2023-2024学年江苏省扬州市江都区丁沟中学高二上学期12月月考复习数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市江都区丁沟中学高二上学期12月月考复习数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知平面α的一个法向量为，则AB所在直线l与平面α的位置关系为（ ）.
A．B．
C．D．l与α相交但不垂直
【答案】A
【分析】由向量与平面法向量的关系判断直线与平面的位置关系.
【详解】因为，所以，即，所以.
故选：A
2．过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设出该直线的方程，由点在该直线上，即可得出该直线方程.
【详解】设该直线方程为
由点在该直线上，则，即
即该直线方程为
故选：C
【点睛】本题主要考查了由两直线垂直求直线方程，属于中档题.
3．如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．异面直线、所成的角为
C．几何体的体积为D．平面与平面间的距离为
【答案】C
【分析】根据线线平行、异面直线所成角、几何体体积、面面距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由于四边形是矩形，所以，
由于，平面，所以平面，
由于平面平面，所以平面.
由于平面，所以，
由于，所以平面，由于平面，
所以，同理可证得，
所以,
所以四边形是平行四边形，所以，，A选项正确.
由于，所以异面直线、所成的角为（或其补角），
由于，所以三角形是等边三角形，所以，
即异面直线、所成的角为，B选项正确.
将几何体补形为正方体，如下图所示，
所以，C选项错误.
由上述分析可知，由于平面，平面，
所以平面.同理可证得平面，
由于，所以平面平面.
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
，平面与平面间的距离，即到平面的距离，
所以距离为，D选项正确.
故选：C
4．在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得圆的方程，再利用求得点M满足的圆的方程，进而利用两圆有公共点列出关于a的不等式，解之即可求得a的取值范围.
【详解】圆心C的横坐标为a，则圆心C的坐标为，
则圆的方程，
设，由，
可得，整理得，
则圆与圆有公共点，
则，
即，解之得.
故选：D
5．已知圆：和圆：有且仅有4条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意圆、相离，则，分别求圆心和半径代入计算．
【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径
根据题意可得，圆、相离，则，即
∴
故选：A．
6．椭圆：的左、右焦点分别为，，现已知与抛物线的焦点重合，椭圆与过点的幂函数的图象交于点，且幂函数在点处的切线过点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由抛物线得到，，结合幂函数所过点坐标，得到解析式，设点的坐标，求导得到过的切线，代入点，得到，得到，从而求出和离心率.
【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为，则，.
又因为幂函数过点，故，解得，故.
设点的坐标为，，
则过的切线为，且幂函数在点处的切线过点，
故，解得，故，
而在椭圆上，则，而，
可得，，则椭圆的离心率为.
故选：C.
7．设抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点．设线段的中点为，过点作轴的平行线交抛物线于点．已知的面积为2，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用抛物线的图象与性质、直线方程、一元二次方程根与系数的关系、三角形面积公式运算即可得解.
【详解】解：

如上图，由题意，抛物线的准线为，可得．
∵直线与抛物线交于，两点，∴直线的斜率存在且不为，
∴设直线方程为，
将其代入，化简并整理得：．
由，得．
设，，则，，
∴．
∵是的中点，∴．过点平行轴的直线为，
与抛物线交点为知，所以．
又∵，则，
∴的面积．
由已知条件知，∴，解得（满足），解得：.
∴直线的方程为，即，
∴直线的斜率为．
故选：A．
二、多选题
8．已知斜率为的直线过抛物线：()的焦点，且与抛物线交于，两点，抛物线的准线上一点，满足，则（ ）
A．B．
C．D．的面积为
【答案】ABD
【分析】对于A，由题意可得抛物线的准线为，从而可求得，进而可判断A；对于B，抛物线的方程为，其焦点为，则直线的方程为，设，，设的中点为，利用点差法可得，则，再结合可得在以为直径的圆上，从而可求出直线的斜率；对于C，利用弦长公式求解即可；对于D，利用点到直线的距离求出点到直线的距离，从而可求出的面积
【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，得，故选项A正确.
因为，所以抛物线的方程为，其焦点为.
因为直线过抛物线的焦点，所以直线的方程为.
因为，所以在以为直径的圆上.
