点，所以，
平面，平面．
平面．
（2）解：，，，，．
由直三棱柱中，底面，底面，，．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，令，则，，所以，
设与平面所成的角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为；
（3）解：设到平面的距离为，则；