微专题24　定值问题

这是一份微专题24　定值问题，共4页。试卷主要包含了基本技能练，创新拓展练等内容，欢迎下载使用。

1.已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)，左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，证明：点P与A1，A2连线的斜率的乘积为定值，并求出该定值.
2.已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线与圆O：x2＋y2＝5交于M，N两点，抛物线C与圆O交于M′，N′两点，且|MN|＝|M′N′|.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)动点G在抛物线C的准线上，直线AB与抛物线C交于A，B两点，直线A′B′与抛物线C交于A′，B′两点，直线AB与A′B′的交点为G，且|GA|·|GB|＝2|GA′|·|GB′|.设直线AB，A′B′的斜率分别为k1，k2，证明：eq \f(1,keq \\al(2,1))－eq \f(2,keq \\al(2,2))为定值.
3.已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其离心率e＝eq \f(1,2)，P是椭圆C上一动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为eq \f(π,3).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于点A，B，求证：eq \f(|PF1|,|F1A|)＋eq \f(|PF2|,|F2B|)为定值.
二、创新拓展练
4.(2023·宁波调研)如图，已知双曲线C：x2－eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P为双曲线C在第一象限上的一点，且满足|PF1|＋|PF2|＝8，过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线PA，PB，与渐近线的交点分别是A和B.
(1)求四边形OAPB的面积；
(2)若对于一般的双曲线C′：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，点P′为双曲线C′上任意一点，过点P′分别作双曲线C′两条渐近线的平行线P′A′，P′B′，与渐近线的交点分别是A′和B′.请问四边形OA′P′B′的面积是否为定值，若是定值，求出该定值(用a，b表示该定值)；若不是定值，请说明理由.