2023-2024学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，单空题，填空题，问答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（ ）
A．110B．98C．124D．148
【答案】A
【分析】利用排列数与组合数的计算公式即可得解.
【详解】.
故选：A.
2．已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据直线方程求其斜率，再利用两直线垂直得到垂直直线斜率，然后利用点斜式方程得到垂直直线方程，化成一般式即为答案.
【详解】因为直线的斜率为，
则与其垂直的直线的斜率为，
又因为直线过点，
则直线的方程为，即.
故选：B.
3．的展开式中的系数是（ ）
A．90B．80C．70D．60
【答案】A
【解析】根据二项式定理，得到展开式的第项，再由赋值法，即可求出结果.
【详解】因为展开式的第项为，
令，得，则的系数为．
故选：A.
4．用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）

A．240B．360C．480D．600
【答案】C
【分析】先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理运算求解.
【详解】将区域标号，如下图所示：

因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法，
若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；
若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法；
所以共有种不同的涂色方法.
故选：C.
5．双曲线（，）的一条渐近线经过，则该双曲线离心率为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【分析】根据双曲线的渐近线与离心率的关系求解.
【详解】双曲线的一条渐近线方程为，
将代入渐近线方程得，
所以，
故选:B．
6．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0．则他迟到的概率为（ ）
A．0.65B．0.075
C．0.145D．0
【答案】C
【分析】根据全概率公式进行求解即可.
【详解】设A1＝他乘火车来，A2＝他乘船来，A3＝他乘汽车来，A4＝他乘飞机来，B＝他迟到．
易见：A1，A2，A3，A4构成一个完备事件组，由全概率公式得P(B)＝(Ai)P(B|Ai)
＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145．
故选：C
7．某高校校党委计划开展“学党史，争当新时代先锋”活动月，并在活动月末举办党史知识竞赛.数学学院初步推选出2名教师和6名学生共8名党史知识学习优秀者，并从中随机选取5名组成院代表队参加学校党史知识竞赛，则在代表队中既有教师又有学生的条件下，教师甲被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件概率公式求解即可.
【详解】记“代表队中既有教师又有学生”为事件A，“教师甲被选中”为事件B，
则，，
故在代表队中既有教师又有学生的条件下，教师甲被选中的概率.
故选：B.
8．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为.，是椭圆上的点，的中点为，，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】做出合理的辅助线，利用椭圆定义求出方程，后设点，用圆中的勾股定理转化为函数最值问题求解即可.
【详解】
连接，中点为，
，
，即椭圆方程为
设，则，，连接,
由题意知，，且
，由二次函数性质得，当时
取得最大值，此时
故选：B
二、多选题
9．圆和圆的交点为，，则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为
B．线段中垂线方程为
C．公共弦的长为
D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
【答案】ABD
【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A；求出垂直平分线的方程判断B；利用垂径定理计算弦长判断C；求出圆到直线的距离的最大值判断D．
【详解】圆的圆心，半径，
的圆心， 半径，
显然，即圆与圆相交，
对于A，将方程与相减，
得公共弦AB所在直线的方程为，即，A正确；
对于B，由选项A知，直线的斜率，则线段AB中垂线的斜率为，
而线段中垂线过点，于是线段AB中垂线方程为，即，B正确；
对于C，点到直线的距离为，
因此，C错误；
对于D，P为圆上一动点，圆心到直线的距离为，
因此点P到直线AB距离的最大值为，D正确．
故选：ABD
10．在的展开式中，下列叙述中正确的是（ ）
A．二项式系数之和为128
B．各项系数之和为1
C．常数项为15
D．二项式系数最大的项是第3项和第4项
【答案】AB
【分析】根据展开式的二项式系数的性质，可判定A，令，求得展开式的各项系数和，可判定B，求得展开式的通项可判定C，利用二项式系数最大为中间项可判断D.
【详解】对于A，的展开式中，二项式系数的和为，故A正确；
对于B，令，可得展开式的各项系数的和为，故B正确；
对于C，展开式的通项为，
因为，所以，所以展开式没有常数项，故C错误；
对于D，的展开式共有8项，二项式系数最大的项是第4项和第5项，故D错误.
故选：AB
11．小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A为“恰有两人所去景点相同”，事件为“只有小张去甲景点”，则（ ）
A．这四人不同的旅游方案共有64种B．“每个景点都有人去”的方案共有72种
C．D．“四个人只去了两个景点”的概率是
【答案】CD
【分析】A选项，根据分步乘法计数原理求出答案；B选项，根据部分平均分组方法计算出答案；C选项，利用排列组合知识得到，，利用条件概率公式求出答案；D选项，求出四个人只去了两个景点的方案数，结合A中所求，求出概率.
【详解】A选项，每个人都有3种选择，故共有种旅游方案，A错误；
B选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，
故有种方案，B错误；
C选项，恰有两人所去景点相同，即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，
由B选项可知，，
又事件，即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点，
故，
所以，C正确；
D选项，“四个人只去了两个景点”，分为2种情况，
第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有种方案，
第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另一个景点，故有种方案，
由A选项可知，这四人不同的旅游方案共有81种，
故“四个人只去了两个景点”的概率为，D正确.
故选：CD
12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，点为双曲线上异于的一动点，则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为9
B．若以为直径的圆经过双曲线的右焦点，则
C．若，则有或13
D．设，的斜率分别为、，则的最小值为
【答案】BD
【分析】求得的最大值判断选项A；求得判断选项B；求得的值判断选项C；求得的最小值判断选项D.
【详解】双曲线中、，焦距，实轴长
不妨设，
选项A：
则，
又，则
由，可知，即，则的最大值为16.判断错误；
选项B：以为直径的圆经过双曲线的右焦点，则有
则，
解之得，则，则
则.判断正确；
选项C：若，由，
可得或（因为，舍去）.判断错误；
选项D：由，可得
即，则
故，（当且仅当时等号成立）
即的最小值为.判断正确.
故选：BD
三、单空题
13．设的分布列如图，又，则 .
【答案】
【分析】先根据分布列的性质求出，再求，进一步就可求出.
【详解】由分布列的性质得，得，
从而，
而，
所以.
故答案为：.
四、填空题
14．设动点在抛物线上，点在轴上的射影为点，点的坐标是，则的最小值是 ．
【答案】/
【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，再利用抛物线定义建立关系，并求出最小值作答.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，

