2022-2023学年陕西省咸阳市实验中学高二上学期第三次月考数学（文）试题含答案

这是一份2022-2023学年陕西省咸阳市实验中学高二上学期第三次月考数学（文）试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若命题：，，则是
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】根据量词命题的否定判定即可.
【详解】解：根据量词命题的否定可得：，的否定为，
故选：B.
2．已知双曲线 ，则该双曲线的实轴长为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据给定的双曲线方程直接计算即可作答.
【详解】双曲线 的实半轴长，
所以该双曲线的实轴长为2.
故选：B
3．使不等式和同时成立的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由不等式的性质判断以各选项为条件，题设不等式是否成立即可.
【详解】A：时，，而，不符合；
B：时，且，不符合；
C：时，且，符合；
D：时，，而，不符合.
故选：C
4．已知函数在处的导数为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件及函数在导数的定义即可求解.
【详解】由题意得函数在处的导数
，
故A项正确.
故选：A.
5．手机屏幕面积与手机前面板面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在0~1之间．若设计师将某款手机的屏幕面积和手机前面板面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该款手机的“屏占比”和升级前相比（ ）
A．不变B．变小C．变大D．变化不确定
【答案】C
【分析】做差法比较与的大小即可得出结论.
【详解】设升级前的“屏占比”为，升级后的“屏占比”为（，）．因为，所以升级后手机“屏占比”和升级前相比变大，
故选：C．
6．在正项等比数列 中，，则数列的前 5 项之和为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】根据对数的运算性质以及等比数列的性质即可求解.
【详解】由等比数列的性质得,
数列的前 5 项之和为，
故选：C
7．如图，函数的图像在点P处的切线方程是，则（ ）
A．-2B．3C．2D．-3
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义即可求解.
【详解】解：因为函数的图像在点P处的切线方程是，
所以，
所以，
故选：B.
8．若椭圆C的方程为，则“”是“椭圆C的离心率为”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由椭圆的性质得推出关系后判断
【详解】椭圆C的离心率为，即，
若椭圆焦点在轴上，则，得，
若椭圆焦点在轴上，则，得，
故“”是“椭圆C的离心率为”的充分不必要条件，
故选：A
9．若满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】作出不等式组所表示的可行域，求出B点的坐标，将转化为，结合图像求出的最小值.
【详解】根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域如阴影部分，可以看出当经过点B时，目标函数取得最小值，则B（0，1），此时.
故选：A.
10．如图所示，某桥是抛物线形拱桥，此时水面宽为4m，经过一次暴雨后，水位上升了1m，水面宽为3m，则暴雨后的水面离桥拱顶的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构建直角坐标系，设抛物线方程，并确定水位上升前后抛物线一侧与水面交点的坐标，根据点在抛物线上求参数，即可得结果.
【详解】以拱顶为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立如图所示的直角坐标系.
设抛物线方程为，设，，则，解得，
所以暴雨后的水面离桥拱顶的距离为.
故选：C
11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的杨辉三角，这是中国数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……则此数列的前45项和为（ ）
A．4052B．2047C．2048D．2026
【答案】D
【分析】由没有去掉“1”之前，第行的和为，可求得前n行所有数的和，再得到前n行的数的所有个数，再由时，去掉“1”后为45个数求解.
【详解】解：因为没有去掉“1”之前，第行的和为，
所以每一行的数的和构成以1为首项，以2为公比的等比数列，
所以前n行所有数的和为，
又因为每一行的数的个数构成以1为首项，以1为公差的等差数列，
所以前n行的数的所有个数为：，
当时， ，所以去掉“1”后的所有数的个数为 ，
所以数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……的前45项和为：
，
故选：D
12．已知双曲线的左，右焦点分别是，过右焦点的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义及求出，利用勾股定理可求结果.
【详解】如图，设，由双曲线定义知，
则．
又，所以，
所以．
又，所以，由，得
，则，而，
则，化简得，所以．
故选：C.
二、填空题
13．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】先根据二次不等式的解和二次方程的根的关系求出，再代入目标不等式求解即可.
