2023-2024学年陕西省西安市西北工业大学附属中学高二上学期期中质量检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省西安市西北工业大学附属中学高二上学期期中质量检测数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．数列-4，7，-10，13，…的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据数列中数据特征得到通项公式.
【详解】由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该是，
数值4，7，10，13，…满足，所以通项公式可以是．
故选：B．
2．直线与直线平行，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】求出已知二直线不相交时的a值，再验证作答.
【详解】依题意，直线与直线平行或重合时，，
解得或，
当时，直线与直线重合，
当时，直线与直线平行，
所以的值为.
故选：C
3．已知数列满足，若，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】从特殊到一般的思想方法，求出几项的值寻找规律.
【详解】因为，，
所以；
所以的周期为3，所以.
故选：A.
4．抛物线的准线与直线的距离为3，则此抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】准线与直线的距离为，计算得到答案.
【详解】抛物线的准线为，准线与直线的距离为，
故，解得，故此抛物线的方程为.
故选：B.
5．已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差等比数列的性质即可求解.
【详解】解：数列是等差数列，，可得，即，
数列是等比数列，，可得，可得，
则.
故选：B.
6．已知圆的一条切线与双曲线有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由圆心到直线距离等于半径可构造方程求得切线斜率，由此可得切线方程；根据直线与双曲线交点个数可得，根据可求得离心率的取值范围.
【详解】错解：
选B，圆心到切线的距离，解得：，
切线方程为；
与双曲线有两个交点，，.
错因：
求离心率时忘记开方，注意双曲线中，
正解：
由圆的方程知：圆心，半径，
则圆心到切线的距离，解得：，
切线方程为；
与双曲线有两个交点，，，
即双曲线的离心率的取值范围为.
故选：D.
7．已知数列满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取倒数法求通项，将变形可得数列为等差数列，计算即可得.
【详解】，即，
可得，又，
即有数列是首项为1，公差为4的等差数列，
可得，
即.
故选：D.
8．如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】连接，设，则，根据椭圆的定义，可求得，，结合，可得，计算可得，从而可求出，由直线的斜率为，可求出答案.
【详解】如下图，连接，设，则，
因为，，
所以，，
在△中，，所以，
即，整理得，
所以，
所以直线的斜率为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆定义的应用、圆的性质及直线的斜率，解题关键是利用椭圆的定义，得出之间的关系，进而由，并利用勾股定理，可求出，进而可求出直线的斜率.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的取值范围是
B．曲线与曲线（且）的离心率相等
C．已知直线的倾斜角为，则实数的值为
D．已知三点，，在同一条直线上，则实数的值为12
【答案】AD
【分析】根据直线、椭圆、倾斜角、三点共线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，直线过点，
当直线过原点时，直线的斜率为，当直线与轴平行时，直线的斜率为，
所以，当直线不过第四象限时，斜率的取值范围是.
B选项，曲线是焦点在轴上的椭圆，，离心率为，
曲线（且）表示焦点在轴上的椭圆，
，离心率为，所以B选项错误.
C选项，直线的倾斜角为，
所以，C选项错误.
D选项，三点，，在同一条直线上，
所以，所以D选项正确.
故选：AD
10．已知等差数列，其前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，最大
C．使时，的最大值为16
D．使时，的最大值为15
【答案】ABD
【分析】对A，由可得，结合，可得；对B，由于而，故时，最大；对C、D，计算出即可得.
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，等差数列中，若，
即，即，
又由，则，A正确；
对于B，由于而，则当时，最大，B正确；
对于C和D，，而，
故使时，的最大值为15，D正确.
故选：ABD.
11．已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交抛物线于，两点（ ）
A．直线的方程为B．原点到直线的距离为
C．D．
【答案】ABC
【分析】先求得抛物线的焦点坐标，根据点斜式、点到直线的距离公式、弦长公式、根与系数关系等知识确定正确答案.
【详解】抛物线的焦点为，
所以过且倾斜角为的直线的斜率为，
所以直线的方程为，A选项正确，
原点到直线的距离为，B选项正确.
由消去并化简得，
设，则，
所以，C选项正确.
，
所以D选项错误.
故选：ABC
12．以下命题正确的有（ ）
A．数列满足：，则
B．设等差数列，的前项和分别为，，若，则
C．数列满足，，则
D．已知为数列的前项积，若，则数列的前项和
【答案】CD
【分析】求出的值判断A；利用等差数列前项和公式，结合性质计算判断B；利用累加法求出通项判断C；利用前项积的意识及等差数列前项和公式计算判断D.
【详解】对于A，依题意，，它不满足，A错误；
对于B，由，得，B错误；
对于C，由，得，则当时，，
，
显然满足上式，因此，C正确；
对于D，，当时，，即，解得，
当时，，于是，即，数列是首项为3，公差为2的等差数列，
所以数列的前项和，D正确.
故选：CD
三、填空题
13．在等差数列中，已知，则 ．
【答案】20
【分析】根据等差数列的下标和性质运算求解.
【详解】∵数列为等差数列，则，可得，
∴.
故答案为：20.
14．已知数列是公比为正数的等比数列，是其前项和，，，则
【答案】
【分析】根据题中已知条件求出等比数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得的值.
