2023-2024学年北京市海淀区北京交大附中高二上学期12月月考数学试题含答案

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一、单选题
1．已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由集合M中元素的特征，对元素进行判断.
【详解】且，则；且，则，所以.
故选：A
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用诱导公式即可得.
【详解】.
故选：A.
3．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用对数函数的定义域求解.
【详解】解：因为函数，
所以，解得，
所以函数的定义域是，
故选：D
4．已知向量，，若时，；时，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】由向量平行、垂直的坐标表示进行运算即可求解.
【详解】由题意若，则当且仅当，若，则当且仅当，解得，.
故选：C.
5．以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析各选项中函数的奇偶性和单调性，再判断作答.
【详解】对于A，函数是R上的奇函数，也是减函数，A是；
对于B，函数是R上的奇函数，是增函数，B不是；
对于C，函数是R上的增函数，不具奇偶性，C不是；
对于D，函数是上的增函数，不具奇偶性，D不是.
故选：A
6．在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
7．实数-•+lg4+2lg5的值为（ ）
A．25B．28C．32D．33
【答案】D
【分析】直接根据指数幂的运算法则、对数的性质及其运算法则进行计算即可，化简过程注意避免出现计算错误．
【详解】
，故选D．
【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则以及对数的运算法则与性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题．
8．某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个年级共名学生中，采用分层抽样的方法抽取人进行调查．已知高一年级共有名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分层抽样的定义求出相应比例，进而得出结果.
【详解】解：因为高一年级共有名学生，占高一、高二这两个年级共名的，
则采用分层抽样的方法抽取人中，应抽取高一年级学生的人数为人.
故选：C.
9．对任意，下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用各基本初等函数的定义域和值域对各选项中的不等式进行判断.
【详解】对于A选项，对任意的实数，，A选项中的不等式不恒成立；
对于B选项，函数的定义域为，且当时，，B选项中的不等式不恒成立；
对于C选项，对任意的实数，，则，C选项中的不等式恒成立；
对于D选项，函数的定义域为，且当时，，D选项中的不等式不恒成立.故选C.
【点睛】本题考查不等式恒成立的判断，要充分理解各基本初等函数的定义域和值域，并结合不等式的性质来进行判断，考查推理能力，属于基础题.
10．已知，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
【详解】因为，所以，即．
故选：A．
11．已知，则“”是“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【分析】通过函数的图象可知，函数值与自变量距对称轴距离成正比，由此可判断为充要条件.
【详解】设，可知函数对称轴为
由函数对称性可知，自变量离对称轴越远，函数值越大；反之亦成立
由此可知：当，即时，
当时，可得，即
可知“”是“”的充要条件
本题正确选项：
【点睛】本题考查充分必要条件的判断问题，属于基础题.
12．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.
【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.
故选：B.
13．函数零点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据分段函数的解析式，转化为方程求根即可得解.
【详解】当时，由可得，解得，即函数有零点0；
当时，由可得，解得，即函数有零点.
综上可知，函数有2个零点.
故选：C
14．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则b＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理直接求解
【详解】由正弦定理
故选：C
15．将的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，然后再将所得图象沿轴负方向平移个单位长度，则所得图象的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的平移与伸缩变换求解即可.
【详解】将的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，
可得，所得图象沿轴负方向平移个单位长度，
可得.
故选：B
16．已知三条不同直线、、，两个不同平面、，有下列命题：
①，，，，则
②，，，，则
③，，，，则
④，，则
其中正确的命题是（ ）
A．①③B．②④C．①②④D．③
【答案】D
【分析】对于①：根据面面平行的判定定理分析判断；对于②：根据线面垂直的判定定理分析判断；对于③：根据面面垂直的性质定理分析判断；对于④：根据线面平行的判定定理分析判断.
【详解】对于①：根据面面平行的判定定理可知：要求直线、相交，
但本题没有提及，所以不能得出，故①错误；
对于②：根据线面垂直的判定定理可知：要求直线、相交，
但本题没有提及，所以不能得出，故②错误；
对于③：根据面面垂直的性质定理可知：，故③正确；
对于④：根据线面平行的判定定理可知：要求直线，
但本题没有提及，所以不能得出，故④错误；
故选：D.