【详解】关于的不等式的解集为,
则关于的方程的根为，
所以由韦达定理得，
则关于的不等式即为，
解得，
即关于的不等式的解集为.
故答案为：
14．命题：“”，若命题是假命题，则的最小值为 ．
【答案】9
【分析】由命题是假命题，得为真命题，进而可求出的范围.
【详解】由命题：“”为假命题，
则为真命题，
而，
所以，解得，
所以的最小值为.
故答案为：.
15．设正项等比数列的前项和为，若，则 ．
【答案】16
【分析】由，变形为，求得q，再由，变形为，求得即可.
【详解】解：因为，
所以，即，
即，解得或（舍去），
又，即，即，
即，解得，
所以，
故答案为：16
16．如图，某次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在处发现在北偏东方向，相距的水面上的处，有蓝方一艘小艇正以每小时的速度沿南偏东方向前进，红方侦察艇立即以每小时的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇，则红方侦察艇拦截住蓝方小艇最少需要 小时．
【答案】2
【分析】设红方侦察艇经过小时后在处追上蓝方的小艇,在中利用余弦定理得到关于的方程，解出即可.
【详解】设红方侦察艇经过小时后在处追上蓝方的小艇,
结合题意：易得,，，，
在中，利用余弦定理：，
解得：，或（舍去）.
故答案为：2.
三、解答题
17．已知数列满足：
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前项的和．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据等差数列的定义，结合已知条件，即可容易证明；
（2）根据（1）中所证即可求得，结合等比数列的前项和以及等差数列的前项和即可求得结果.
【详解】（1），故可得，
故数列为首项，公差为的等差数列.
（2）根据（1）中所求，故可得，故；
故
.
故数列的前项和为.
18．已知实数．
(1)求的最小值；
(2)求的最大值．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）由“”的代换利用基本不等式求解最值；
（2）由和定积最大，求解的最大值，调整系数得的最大值．
【详解】（1），
，
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为3．
（2），
，
当且仅当，即时，等号成立，
的最大值为．
19．已知双曲线的右焦点为，虚轴长为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且线段的中点为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件求出，即可得双曲线的方程；
（2）将点坐标代入双曲线方程后做差，再将中点坐标代入可得斜率，进而可得直线方程.
【详解】（1）双曲线的右焦点为，虚轴长为，
，解得，
双曲线的方程为；
（2）线段的中点为，
,
点都在双曲线上，
，即，
．
直线的方程为，即．
联立，消去得，该方程有解，
故直线的方程为.
20．在中，内角所对的边分别为，且成等差数列．
(1)若，求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理角化边，由已知结合等差中项列式求出边长即可得解.
（2）由（1）的信息，结合已知可得最大内角，再利用余弦定理列式求解即得.
【详解】（1）在中，由正弦定理及，得，
由成等差数列，得，又，则由，解得，
显然，即，
所以．
（2）由（1）知，，又，则，
则为锐角三角形，当且仅当，
于是，即，解得，
所以的取值范围为．
21．在①，②，③轴时，，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且______.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线l：与抛物线C交于A，B两点，求.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义和性质，选择合适的条件进行求解即可；
（2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理和弦长公式，直接计算求解可得答案.
【详解】（1）选择条件①：，
由抛物线的定义可得，，
∴，解得，
故抛物线C的标准方程为.
选择条件②：，
则，，
∵点在抛物线C上，
∴，解得，
故抛物线C的标准方程为.
选择条件③：轴时，，
当轴时，，解得，
故抛物线C的标准方程为.
（2）设，，
联立，化简整理可得，，
由韦达定理可得，，，
∴，
∴
22．设点是椭圆上一动点，分别是椭圆的左，右焦点，射线分别交椭圆于两点，已知的周长为，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：（为原点）为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据定义求出，再将点代入椭圆方程求出，则椭圆方程可求；
（2）设，表示出直线的方程，与椭圆联立，求出，同理可得，代入计算即可证明.
【详解】（1）根据椭圆的定义可得，解得，
椭圆的方程为，将代入可得，解得，
椭圆的方程为：；
（2）证明：由（1）知，设，
则直线的方程为，且，
联立，消去得，
则，
，同理可得，
．
为定值7．