2023-2024学年河北省保定市定州中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省保定市定州中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，证明题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】求方程表示椭圆的充要条件对应的的取值范围，再根据充分必要条件的定义判断即可.
【详解】若方程表示椭圆，
则,
解得且,
所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：C.
2．双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可.
【详解】双曲线的渐近线方程是：
故选：A
3．如图，在平行六面体中，若，则有序实数组（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的加减运算，结合空间向量的基本定理即可求得答案.
【详解】由题意得
,
结合可得，
故，
故选：C
4．已知直线l的方向向量为，为直线l上一点，若点为直线l外一点，则P到直线l上任意一点Q的距离的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】C
【分析】根据点到直线距离的空间向量公式求出答案.
【详解】，
，
，
点到直线l的距离为.
则P到直线l上任意一点Q的距离的最小值为.
故选：C
5．若数列满足则称为 “平方递推数列”. 已知数列是 “平方递推数列”， 且则（ ）
A．是等差数列B．是等差数列
C．是 “平方递推数列”D．是 “平方递推数列”
【答案】C
【分析】对于AB，由题意得，然后根据等差数列的定义分析判断即可，对于CD，由平方递推数列的定义分析判断.
【详解】对于AB，因为 是 “平方递推数列”， 所以.
又， 所以 则，，
所以，不是等差数列， 所以AB不正确.
对于C，因为 ，所以 是 “平方递推数列”， 所以C 正确.
对于D，因为 ，
所以不是 “平方递推数列”， D 不正确.
故选：C
6．已知抛物线的方程为 ，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，（ ）
A．B．3C．D．2
【答案】C
【分析】设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理和焦点弦公式代入计算可求得.
【详解】如下图所示：

易知，不妨设；
设直线的方程为，与联立消去得，
,
由韦达定理可知；
由可得；联立解得，即；
根据焦点弦公式可得；
代入计算可得.
故选：C
7．已知抛物线的焦点为B，C的准线与y轴交于点A，P是C上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】准线，过作交于点，根据抛物线的定义有，只需取得最小值，此时与抛物线相切，求得切线的斜率即可.
【详解】如图所示，
，
易知抛物线的准线，
过作交于点，则，则．
要使得取最大值，则取得最小值，即取到最小值，
所以当且仅当与抛物线相切于点时取到最小值，
当与抛物线相切时，设直线的方程为，
代入，可得，
此时需满足，解得，
不妨设点P在第一象限，则，此时，
所以，所以的最大值为，
故选：B
【点睛】关键点睛：抛物线的问题关键在于善于应用定义，把本题的边之比的大小问题转化为角的正弦值大小问题，也即角的最值问题.
8．已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点所作的圆的两条切线，切点为、，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】连接、、，则，，设点，则，分析可得，可得出的取值范围，由可求得的取值范围.
【详解】连接、、，则，，
由切线长定理可知，，
又因为，，所以，，
所以，，则，
设点，则，且，
所以，，
所以，，故，
故选：B.
二、多选题
9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若空间向量，，则在上的投影向量为
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．若空间向量，满足，则与夹角为锐角
D．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则
【答案】ABD
【分析】A投影向量定义求在上的投影向量；B由空间向量共面的推论判断；C由，同向共线即可判断；D由即可判断.
【详解】A：在上的投影向量为，对；
B：在中，故P，A，B，C四点共面，对；
C：当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，错；
D：由，即，故，对.
故选：ABD
10．数列中，，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据递推公式可得数列是以3为周期的周期数列，再逐个选项判断即可.
【详解】由题意得：，，，，…，
∴数列是以3为周期的周期数列．
对于A，，A正确，
对于B，，B正确，
对于C，，C错误，
对于D，由递推关系式知：，
∴
，D正确．
故选：ABD
11．已知圆，直线．则（ ）
A．直线恒过定点
B．直线与圆有两个交点
C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1
D．若，则圆与圆恰有三条公切线
【答案】BD
【分析】直线方程整理成关于的方程，由恒等式知识可得定点坐标，判断A，由定点在圆得直线与圆位置关系，判断B，求出圆心到直线的距离得距离为1的平行直线与圆的位置关系判断C，由圆心距离判断两圆位置关系后判断D．
【详解】直线的方程整理为，
由得，所以直线过定点，A错；
又，即定点在圆内，因此直线与圆相交，有两个交点，B正确；
时直线方程为，圆心到直线的距离为，圆半径为2，，
因此与直线平行且距离为1的两条直线只有一条与圆相交，另一条与圆相离，
因此只有2个点到直线的距离等于1，C错；
时，圆的标准方程为，圆心为，半径为3，
两圆圆心距为，两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确，
故选：BD．
12．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，记与的离心率分别为，，在第一象限的交点为P，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AD
【分析】由离心率公式判断AB，利用椭圆与双曲线的定义及余弦定理得出的关系，从而得出关系判断CD．
【详解】由题意，，，所以，A正确，不能得出，B错误；
设，，则，解得，
若，则，即，
所以，
，，即，所以，C错，D正确．
故选：AD．

三、填空题
13．如果双曲线关于原点对称，它的焦点在坐标轴上，实轴为8，焦距为10，那么双曲线的标准方程是 ．
【答案】或
【分析】根据题意，分双曲线的焦点在轴，与焦点在轴，结合条件，即可得到结果.
【详解】当双曲线的焦点在轴上时，设其标准方程为，
由题意可得，解得，则
则双曲线方程为；
当双曲线的焦点在轴上时，设其标准方程为，
由题意可得，解得，则
则双曲线方程为；
故答案为：或
14．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】利用 求解
【详解】数列的前n项和，
可得；
时，，不满足，
则，
故答案为：.
15．关于的方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】方程有两个不等的实数根转化为半圆与直线有两个不同的交点，作出图形，利用数形结合思想求解.
【详解】关于的方程有两个不等的实数根即为半圆与直线有两个不同的交点，
作出半圆和直线，如图，
半圆在轴上点为，直线过定点，由图可知：
，直线是半圆的切线，
当时，直线与半圆有两个不同的交点.
故答案为：.

