2023-2024学年湖北省武汉市江夏实验高级中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市江夏实验高级中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得直线的斜率，从而求得倾斜角.
【详解】直线的斜率为，
对应倾斜角为.
故选：D
2．设，，向量，，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据，，求得向量，再利用向量的模公式求解.
【详解】解：因为向量， ，且，
所以，解得；
因为，，且，
所以，解得，
则，，
所以，
则，
故选：B
3．若圆的面积是，则该圆的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆的面积求得圆的半径，根据圆的半径求得，进而求得圆心的坐标.
【详解】由于圆的面积为，所以圆的半径为，
所以，
解得，所以圆心坐标为，即.
故选：B
4．若直线，平行，则实数的值为（ ）
A．B．3C．1或D．或3
【答案】D
【分析】根据两直线平行列方程，由此求得.
【详解】由于两直线平行，所以，
解得或，
当时，，两直线平行.
当时，，两直线平行.
综上所述，的值为或.
故选：D
5．点在圆上运动，点在直线上运动，若的最小值是2，则的值为（ ）
A．10B．C．20D．
【答案】D
【分析】根据圆心到直线的距离以及的最小值求得.
【详解】圆的圆心为，半径为，
到直线的距离为，
由于的最小值是，所以直线与圆相离，
所以的最小值为.
故选：D
6．已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得直线所过定点，然后根据两点间的距离公式求得正确答案.
【详解】直线，
即，由解得，
所以直线过定点，
所以的最大值为.
故选：B
7．如图，四棱雉的底面是边长为3的正方形，，且，为上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值.
【详解】由于，
所以，由于平面，
所以平面，而四边形是正方形，所以，
由此以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
设异面直线与所成角为，
则.
故选：C

8．圆关于直线对称的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】通过求圆的圆心和半径求得正确答案.
【详解】圆的标准方程为，
所以圆心为，半径.
设圆的圆心为，
则，解得，
圆的半径为，所以圆的标准方程为.
故选：A
二、多选题
9．如图，正方体棱长为，，分别是，的中点，则（ ）
A．平面
B．
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】ABC
【分析】A项，求出和面的法向量即可得出结论；B项，求出的坐标即可求出的长；C项，D项，求出和平面的法向量即可求出直线与平面所成角的正弦值.
【详解】由题意，
在正方体中，棱长为2，，分别是，的中点
作空间直角坐标系如下图所示，
,
，
A项，，
面的一个法向量为，
∵，
∴平面，A正确；
B项，，B正确；
∵，平面的一个法向量为，
设线与平面所成角为，
，
∴C正确，D错误.
故选：ABC.
10．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角的取值范围是
B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C．若两条平行直线和之间的距离小于1，则实数的取值范围为
D．圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1
【答案】AD
【分析】根据直线的倾斜角、充要条件、平行直线、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，直线的斜率为，
即，所以倾斜角的取值范围是，A选项正确.
B选项，若“直线与直线互相垂直”，
则，解得或，
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，
B选项错误.
C选项，当时，两直线重合，与已知两直线平行矛盾，所以C选项错误.
D选项，圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以圆上有且仅有个点到直线的距离等于1，
D选项正确.
故选：AD
11．从点射出的光线经轴反射后，与圆有公共点，则反射光线所在直线斜率可以是（ ）
A．1B．2C．3D．不存在
【答案】BCD
【分析】先求得关于轴的对称点，结合圆与直线相切求得正确答案.
【详解】圆的圆心为，半径为，
关于轴的对称点为，
过的直线与圆相切.
设过的圆的切线方程为：
，
所以，解得，
结合图象可知A选项错误，BCD选项正确.
故选：BCD

12．椭圆的左右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，给出以下四个命题，正确的是（ ）
A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8
B．过点的斜率为1直线与椭圆交于，两点，的中点为，则的斜率为
C．椭圆上有四个点，使得
D．为圆上一点，则点，的最大距离为4
【答案】ABC
【分析】A选项，根据椭圆定义求出的周长；B选项，利用点差法求出，得到的斜率；C选项，求出以为圆心，为直径的圆，联立椭圆方程后求出交点坐标，得到点的个数；D选项，，的最大距离为的长加上半径1，设出，得到的最大值，从而得到答案.
【详解】A选项，由题意得，
由椭圆定义可知，，
故的周长为8，A正确；

B选项，设，则，
因为点的斜率为1直线与椭圆交于，两点，故，
两式相减得到，
故，
因为的中点为，所以，
故，B正确；
C选项，由题意得，故，
故，
要想椭圆上点，使得，
只需点在以为圆心，为直径的圆上，圆的方程为，
联立与得，，
解得，代入中可得，
故交点坐标分别为，
故椭圆上有四个点，使得，C正确；

D选项，因为为圆上一点，
则点，的最大距离为的长加上半径1，
其中设，则，
故当时，取得最大值，最大值为2，
故点，的最大距离为2+1=3，D错误.