设点，，联立方程组两式相减可得.
设的中点为，则.因为点在直线上，所以，
所以点是以为直径的圆的圆心.
由抛物线的定义知，圆的半径.，
因为，所以，
解得，故选项B正确.
因为，所以弦长，故选项C不正确.
因为，所以直线为，由点到直线的距离公式可得，
点到直线的距离，所以，故选项D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的性质，考查化归与转化的数学思想及运算求解能力，解题的关键是由题意求出抛物线的方程，然后利用抛物线的性质求解即可，属于中档题
9．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，若CF⊥平面B1DF.则AF的长度为（ ）
A．aB．C．2aD．
【答案】AC
【分析】可得．在矩形中，设．利用勾股定理联立解得，或．即可．
【详解】解：平面，．
在矩形中，设．
①
，②．
联立①②解得，或．
则的长度为或．
故选：AC．
【点睛】本题考查了空间线面垂直的性质及方程思想，属于中档题．
10．已知直线与圆，则下列结论正确的是（ ）
A．存在，使得的倾斜角为
B．存在，使得的倾斜角为
C．存在，使直线与圆相离
D．对任意的，直线与圆相交，且时相交弦最短
【答案】AD
【分析】由时，得到直线，可判定A正确；求得直线的斜率，结合得到方程，可判定B错误；化简直线，得到直线过点，结合点与圆的位置关系，可判定C错误；由时，得到，结合圆的弦的性质，可判定D正确.
【详解】对于A中，当时，直线，此时直线的倾斜角为，所以A正确；
对于B中，当时，可得直线的斜率为，
若直线的倾斜角为，可得，即，此时方程无解，所以B错误；
对于C中，由直线，可化为，
令，解得，即直线恒经过点，
又由圆的圆心坐标为，半径为，
因为，则，所以点在圆内部，
所以无论为何值，直线与圆总相交，所以C错误；
对于D中，当时，直线，此时直线的斜率为，
又由，此时，即，
根据圆的弦的性质，此时弦长最短，所以D正确.
故选：AD.
11．已知，圆，，则（ ）
A．当时，两圆相交B．两圆可能外离
C．两圆可能内含D．圆可能平分圆的周长
【答案】AB
【分析】首先得出两圆的圆心和半径，然后将圆心距与半径之和、之差作比较，即可判断ABC，若圆平分圆的周长，则两圆的公共弦所在直线过点，然后通过计算可判断D.
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
所以，，
当时，，所以两圆相交，故A正确；
因为，所以两圆可能外离，不能内含，故B正确C错误；
圆的一般方程为，
所以两圆的公共弦所在直线方程为，
若圆平分圆的周长，则直线过点，
所以，此方程无解，所以圆不能平分圆的周长，故D错误；
故选：AB
12．已知双曲线，则双曲线的（ ）
A．焦点坐标为B．离心率为
C．渐近线方程为和D．虚轴长为1
【答案】CD
【分析】将双曲线方程化为标准形式，再由双曲线的简单几何性质逐一判断即可.
【详解】，
所以，
A，焦点坐标为，故A错误；
B，离心率为，故B错误；
C，，整理可得渐近线方程为和，故C正确；
D，虚轴长1，故D正确.
故选：CD
三、填空题
13．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据空间向量坐标运算求得正确答案.
【详解】设为空间坐标原点，
由于四边形是平行四边形，
所以，
所以.
故答案为：
14．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 .
【答案】
【分析】直接由点斜式方程的定义求解即可.
【详解】由题意直线过点且斜率为，则其点斜式方程为.
故答案为：.
15．已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
【答案】
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.
【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.
故答案为：.
16．已知椭圆的焦点分别为，点A，B在椭圆上，于，，则椭圆的长轴长为 .
【答案】6
【分析】利用椭圆的性质，根据，可得，，求解，然后推出椭圆的长轴长．
【详解】
由题意椭圆的焦点分别为，点A，B在椭圆上，
且于，，
可得，
将代入，可得，
从而，又，所以解得.
所以所求椭圆的长轴长为6.
故答案为：6.
四、解答题
17．已知向量，，，且，．.
