2023-2024学年湖北省鄂州市第二中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖北省鄂州市第二中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设，方程所表示的曲线是（ ）
A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线
【答案】C
【分析】求出值的范围，把曲线化为标准形式，判断曲线的形状．
【详解】若，则，
曲线,即，
，
表示焦点在轴上的椭圆．
故选：
2．已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】求出的坐标，利用点到平面距离的向量求法计算作答.
【详解】依题意，，所以点P到平面的距离为.
故选：D
3．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（ ）
A．A与互斥B．与相互独立
C．D．A与互斥
【答案】B
【分析】根据互斥的定义和相互独立的公式即可求解.
【详解】对于选项A：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A，也满足事件B,因此A与能够同时发生，所以A与不互斥，故选项A错误；
对于选项B：，，，所以，所以与相互独立，即选项B正确；
对于选项C：，故选项C错误；
对于选项D：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A，也满足事件C,因此A与C能够同时发生，所以A与C不互斥，故选项D错误；
故选：B.
4．在等差数列中，若，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】根据等差数列的下标和性质即可解出．
【详解】因为，解得：，所以．
故选：D．
5．已知原点到直线的距离为1，圆与直线相切，则满足条件的直线有
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【详解】试题分析：由已知，直线满足到原点的距离为，到点的距离为，满足条件的直线即为圆和圆的公切线，因为这两个圆有两条外公切线和一条内公切线. 故选C.
【解析】相离两圆的公切线
6．已知F是双曲线的下焦点，是双曲线外一点，P是双曲线上支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】A
【解析】求出上焦点F1的坐标，由双曲线的定义可得，从而求得的值，推出结果．
【详解】解：∵F是双曲线的下焦点，
∴，c＝4，F（0，−4），
上焦点为（0，4），
由双曲线的定义可得
，
当A，P，H三点共线时，取得最小值9．
故选：A．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
7．已知双曲线的焦距为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点.设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】任取双曲线的一条渐近线为直线，由点到直线的距离公式，构造，，结合题目已知条件列不等式即可求出双曲线离心率的范围.
【详解】由题意可知，直线经过双曲线的右焦点，且垂直于轴，不妨设，
代入椭圆方程，又，所以，
所以，，任取双曲线的一条渐近线为直线，
由点到直线的距离公式可得点到渐近线的距离，
点到渐近线的距离，
所以，因为，
所以，因，所以，即，
所以，所以，
因为双曲线离心率，所以，
所以双曲线的离心率的取值范围为.
故选：C.
8．已知抛物线的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若，则当最大时，（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【解析】根据抛物线的定义，结合换元法、配方法进行求解即可.
【详解】因为点P为该抛物线上的动点，所以点P的坐标设为，抛物线的焦点为F，所以，抛物线的准线方程为：，因此，
令，
，
当时，即当时，有最大值，最大值为1，此时.
故选：B
二、多选题
9．给出如下四个命题不正确的是（ ）
A．方程表示的图形是圆B．椭圆的离心率
C．抛物线的准线方程是D．双曲线的渐近线方程是
【答案】ABD
【分析】对于A选项，配方得其表示点，故错误；对于B选项，直接求解离心率，故错误；对于C选项，化标准形式，再求解即可判断；对于D选项，化为标准形式得，再求解即可判断；
【详解】解：对于A选项，，故，表示点，故错误；
对于B选项，由题知，所以，所以离心率，故错误；
对于C选项，抛物线化为标准形式得抛物线，故准线方程是，故正确；
对于D选项，双曲线化为标准形式得，所以，焦点在轴上，故渐近线方程是，故错误.
故选：ABD
10．已知双曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的顶点到其渐近线的距离为2
B．若F为C的左焦点，点P在C上，则满足的点M的轨迹方程为
C．若A，B在C上，线段AB的中点为，则线段AB的方程为
D．若P为双曲线上任意一点，点P到点和到直线的距离之比恒为2
【答案】BCD
【分析】根据点到直线距离公式求顶点到其渐近线的距离，判断A，根据曲线轨迹方程的求法求出点M的轨迹方程，判断B，由点差法判断C，根据两点距离公式和点到直线的距离公式计算点P到点和到直线的距离由此判断D.