【详解】解：设等比数列的公比为，
因为，，则，则，
因此，.
故答案为：.
15．已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为 .
【答案】
【分析】先求出圆的圆心坐标，根据直线平分圆的圆周可知，反射光线所在直线过圆心，根据对称性可知反射光线过点，即可求直线方程.
【详解】由圆的方程得：圆心为，
∵反射光线恰好平分圆的圆周，
∴反射光线经过点，
∵关于轴对称的点为，
∴反射光线所在直线经过点，
∴反射光线所在直线斜率为，所以方程为，化简得.
故答案为：.
16．如图所示，曲线上的点与轴正半轴上的点及原点构成一系列正三角形（设为），记，则数列的通项公式 .
【答案】
【分析】根据在曲线上，即可代入，结合，即可利用等差数列的性质求解.
【详解】解：由条件可得为正三角形，且边长为，
∴，在曲线上，代入中，得，
∵，∴，根据题意得点，
代入曲线并整理，得.
当，时，
即，
∵，∴，
当时，，解得，
满足.
∴数列是首项为，公差为，
∴.
故答案为：.
四、解答题
17．已知为等差数列，，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若为递增数列，，设的前项和为，求取最小时的值.
【答案】(1)，或，；
(2)4
【分析】（1）设出公差，结合，，成等比数列计算即可得；
（2）求出，可得是递增的等差数列，求出时的最大的即可得.
【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，
则，，
∵，，成等比数列，
∴，即，
化简整理，得，
解得，或，
则当公差时，，，
当公差时，，，
∴，或，；
（2）依题意，由等差数列为递增数列，
可知，，
则
，
故数列是以为首项，为公差的等差数列，
∵等差数列的公差，
∴数列是递增的等差数列，
又，
∴当时，前项和取得最小值，
故取最小时的值为4.
18．已知圆：，直线：.
(1)证明：直线恒过定点，且直线与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆截得的弦长最小时的方程.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）分离参数，即可列方程组求解，
（2）根据圆的弦长公式，结合垂直关系满足的斜率关系即可求解.
【详解】（1）证明：直线：化为，
则，解得，
所以直线恒过定点，
圆心，又因，
所以点在圆内，
所以不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；
（2）当直线所过的定点为弦的中点，即时，
最短弦长为，
，所以，故直线方程为，
所以直线的方程为.
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
(2)当p＝1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求线段PQ的中点M的坐标.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由点在直线上，得，即.，从而可求得抛物线方程；
（2）当时，曲线.设，，线段的中点，由点和关于直线对称，可得直线的斜率为，设其方程为，由，可得，根据韦达定理可得的坐标.
【详解】（1）抛物线的焦点为
由点在直线上，
得，即.
所以抛物线的方程为.
（2）当时，曲线.
设，，线段的中点
因为点和关于直线对称，所以直线垂直平分线段，
于是直线的斜率为-1，设其方程为，
由，消去得，
由和是抛物线的两相异点，得，
从而，
因此，所以，
又在直线上，所以
所以点，此时满足式，
故线段的中点的坐标为.
20．为数列的前项和.已知，.
(1)证明是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用题中的递推公式构造出，从而可证求解.
（2）利用错位相减法，即可求解.
【详解】（1）证明：依题意，由两边同时加上，
可得，
因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
，
则当时，，
当时，也满足上式，
所以数列的通项公式为：.
（2）由（1）可得，
则，
，
两式相减，
可得
所以.
21．已知椭圆：的离心率为，焦距为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线：与椭圆相交于，两点，且，求的面积.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据椭圆焦距及离心率即可得；
（2）联立椭圆方程后，利用韦达定理及可得与的关系，表示出的面积后计算即可得.
【详解】（1）∵椭圆：的离心率为，故，
又焦距为2，故，即有，，则，
∴椭圆的方程为；
（2）联立，消去，可得，
，
设，，则，，
故，
则，
化简得，
故，
又点到直线的距离，
∴的面积
，
故的面积为.
【点睛】关键点睛：本题的第二问的关键联立直线方程与椭圆方程得到韦达定理式，根据斜率之积得到，再利用点到直线距离求出三角形的高，弦长公式求出三角形的底，最后计算出面积.
22．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，的一条渐近线与直线：垂直.
(1)求的标准方程；
(2)点为上一动点，直线，分别交于不同的两点，（均异于点），且，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，，理由见解析.
【分析】（1）利用焦距求c，利用渐近线与直线垂直求出a、b关系，再利用求解；
（2）设直线的方程与双曲线联立，得到韦达定理，利用点M在曲线上满足消元，分别得到，，将韦达定理代入求定值.
【详解】（1）因为，所以，
因为双曲线的渐近线与直线：垂直，
所以，②
又，③
解得，，
所以双曲线的方程为.
（2）设，则，，
设，，
所以，，
因为，所以，所以，
同理可得，所以，
直线的方程为，
联立双曲线的方程可得，
所以，所以，所以，
因为，即，所以
同理，
，
所以是定值，定值为.
【点睛】点斜式设直线方程为形式，与双曲线联立消x，得到y的二次方程，计算方便，再利用向量关系得到，同理求，利用韦达定理求定值.