2022-2023学年陕西省咸阳市实验中学高二上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年陕西省咸阳市实验中学高二上学期第一次月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先根据已知条件得到，，无法判断，再依次判断选项即可.
【详解】因为且，所以，即.
又因为，即.
所以，，无法判断.
对选项A，当时，，故A错误；
对选项B，因为，，所以，故B错误；
对选项C，因为，，所以，故C正确；
对选项D，当时，，故D错误.
故选：C
2．若的内角，，所对的边分别为，，，满足，则的面积为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理及三角形面积公式求解.
【详解】因为，
所以，由，故，
所以，
所以，
故选：D
3．若正实数和满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式求出的最小值，可得的最大值.
【详解】正实数和满足，
则，
当且仅当且，即时，等号成立，
则有，即的最大值是.
故选：B
4．已知，，若，则，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】C
【分析】通过证明，得.
【详解】，则，，
，
，
所以，可得.
故选：C
5．若，，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分两种情况讨论：和，解出实数的取值范围，即得.
【详解】对，，
当时，则有恒成立；
当时，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
6．若关于的不等式在上有实数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知不等式在上有实数解，再利用对勾函数的性质求出函数在上的最大值即可.
【详解】关于的不等式在上有实数解，即不等式在上有实数解
由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增，
又，得，即a的取值范围是为.
故选：A．
7．我国古代数学著作《张丘建算经》记载如下问题：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？”意思是：“某人赠与若干人钱，第一人赠与3钱，第二人赠与4钱，第三人赠与5钱，继续依次递增1钱赠与其他人，若将所赠钱数加起来再平均分配，则每人得100钱，问一共赠钱给多少人？”在上述问题中，获得赠与的人数为（ ）
A．191B．193C．195D．197
【答案】C
【分析】利用等差数列前项和公式求解．
【详解】设有人，第人赠与钱数为，是等差数列，，公差，
则，，
故选：C．
8．在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】由三角形内角和可判断A项，由三角形中大边对大角可判断B项，由正弦定理解三角形可判断C项，由余弦定理解三角形可判断D项.
【详解】对于A项，由，，可得，所以三角形只有一解；
对于B项，由，，，可得，所以，此时三角形有唯一的解；
对于C项，由正弦定理，可得，
可得B有两解，所以三角形有两解；
对于D项，由余弦定理得，
可得c有唯一的解，所以三角形只有一解．
故选：C．
9．若，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式判断A、B、C；特殊值法判断D.
【详解】由，则，
当且仅当时等号成立，所以，
时左侧等号成立，时右侧等号成立，故A错，B对；
由，当且仅当时等号成立，
所以，C错；
当时满足，此时，D错.
故选：B
10．满足不等式的整数解的个数为（ ）
A．100B．5000C．5100D．无穷多个
【答案】C
【分析】利用穿针引线法解不等式，求出不等式各个解区间内整数解个数，再利用等差数列求和即得到答案.
【详解】利用穿针引线法解不等式，如图示：
满足不等式整数解有：
在有个；
在有个；
在有个.
因此不等式在区间内的解有个，
所以不等式的整数解的个数为.
故选：C
11．如图，正方形的边长为2，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去.则从正方形开始，连续个正方形面积之和不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意面积可构成等比数列，利用等比数列求和公式求和，分别检验选项即可.
【详解】由题意，第一个正方形边长为2，面积为4，
第二个正方形边长为，面积为2，
第三个正方形边长为，面积为1，
第四个正方形边长为，面积为，
所以正方形的面积构成以为首项，为公比的等比数列，
所以连续个正方形面积之和为，
当时，，当时，，当时，，
当时，无正整数解.
故选：B
12．若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.已知，，记数列的前项和为，若，则（ ）
A．319B．303C．286D．258
【答案】A
【分析】依题意，确定数列的各项的值，再计算，由，即可求解.
【详解】解：数列的项为：，
则，
，
，
，共有8项，
，共有16项，
，共有128项，
，共有256项，
则
，
而，
则，
故，得.
故选：A .
二、填空题
13．在中，，，，则 .
【答案】
【分析】结合正弦定理及同角三角函数关系即可求解.