【详解】双曲线的顶点为，，渐近线方程为，
顶点到渐近线的距离，
顶点到渐近线的距离，A错，
双曲线的左焦点的坐标为，设，，
∵，∴ ，
∴ ，，又在双曲线上，
∴ ，
∴ ，B对，
设，，
∵ 线段AB的中点为，∴ ，
由已知可得，所以，
∴，∴ 直线AB的斜率为3，
∴ 线段AB的方程为，即，
联立与双曲线的方程可得，化简得，
方程有两解，所以直线与双曲线相交，满足要求，C对，
设，点到点的距离，
∴，
又点P到到直线的距离，
∴ 点P到点和到直线的距离之比恒为2，D对，
故选：BCD.
11．已知等差数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（ ）
A．是递减数列B．
C．D．最小时，
【答案】BD
【分析】根据等差数列的性质首项可得：公差且即可判断等差数列是递增数列，进而求解.
【详解】因为等差数列的前项和为，且，
所以，则有，
因为，所以公差，且，所以等差数列是递增数列，故选项错误；
，故选项正确；
因为，故选项错误；
由可知：等差数列的前10项均为负值，所以最小时，，故选项正确，
故选：.
12．如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则的最小值为2D．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算判断B，C，D作答.
【详解】由椭圆和双曲线的定义得：，解得，，A正确；
在中，由余弦定理得：，
整理得，，即，
当时，，即，B正确；
当时，，，
当且仅当时取“=”，而，C不正确；
在椭圆中，，即，
在双曲线中，，即，
于是得，而，则，D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明
常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a，c的关系.
三、填空题
13．若抛物线的准线与直线间的距离为3，则抛物线的方程为 .
【答案】或
【分析】先求出抛物线的准线，再根据距离列方程求解即可.
【详解】抛物线的准线为，
则，解得或，
故抛物线的方程为或.
故答案为：或.
14．数列中，，，则
【答案】
【分析】直接计算得到答案.
【详解】，，
则，，，.
故答案为：.
15．已知圆：，圆：，M，N分别为圆和圆上的动点，P为直线l：上的动点，则的最小值为
【答案】/
【分析】利用配方法求出圆的圆心坐标和半径，利用圆和直线的对称性，结合两圆位置关系进行转化求解即可．
【详解】解：圆的标准方程为，圆，
则圆心坐标，半径为1，圆心坐标，半径为2，
设关于对称的点的坐标为.
所以圆关于对称的点的坐标为圆，半径为1，
由对称性知问题转化为到，的距离之和的最小值，
由图象知当，，三点共线时，的距离最小，
此时最小值为，
故答案为：

16．如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 .

【答案】
【分析】利用中位线结合双曲线的性质, 解得，解得，然后转化成，求得离心率.
【详解】设双曲线的右焦点，连接，.
则中，，，
则，
由直线与圆相切，
可得.
又双曲线中，，
则，
又，
则，
整理得，
两边平方整理得，
则双曲线的离心率，
故答案为：.
四、解答题
17．已知为圆上的动点，的坐标为，在线段的中点.
(1)求的轨迹的方程.
(2)过点的直线与交于、两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）设点的坐标为，A，由中点坐标公式可得，利用相关点法计算可得点的轨迹的方程.
（2）由题意可得原点到直线的距离，分直线斜率不存在与存在两种情况讨论，利用点到线的距离公式求出参数的值，即可得解.
【详解】（1）解：设点的坐标为，点的坐标为，
依题意得，，解得，
又，所以，即，
所以点的轨迹的方程为.
（2）解：因为直线与曲线交于、两点，且，
所以原点到直线的距离.
若斜率不存在，直线的方程为，此时符合题意；
若斜率存在，设直线的方程为，即，
则原点到直线的距离，解得，
此时直线的方程为，
所以直线的方程为或.
18．一动圆与圆外切，同时与圆内切，动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)点为上一动点，点为坐标原点，曲线的右焦点为，求的最小值.