(1)求向量，，的坐标；
(2)求与所成角的余弦值.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）由空间向量平行与垂直坐标公式列出方程组，即可求解；
（2）利用空间向量的夹角坐标公式，即可得解.
【详解】（1）∵向量，，，且，，
易知，否则不成立，
∴，解得，，．
∴向量，，．
（2）∵，，
∴，
，
∴向量与所成角的余弦值为．
五、问答题
18．如图所示的几何体，其底面是直角梯形，，，，，底面.
（1）若，求直线与平面的夹角；
（2）若，求平面与平面所成二面角的余弦值与的关系，并求出余弦值的取值范围.
【答案】（1）；（2）平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为，余弦值的范围是.
【分析】(1)在直角梯形中，作，再根据给定条件建立空间直角坐标系，求出平面的法向量即可得解；
(2)在(1)所建的空间直角坐标系中，分别求出平面与平面的法向量，再求出法向量的夹角余弦表达式，借助表达式即可求出范围.
【详解】（1）在直角梯形中，作交BC于H，因，则，又底面，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因此，，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，即，令得，
于是得，
所以；
（2），，设平面的法向量为，则，即，令得，
，，设平面的法向量为，，即，令得，
，
因此，平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为，
因，
所以平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为，其范围是.
19．红谷隧道是江西南昌穿越赣江的一条过江行车通道，总长2997米，在南昌大桥和新八一大桥之间，也是国内最大的水下立交系统.已知隧道截面是一圆拱形（圆拱形是取某一圆周的一部分构成巷道拱部的形状），路面宽度米，高4米.车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.5米，高为3.5米的货车能否驶入这个隧道？请说明理由.
（参考数据：）
【答案】不能驶入
【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，利用对称关系求得圆的标准方程，根据题意求得在边界行驶时对应的高度，比较实际高度即可判断．
【详解】
如图，建立平面直角坐标系，设圆心，，，
由得，，则圆方程为，
所以当时，，
即一辆宽为2.5米，高为3.5米的货车不能驶入这个隧道．
【点睛】本题考查了圆的方程在实际问题中的应用，属于基础题．
20．已知圆心为C的圆经过点A(0，2)和B(1，1)，且圆心C在直线l：x＋y＋5＝0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若P(x，y)是圆C上的动点，求3x－4y的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)最大值为24，最小值为-26
【分析】（1）求出中垂线方程，由中垂线与已知直线方程联立解得圆心坐标，再计算出半径后可得圆的标准方程；
（2）设，利用直线与圆有公共点可求得的范围．
【详解】（1）的中点为 ，又
的中垂线方程为，即，
由解得，
圆心为，
∴圆的方程为
（2）令即，直线与圆有公共点，
∴圆心到直线的距离为，
解得．
所以3x－4y的最大值为24，最小值为-26．
【点睛】思路点睛：在考查直线与圆有公共点问题，用几何法判断直线与圆的位置关系即可.
六、解答题
21．已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程为和双曲线过点，联立求解；
（2）由题意设直线方程为，令，得到M的坐标，设，根据，用k表示点Q的坐标，再根据点Q在双曲线上，代入双曲线方程求解.
【详解】（1）解：因为双曲线C：的渐近线方程为，
所以，
又因为双曲线C：过点，
所以，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）由（1）知：，则，
由题意设直线方程为，令，得，则，
设，则，
因为，
所以，则，
解得，因为点Q在双曲线上，
所以，解得，
所以直线l的斜率为.
22．已知点分别为双曲线的左顶点和右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线第一象限部分交于点，的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，记，的面积分别为，（为坐标原点）．若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线方程即可写出之间的关系，再根据三角形面积公式解得，即可得到双曲线的方程；（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理和弦长公式即可写出的表达式，同理可得的面积表达式，再通过构造函数即可求得实数的取值范围．
【详解】（1）由题意可知，所以，，
由已知，可得，
则，
解得，
所以双曲线的方程为.
（2）设，
联立，整理可得
所以，解得，
由，可得，
，
原点到直线的距离，
所以
设，，易知渐近线方程为，
不妨设在渐近线上，
由得，同理，
所以，
到直线的距离，
所以
所以，
，则
令，则
故的取值范围是