2023-2024学年四川省雅安市多校联考高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省雅安市多校联考高二上学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解不等式得到，根据交集概念求出答案.
【详解】因为，，所以.
故选：A
2．设，则（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】C
【分析】先化简，结合共轭复数的定义求得，进而求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：C.
3．四川省成都市2017年到2022年常住人口变化图如图所示，则这6年的常住人口的第35百分位数为（ ）

A．1633万B．1658.1万
C．2093.77万D．2119.2万
【答案】B
【分析】根据百分位数的定义，结合图中的数据即可求解.
【详解】因为6×0.35=2.1，取第3年的数据.
所以这6年的常住人口的第35百分位数为1658.1万.
故选：B.
4．在四面体中，为的中点，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用向量的线性运算可得答案.
【详解】因为为的中点，所以．
因为为的中点，所以，
所以．
故选：B.
5．已知圆，圆，则“”是“圆与圆外离”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】配方得出圆，然后根据两圆外离即圆心距大于半径和得出答案.
【详解】由题意得，圆，圆与圆的圆心距为5，
若，则两圆的半径之和小于5，两圆外离，反之亦成立,
故“”是“圆与圆外离”的充要条件．
故选：A.
6．已知椭圆的右顶点、上顶点分别为，直线与直线相交于点，且点到轴的距离为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题得出，根据椭圆a、b、c的关系和离心率的定义得出答案.
【详解】
如图，设直线与轴的交点为，则，
所以，所以，所以离心率为．
故选：A.
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用对数函数和指数函数的性质比较即可.先比较，与的大小得出，又因为，故得出．
【详解】因为，而，
所以．因为，所以．故．
故选：C.
8．某地两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为，一条河所在直线的方程为.若在河上建一座供水站，则到两点距离之和的最小值为（ ）
A．B．32C．D．48
【答案】A
【分析】根据两点间距离公式和点的对称性建立方程组，求解即可.
【详解】
如图，设关于直线对称的点为，
则得即，
易知，
当三点共线时，
取得最小值，
最小值为.
故选：A
二、多选题
9．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．、、B．、、
C．、、D．、、
【答案】BC
【分析】利用共面向量基本定理逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，，所以、、共面；
对于B选项，假设、、共面，
则存在、使得，
因为构成空间的一个基底，则，无解，
假设不成立，故、、不共面；
对于C选项，假设、、共面，
则存在、，使得，
所以，，则、、共面，与题设矛盾，
故、、不共面；
选项D，因为，则、共线，则、、共面.
故选：BC.
10．若直线的斜率为，则直线的倾斜角可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据二次函数性质求斜率范围，然后由正切函数图象观察可得.
【详解】记直线的倾斜角为，斜率为，
则，即，
由正切函数图象可得.
故选：AD