延长PM交准线于N，连PF，显然垂直于抛物线的准线，由抛物线定义知：
，当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号，
而，所以的最小值为.
故答案为：
15．2023年春节期间，电影院上映《流浪地球2》《满江红》《熊出没伴我“熊芯”》等多部电影，某居委会有6张不同的电影票，奖励给甲、乙、丙三户“五好文明家庭”，其中一户1张，一户2张，一户3张，则共有 种不同的分法．
【答案】360
【分析】先将6张电影票按照要求分为3组，再进行全排列，求出答案.
【详解】从6张电影票中任选1张，有种选法，从余下的5张中任选2张有种选法，最后余下3张选3张有种选法，
由于甲、乙、丙是不同的三户“五好文明家庭”，因此共有种不同的分法．
故答案为：360
16．已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 .
【答案】/4.5
【分析】设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则，所以，从而有，最后利用均值不等式即可求解.
【详解】解：设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则，
所以，即，
故，当且仅当时取等，
所以，
故答案为：.
五、问答题
17．若，且.
(1)求实数a的值；
(2)求的值.
【答案】(1)1
(2)1
【分析】（1）利用二项展开式的通项公式计算可得答案；
（2）利用赋值法求出，再取可得答案.
【详解】（1）依题意，展开式的通项为=，
由，=2得，所以，，解得，所以实数a的值是1.
（2）由（1）知，，当时，，
当时，，
因此=1.
18．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过且斜率为的直线交椭圆于，两点，求弦的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意设椭圆的方程为（），即可得到关于、、的方程组，解得、，即可得解；
（2）首先得到直线的方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，最后利用弦长公式计算可得.
【详解】（1）依题意设椭圆的方程为（），
则，解得，所以椭圆方程为.
（2）依题意直线的方程为，设、，
由，消去整理得，
则，所以，，
所以.