17．已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立．若甲、乙各罚球一次，则两人都命中的概率为（ ）
A．0.08B．0.18C．0.25D．0.72
【答案】D
【分析】根据独立事件乘法公式求解
【详解】由题意，根据独立事件乘法两人都命中的概率为
故选：D
18．甲乙两名篮球运动员在4场比赛中的得分情况如图所示.，分别表示甲、乙二人的平均得分，，分别表示甲、乙二人得分的方差，那么和，和的大小关系是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】根据茎叶图提供的数据，分别计算平均数和方差即可得解.
【详解】根据茎叶图中数据可得，
，，
，
，
所以，.
故选：C
19．已知函数，则满足的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分段函数，分解不等式即可得解.
【详解】因为，
所以当时，原不等式可化为，解得或；
当时，原不等式可化为，解得.
综上，不等式的解集为.
故选：A
20．《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：
某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从3500元上调至7000元.若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）
A．5000~6000元B．6000~8000元C．8000~9000元D．9000~16000元
【答案】C
【分析】设他的当月工资、薪金所得为元，求出和均不合要求，假定他的当月工资、薪金所得为8000元，求出少交纳此项税款元，假定他的当月工资、薪金所得为9000元，求出少交纳此项税款元，，故他的当月工资、薪金所得介于8000~9000元.
【详解】设他的当月工资、薪金所得为元，
当时，
由于，故他的当月工资、薪金所得在内，
故，解得，
不合要求，舍去，
当时，则，
解得，不合要求，舍去，
假定他的当月工资、薪金所得为8000元，
原来交纳此项税款为元，
调整后交纳此项税款为元，
少交纳此项税款元，
假定他的当月工资、薪金所得为9000元，
原来交纳此项税款为元，
而调整后交纳此项税款为元，
少交纳此项税款元，
而当月少交纳此项税为332元，，
故他的当月工资、薪金所得介于8000~9000元，
故选：C
二、填空题
21．命题“对任意的，”的否定是 .
【答案】
【分析】根据全称命题的否定求解.
【详解】由全称命题的否定可知，
“对任意的，”的否定是“”.
故答案为：
22．函数的最小正周期是 .
【答案】
【分析】借助降幂公式及辅助角公式，将原函数变为正弦性函数即可得.
【详解】
，
则.
故答案为：.
23．已知，，且，则的最大值等于 ．
【答案】8
【分析】运用基本不等式的变形，化简整理即可得所求最大值．
【详解】 且
则
当且仅当 ，取得等号
则 的最大值为8
故答案为8
【点睛】本题主要考查的是基本不等式的合理运用及其变形．
24．在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列四个推断：
①平面；②平面；
③平面；④平面平面，
其中推断正确的序号是 .
【答案】①③
【分析】由已知可得，由线面平行的判定定理可判断①；由，与平面相交可判断②；由，根据线面平行的判定定理可判断③，由与平面相交可判断④，进而可得正确答案.
【详解】对于①：因为在正方体中，
，，分别是，，的中点，
所以，因为，所以，
因为平面， 平面，
所以平面，故①正确；
对于②：因为，与平面相交，
所以与平面相交，故②错误；
对于③：因为，，分别是，，的中点，
所以，因为平面，平面，
所以平面，故③正确；
对于④：与平面相交，所以平面与平面相交，故④错误.
故答案为：①③.
25．已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】画出图形，结合图形，利用平面向量的数量积的几何意义判断求解即可．
【详解】画出图形如图，
，
它的几何意义是的长度与在向量的投影的乘积，
由图可知，在处时，取得最大值，，
此时，可得，即最大值为6，
在处取得最小值，此时，
最小值为，
因为是边长为2的正六边形内的一点，取不到临界值，
所以的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查向量的数量积的几何意义及其应用，考查了向量在几何中的应用，同时考查了数形结合思想的应用，是中档题．
三、单选题
26．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据线面平行的判定定理，结合充分、必要条件的概念，即可得答案.
【详解】若，则或，故充分性不成立，
若，则，必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：C
27．若表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．任意实数
【答案】C
【分析】由该方程表示椭圆，可得且，焦点在轴上可得，计算即可得.
【详解】由题意得，解得或，即.
故选：C.
28．已知双曲线的渐近线经过点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】求出渐近线的方程，由点得，又即可求解.
【详解】易知双曲线的渐近线方程为，由渐近线经过点，可得，
故离心率为.
故选：D.
29．已知点和在直线的两侧，则直线的倾斜角的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设直线l的倾斜角为θ∈[0,π).点A(1,−2),B(,0).
直线l:ax−y−1=0(a≠0)经过定点P(0,−1).
∵点(1,−2)和(,0)在直线l:ax−y−1=0(a≠0)的两侧，
∴kPA