【答案】(1)
(2)45
【分析】（1）设动圆圆心为，半径为，由题意可得，从而可得点的轨迹是焦点为，且长轴长等于12的椭圆，进而可求出其方程；
（2）设，则，再结合的取值范围可求得结果.
【详解】（1）设动圆圆心为，半径为，
将圆的方程分别配方得：圆，圆，
当动圆与圆外切时，，
当动圆与圆内切时，，
所以，
所以点的轨迹是焦点为，且长轴长等于12的椭圆.
设该椭圆的长轴为，短轴为，焦距为，
所以，所以，所以，
所以动圆圆心轨迹方程为.
（2）由（1）得，，设，
所以.
因为点在椭圆上，所以，
所以，
所以当时，，
故的最小值为45.
19．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，．
(1)证明：平面平面；
(2)已知，在线段上是否存在一点，使得二面角的平面角为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）根据勾股定理证明线线垂直，结合线面垂直得线线垂直，即可由线面垂直的判断定理证明线面垂直，进而可证面面垂直；
（2）方法一：建立空间之间坐标系，利用向量的夹角求解二面角，进而即可求解；
方法二：利用几何法找到二面角的平面角，即可利用三角形的边角关系即可求解．
【详解】（1）由底面是平行四边形，则，
又，则，所以，
又平面，平面，所以，
又，且平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）结合（1）可得，，两两垂直，
则以为坐标原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，
则，，，
则，，，，
则平面的一个法向量为，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，即，
则，解得，
所以存在点，且．
解法二：
在线段上取一点，连接，
由（1）知，，，平面，平面，
所以平面，
由平面，所以，
所以为二面角的平面角，即，
在中，因为，且，
则，所以，
所以为等边三角形，
所以存在点为中点，即．
【点睛】本题考查面面垂直的证明，运用向量法或几何法求二面角的问题，属于中档题．
20．设为数列的前n项和，且
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意化简得到，结合等差数列的定义，即可证得数列是等差数列.
（1）由（1），利用等差数列的通项公式，求得，结合当时，，即可求得数列的通项公式.
【详解】（1）解：由题意，数列满足，可得，
则，所以，
又由，所以，
所以数列表示首项为，公差为的等差数列.
（2）解：由数列表示首项为，公差为的等差数列，
可得，所以，
当时，可得，
因为，可得，不适合上式，
所以数列的通项公式为 ．
21．已知双曲线：的右焦点为，左顶点为A，且，到C的渐近线的距离为1，过点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)若直线MB，NB的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，
【分析】（1）由题意可得，，再结合可求出，从而可求出双曲线方程，
（2）设直线：，，，，将直线方程代入双曲线方程消去，利用根与系数的关系，表示出直线的方程，可表示出点的坐标，同理可表示出点的坐标，从而可表示，，然后计算化简即可
【详解】（1）由题意得，，渐近线方程为，
则到渐近线的距离为，
又因为，
所以，，，
故双曲线的标准方程为.
（2）设直线：，，，，
联立方程组得，
所以，.
因为直线的方程为，
所以的坐标为，同理可得的坐标为.
因为，，
所以
，
即为定值.
22．已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为．

(1)求椭圆C的方程；
(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点D．
①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
②求面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)①恒过定点；②.
【分析】（1）根据已知焦点三角形周长，由椭圆定义及其离心率求椭圆参数即可得方程；
（2）①设直线AD为且，，，，联立椭圆方程，应用韦达定理并结合A，B，共线有，整理化简求参数m，即可确定定点；②由直线AD所过定点，结合并将韦达公式代入化简，应用基本不等式求面积最大值，注意取值条件.
【详解】（1）由题的周长，可得，
又，则，，故椭圆的方程为．
（2）①由题，设直线AD为且，，，，
联立方程可得：，化简可得：
，
所以，，
因为A，B，共线，则有，化简可得，
即，化简可得恒成立．
∴，即直线AD的方程为恒过定点．
②设直线AD恒过定点记为，
由上，可得，
所以，·
，
令，则，
当且仅当，即时，取等号．
∴面积的最大值为．
【点睛】关键点点睛：第二问，设直线AD为且，利用椭圆方程，应用韦达定理及已知条件求出参数m为关键.