故选：ABC
三、填空题
13．若椭圆离心率为，，为椭圆的两个焦点，为短轴的一个端点，则 .
【答案】/
【分析】根据离心率得到的关系式，从而求得.
【详解】不妨设椭圆的焦点在轴，方程为，
则，整理得，
所以三角形是等腰直角三角形，
所以.
故答案为：

14．写出同时与圆和圆都相切的一条直线方程 .
【答案】（或或，答案不唯一）
【分析】先判断两圆的位置关系，然后根据公切线的求法求得正确答案.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
，所以两圆外切，
由、相减并化简得：
，即一条公切线方程为.
直线的方程为，
设与直线平行的公切线方程为，
则，解得或，
所以.
故答案为：（或或，答案不唯一）
.
15．如图，在正方体中，点在线段上运动，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为 .

【答案】/
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法以及二次函数的性质求得直线与直线所成角的余弦值的最大值.
【详解】设正方体的边长为，以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
，设，
定义，
即，所以，
设直线与直线所成角为，
则，
所以当时取得最大值为.
故答案为：

16．已知圆和点，点，为圆上的动点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】设点，记点，推导出，然后利用当点为线段与圆的交点时，取最小值，即可得解.
【详解】设点，则，记点，
，如下图所示：

所以，，
当且仅当点为线段与圆的交点时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知平面内点，，.
(1)求经过的中点且与平行的直线方程；
(2)求的外接圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得的中点，然后根据点斜式求得正确答案.
（2）设出圆的一般方程，利用的坐标求得正确答案.
【详解】（1）的中点为，，
所以经过的中点且与平行的直线方程为.
（2）设的外接圆的方程为，
则， ，
解得，
所以的外接圆的方程为.
18．已知圆，圆.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在直线的方程；
(3)求公共弦的长度.
【答案】(1)相交
(2)
(3)
【分析】（1）根据圆心距和半径的关系求得正确答案.
（2）利用两个圆的方程相减来求得公共弦所在直线方程.
（3）利用点到直线距离公式以及弦长公式求得正确答案.
【详解】（1）圆的圆心为，半径为.
圆的圆心为，半径为，
，
所以两圆相交.
（2）由、，
两式相减并化简得，
即公共弦所在直线方程为.
（3）到直线的距离为，
所以公共弦长为.
19．如图，在五边形中，四边形是矩形，，为正三角形，将沿着折起，使得点到达点的位置，且平面平面，点，分别为线段，的中点，点在线段上，且，若平面.求：
(1)的值；
(2)点到平面的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）假设为中点，取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行判定定理进行证明，进而求解出的值.
（2）首先利用面面垂直的性质定理，再以点为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量，利用点到面的距离公式进行求解即可.
【详解】（1）如图，假设点为的中点，取的中点为，连接，，
，分别为，的中点，
，，
四边形是矩形，点为的中点，
，，
，，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
平面.
故为中点结论成立，因此.
（2）由题可知，又点为的中点，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
以点为坐标原点，，的方向分别为轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，
由（1）可知，，得：，
，，设平面的法向量为，
，解得，故.
，设到平面的距离为，
则.
故点到平面的距离为.
20．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点在椭圆上，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.
（2）根据椭圆的定义、余弦定理、三角形的面积公式等知识求得正确答案.
【详解】（1）设在椭圆上，则，解得，
所以，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设，
根据椭圆的定义有，
由余弦定理得，
即，
所以.

21．如图所示，在三棱锥中，平面，，为上一点且，，，.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，得到，由三线合一得到，再由勾股定理逆定理得到⊥，故，从而得到，均为等腰直角三角形，从而得到⊥，证明出线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，从而求出面面角的余弦值.
【详解】（1）取的中点，
因为，所以，，
因为，所以，
因为，，所以，
由勾股定理逆定理得⊥，故，
故，
因为，所以，
则均为等腰直角三角形，故，，
⊥，

因为平面，平面，
所以，
因为，平面，
所以平面；
（2）因为平面，平面，
所以，
由（1）可知，⊥，故两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
由（1）可知，平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
故，

则平面与平面夹角的余弦值为
.
22．已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，斜率为的直线与椭圆交于、.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段的垂直平分线交轴于点，记的中点为坐标为且，求直线的方程，并写出的坐标.
【答案】(1)
(2)直线方程为，此时，或直线方程为，此时.
【分析】（1）根据题意得到和，结合求出，得到椭圆方程；
（2）设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出，根据得到方程，求出直线的方程，并写出的坐标.
【详解】（1）由题意得中，，
且，故，
又椭圆过，所以，
解得，故椭圆方程为；

（2）设直线的方程为，
联立与得，，
则，解得，
设，则，
则
，
则，，
故，故，
因为线段的垂直平分线交轴于点，
故，解得，
且，
因为，
所以，
平方后，将代入，化简得，
即，解得，
当得，此时满足，直线方程为，，
当得，此时满足，直线方程为，，

【点睛】直线与圆锥曲线相交，通常要求解弦长或面积，其中弦长公式为：或.