19．为了调动学生学习数学的积极性，张老师对教学方法进行改革，经过教学实验，张老师的80名学生数学成绩都在[50，100]内，按区间分为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀．

(1)求这80名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）；
(2)按优秀与非优秀用分层随机抽样方法随机抽取10名学生座谈，再在这10名学生中，选3名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量X，求X的分布列和期望．
【答案】(1)73.5
(2)分布列见解析，期望为
【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；
（2）根据频率分布直方图可确定优秀与非优秀学生对应的频率，根据分层抽样原则可确定名学生中优秀学员的人数，由此可得所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望.
【详解】（1）名学生的平均成绩为.
（2）根据频率分布直方图知：优秀学员对应的频率为，则非优秀学员对应的频率为，
抽取的名学生中，有优秀学生人，非优秀学生人；
则所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：
数学期望.
20．设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，（其中O为坐标原点）的面积为4．
(1)求a；
(2)若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为，证明：直线l过定点，并求出此定点坐标．
【答案】(1)；
(2)证明见解析，定点．
【分析】（1）利用题给条件列出关于a的方程，解之即可求得a的值；
（2）先设出直线l的方程，并与抛物线方程联立，利用设而不求的方法求得的关系，进而求得直线l过定点的坐标．
【详解】（1）因为点在抛物线C上，所以，即，
因为的面积为4，所以，解得，所以．
（2）由（1）得，．
当直线l斜率为0时，不适合题意；
当直线l斜率不为0时，设直线，设，，
由，得，
则，，，
因为直线PA，PB的斜率之和为，
所以，即，
所以，所以
，整理得，
所以直线，
令，解之得，所以直线l过定点．
21．飞行棋是一种竞技游戏，玩家用棋子在图纸上按线路行棋，通过掷骰子决定行棋步数．为增加游戏乐趣，往往在线路格子中设置一些“前进”“后退”等奖惩环节，当骰子点数大于或等于到达终点的格数时，玩家顺利通关．已知甲、乙两名玩家的棋子已经接近终点，其位置如图所示：

(1)求甲还需抛掷2次骰子才顺利通关的概率；
(2)若甲、乙两名玩家每人最多再投掷3次，且第3次无论是否通关，该玩家游戏结束．设甲、乙两玩家再投掷骰子的次数为，分别求出的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为，
【分析】（1）由题意可知，甲抛掷的点数应小于4，所以分甲投1点，2点，或3点，分别求满足条件的概率，即可求解；（2）根据题意可知，随机变量，根据随机变量表示的意义，分别求概率，即可求解分布列和数学期望.
【详解】（1）甲第1次抛掷未到达终点，其点数应小于4
若第1次掷出的点数为1，根据游戏规则，棋子前进1步后可再前进1步，到达距离终点差2步的格子，第2次掷出的点数大于1，即可顺利通关，其概率为
若第1次掷出的点数为2，棋子到达距离终点差2步的格子，第2次掷出的点数大于1，即可顺利通关，其概率为
若第1次掷出的点数为3，根据游戏规则，棋子到达距离终点差1步的格子后需后退3步，又回到了原位，第2次掷出的点数大于3，可顺利通关，其概率为
故甲抛掷2次骰子顺利通关的概率为
（2）依题意得，，
，，
，
22．已知椭圆的左、右焦点分别是，，上顶点为A，椭圆的焦距等于椭圆的长半轴长，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若B，C是椭圆上不同的两点，且直线AB和直线AC的斜率之积为，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可列方程求解，，，
（2）联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，进而根据弦长公式以及点到直线的距离公式表达出三角形的面积，利用换元法及基本不等式求面积的最大值.
【详解】（1）由题意得，，①
由的面积为，得，②
又，得，，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）由（1）知点，
易知直线AB和直线AC的斜率均存在，所以点B，C与椭圆的上、下顶点均不重合．
若直线BC的斜率不存在，不妨设，则，
直线AB和直线AC的斜率分别是，，
所以，
又点在椭圆上，所以，所以，所以，这与直线AB和直线AC的斜率之积为矛盾，
所以直线BC的斜率存在．
设直线BC的方程为，其中，
将直线BC的方程代入，得，
则，
设，，
则，．
直线AB和直线AC的斜率分别是，，
所以
，
又，所以，即，
所以，故，即，
所以直线的方程为，，，
所以，
点到直线BC的距离，
所以的面积．
令，则，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以面积的最大值为．

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将的面积用k表示出来，然后再利用基本不等式长最值．
1
2
3
4
P
a
1
2
3
1
2
3