【详解】由正弦定理得：，则，
又因为，则，所以.
故答案为：
14．设数列的前项和为，且满足两个条件：①是单调递减数列；②是单调递增数列，请写出的一个通项公式 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意，只需写出满足是正项单调递减数列的通项公式即可.
【详解】解：根据题意，数列满足：①是单调递减数列；②是单调递增数列，
故只需是正项单调递减数列即可.
故的通项公式可以为.
故答案为：（答案不唯一）
15．已知，为正实数，且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由题意化简得到，进而得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由为正实数，且，可化为，
则
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
16．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】结合余弦定理即可求解.
【详解】因为为锐角三角形，且，，
则，且，
，即.
故答案为：
三、解答题
17．已知的周长为，且.
(1)求边的长；
(2)若的面积为，求角的度数.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理将中的角化为边，得，再结合的周长即可得解；
（2）由，得，再根据余弦定理即可求得的值，从而得解．
【详解】（1）解：由正弦定理知，
，
，
的周长为，
，
．
（2）解：的面积，
，
由（1）知，，，
由余弦定理知，
，
．
18．在数列中，已知，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)记数列的前项和为.若，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)9
【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可；
（2）结合等比数列求和公式得，进而根据，结合数列是单调递增数列即可求解.
【详解】（1）证明：∵，且，
∴，，即
∴数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）解：由（1）知，即，
∴.
∵，
∴数列是单调递增数列，
又∵，
∴的值为9.
19．桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式．某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中．
(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少?
【答案】(1)
(2)取得最大值时，，
【分析】（1）由已知该项目占地为1800平方米的矩形地块，我们可得，结合图形还易得，及，由此我们易将池塘所占面积表示为变量，的函数．
（2）要求的最大值，我们有三种思路：①根据，直接使用基本不等式；②根据，消元后再使用基本不等式．
【详解】（1）由题可得：，，
则，
即．
．
（2）法一：
，
当且仅当，即，时，取得最大值1352．
法二：
，
当且仅当，即时取等号，取得最大值．
此时．
20．已知函数的最小值为.
(1)求的值；
(2)若正数，，满足，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简分式后利用均值不等式求最小值；
（2）根据均值不等式及不等式的性质可得即可求解.
【详解】（1）∵，，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴.
（2）由，
，，，
∴，
∴，
当且仅当，且，
即，，时，等号成立.
又，
∴，
∴，，，
∴.
21．记为数列的前项和，为数列的前项和，已知，是与的等比中项.
(1)求的通项公式；
(2)若，求使得的最大正整数.
【答案】(1)，
(2)3
【分析】（1）根据得，再结合等比中项性质得，进而得答案；
（2）结合（1）得，进而根据裂项求和得，再根据数列的单调性求解即可.
【详解】（1）解：由题意，当时，，
∵当时，，
∴当时，也满足上式，
∴，
∵是与的等比中项，
∴，
∴，解得，
∴，
（2）解：由（1）知，，，
∵，
∴
，
∴
.
∵，∴是单调递增数列.
又，，
∴使得的最大正整数为3.
22．已知函数.
(1)当时，求的解集；
(2)是否存在实数，使得不等式对满足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）求解一元二次不等式即可；
（2）关于的不等式恒成立问题转化为关于的函数最值问题求解，按系数符号与轴与区间的关系分类讨论求解即可.
【详解】（1）时，函数，
不等式即为，
即，
解得，
∴不等式的解集为.
（2）设，，
根据题意知，在上恒成立，
①当时，解得，
若，则在上单调递增，
则，不符合题意；
若，则在上单调递减，
则，不符合题意；
②当，即时，的图像为开口向下的抛物线，
要使在上恒成立，需，
即，解得或，
又∵，∴此时无解；
③当，即或时，的图像为开口向上的抛物线，其对称轴方程为，
（i）当，即时，在上单调递增，
∴，解得或，
∵，，∴此时无解；
（ii）当，即或时，在上单调递减，在上单调递增，
∴，此时无解；
（iii）当，即时，在上单调递减，
∴，解得或，
∵，，∴此时无解；
综上，不存在符合题意的实数.