11．若函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称
D．将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象
【答案】ABD
【分析】利用辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的图象性质，逐项判断即得.
【详解】依题意，，
对于A，的最小正周期，A正确；
对于B，因为，因此函数的图象关于直线对称，B正确；
对于C，因为，因此的图象不关于点对称，C错误；
对于D，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，D正确.
故选：ABD
12．在空间直角坐标系中，，，，则（ ）
A．直线OB与平面ABC所成角的正弦值为
B．点O到平面ABC的距离为
C．异面直线OA与BC所成角的余弦值为
D．点A到直线OB的距离为2
【答案】BC
【分析】利用线面角公式计算A，利用点到面的距离公式计算B，利用异面直线夹角公式计算C，利用点到线的距离公式计算D.
【详解】，．
设平面ABC的法向量为，
则 令，得．
设直线OB与平面ABC所成的角为θ，且，
则，
点O到平面ABC的距离为，A错误，B正确．
因为，
所以异面直线OA与BC所成角的余弦值为，C正确．
设，
则点A到直线OB的距离，D错误．
故选：BC.
三、填空题
13．椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 ．
【答案】
【分析】根据椭圆的定义结合题意求解即可.
【详解】因为，所以，则，
所以椭圆上一点到两个焦点的距离之和为．
故答案为：20
14．设向量在向量上的投影向量为，则 ．
【答案】1
【分析】利用向量在向量上的投影向量计算公式建立方程，解出即可.
【详解】向量在向量上的投影向量为
，则，解得．
故答案为：
15．已知都是正数，且直线与直线平行，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据两直线平行的条件可得，然后利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，即，
因为，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8．
故答案为：8
16．若曲线与圆恰有4个公共点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据直线和圆有两个公共点可列出不等式，从而求出的取值范围.
【详解】因为曲线与圆恰有4个公共点，
所以直线，均与圆相交，且两直线的交点不在该圆上，
则有,解得．
故答案为:.
四、解答题
17．a，b，c分别为内角A，B，C的对边.已知.
(1)求；
(2)若A为钝角，且，，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理化简即可求解；
（2）由（1），根据同角的三角函数关系求出，结合余弦定理计算即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以.
（2）因为A为钝角，且，所以.
由余弦定理得，
即，由解得，
所以的周长为.
18．已知直线经过点，且与直线垂直．
(1)求直线的一般式方程；
(2)已知圆与轴相切，直线被圆截得的弦长为4，圆心在直线上，求圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）依题意可设直线的方程为，然后将点的坐标代入可求出，从而可求得直线方程；
（2）设圆的方程为，则，再根据弦长，圆心距和半径的关系列方程，和圆心在直线上所得到的方程，可求出，从而可求出圆的方程.
【详解】（1）依题意可设直线的方程为，
将点的坐标代入，得，
所以直线的一般式方程为．
（2）设圆的方程为，
因为圆与轴相切，所以，
圆心到的距离，
又圆心在直线上，所以，
所以，解得．
当时，，圆的标准方程为；
当时，，圆的标准方程为．
19．如图，在正方体中，分别是的中点．
(1)用空间向量法证明：平面；
(2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，在的延长线上，且
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据共线求证，
（2）根据法向量与直线的方向向量垂直即可求解.
【详解】（1）证明：以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
．
设平面的法向量为，
则取，则，得，
平面．
（2）存在点，使得平面，在的延长线上，且．
由题意得，
设，则，
平面，得．
20．某商场在双十一当口进行开业酬宾活动.每位顾客凭购物小票从2，3，4，5，6这5个号码中依次不放回地抽取2个号码，第1个号码为a，第2个号码为b.设X是不超过的最大整数，顾客将获得购物金额X倍的商场代金券（若，则没有代金券），代金券可以在活动结束后使用.
(1)求的概率；
(2)已知甲、乙、丙三位顾客都参与了一次该活动，假设每位顾客抽取号码相互独立，求这三位顾客中至少有一位能获得代金券的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）列举 的所有情况，利用古典概型概率公式即可求解；
（2）依题意可得当时，该顾客能获得代金券，计算出每位顾客每次参与活动获得代金券的概率为，再根据对立事件的概率公式及乘法公式即可求解.
【详解】（1） 的所有情况为 ,
共20种情况，
其中满足的有，共4种，
设“”为事件，则；
（2）依题意可得当时，该顾客能获得代金券.
满足的共有10种情况，所以每位顾客每次参与活动获得代金券的概率为.
故这三位顾客中至少有一位能获得代金券的概率为.
21．如图，在底面为梯形的四棱锥中，，底面，，，，延长至点，使得.

(1)求向量与夹角的余弦值；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以为坐标原点，的方向分别为轴、y轴、z轴的正方向，建立的空间直角坐标系，根据向量夹角公式可得；
（2）求法向量，利用法向量求夹角即可.
【详解】（1）因为底面，平面，
所以，
又，所以，以为坐标原点，的方向分别为轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
所以，
所以向量与夹角的余弦值为.
（2），，.
设平面的法向量为，
则，
令，得.
设平面的法向量为，
则，
令，得.
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.

22．动点P到定点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，设点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知O为坐标原点，与x轴不垂直的直线l与曲线C交于A，B两点，若曲线C上存在点P，使得四边形为平行四边形，证明：的面积为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设点，得到方程，化简得到曲线C的方程；
（2）设出直线l，联立曲线C的方程，得到两根之和，两根之积，由四边形为平行四边形得到，设，得到，代入椭圆方程中，得到，表达出和坐标原点到直线l的距离，求出的面积等于.
【详解】（1）设点，依题意可得，
化简得，
所以曲线C的方程为.
（2）证明：设，，直线l：.
由，消去y得，
则，
，，
则，
因为四边形为平行四边形，所以.
设，则，
又因为，即，得，
所以
，
因为坐标原点到直线l的距离，
所以的面积为，
所以的面积为定值.

【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.