16．如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是 ．

【答案】
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，求得，取线段的中点，可知点的轨迹为线段，求出点关于直线的对称点的坐标，由此可求得结果.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，设点，
，，
因为，则，即，即点，
由题意可得，则，
取点，则点的轨迹为线段，设点关于直线的对称点为点，
则线段的中点在直线上，所以，，可得，①
，，②，
联立①②可得，，则点，由对称性可知，
所以，点到底面的距离与它到点的距离之和的最小值，
即为点到平面的距离，即为.
故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题的关键是建立合适的空间直角坐标系，再计算得到点的轨迹，最后利用对称的知识得到最值.
四、证明题
17．已知数列满足，且.
(1)求；
(2)证明：数列是等差数列，并求.
【答案】(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）根据递推关系式求得.
（2）根据等差数列的定义进行证明，进而求得.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）因为，
所以，
则，
故，
又，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列.
所以，
则.
18．如图，在正四棱锥中，O为顶点S在底面内的投影，P为侧棱的中点，且

(1)证明：平面.
(2)求直线与平面的所成角的余弦值
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用三角形中位线可知，由线面平行的判定定理即可得出证明；
（2）以O为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求出直线与平面的所成角的余弦值为.
【详解】（1）连接，如下图所示：

因为O，P分别为和的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）由正四棱锥性质可得是正方形，所以，
又O为顶点S在底面内的投影，所以平面，
又平面，所以可得两两垂直，
以O为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为y轴，
所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：

易知
则，，，，，，
则，，.
设平面的法向量为，
则,
所以，令可得，则平面的一个法向量
设与平面所成的角为，
所以，可得，即
故直线与平面的余弦值为.
五、问答题
19．已知圆，两点、.
(1)若，直线过点且被圆所截的弦长为，求直线的方程；
(2)若圆上存在点，使得，求圆半径的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）计算出圆心到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式可求出直线的方程；
（2）设点，利用平面内两点间的距离公式结合可得知点在圆，可知圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系可得出关于的不等式，即可解得的取值范围.
【详解】（1）解：当时，圆的标准方程为，圆心为，
因为直线过点且被圆所截的弦长为，则圆心到直线的距离为，
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，不合乎题意；
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则，解得，
所以，直线的方程为或.
（2）解：设点，则，
整理可得，
因为点在圆上，则圆与圆有公共点，
且圆的圆心为，半径为，
则，且，故，
因为，解得，故的取值范围是.
六、证明题
20．已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．
【答案】（1）抛物线C的焦点坐标为 ，准线方程为x＝－；（2）见解析.
【详解】试题分析：（Ⅰ）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，再由根与系数的关系，及直线ON的方程为，联立求得点的坐标为，再证明.
试题解析：（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得.
所以抛物线C的方程为.
抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，.
由，得.
则，.
因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.
直线ON的方程为，点B的坐标为.
因为
，
所以.
故A为线段BM的中点.
【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转化与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数的关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来即可，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.
21．已知在四棱锥中，平面，，，，点F为线段BC的中点，平面平面．

(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）通过证明来证得平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角的余弦值.
【详解】（1）取的中点，连接、，
∵平面，平面，平面平面，
∴，
又∵，分别为，的中点，∴
∵∴，
∴四边形为平行四边形，∴，
∵在中且为中点，∴.
∴由平面平面，且交线为，平面，得平面.
∵平面，∴，，
∵，∴，，
∵，平面，∴平面.
（2）∵平面，平面，所以，
又因为，所以三者两两互相垂直，
∴以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，
所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则，，.
∵平面，∴直线与平面所成的角为.
∴，∴.
平面的一个法向量为，
设平面的法向量，
，，
则，取，则，，
∴，
∴，
由图可知二面角为锐角，
∴二面角的余弦值为.

七、问答题
22．已知分别是轴，轴上的动点，且，动点满足，设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)直线与曲线交于两点，为线段上任意一点（不与端点重合），斜率为的直线经过点，与曲线交于两点，若的值与点的位置无关，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先设点，再设点，由向量间的关系得到的轨迹方程；
（2）先求出坐标，设点，写出直线，利用弦长公式求出的值，最后化简与点坐标无关，求出点位置.
【详解】（1）不妨令，则，
又，所以，即，
解得，代入上式可得，即.
（2）如图所示，

联立，解得或，
不妨令，则直线，
联立，可得，
又点在椭圆内，易知，
不妨令，则，
所以，
将上式代入可得，
而，
所以，
要使得的值与点的位置无关，
则需满足为常数，即，解得，
将代入，可得，即，
所以为中点，所以