2023-2024学年江西省九江市永修县第一中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省九江市永修县第一中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知过点的直线的方向向量，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先由直线的方向向量求出直线的斜率，从而利用点斜式即可求出直线方程.
【详解】由直线的方向向量可得该直线的斜率为，
又直线过点，所以直线方程为，即.
故选：A.
2．平面的一个法向量，则点的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量，验证选项即可.
【详解】设点在平面上，
因为，所以，
由，
得，依次验证选项，只有满足.
故选：D
3．若抛物线的准线经过椭圆的右焦点，则m的值为（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】A
【分析】找到椭圆的右焦点，利用的准线过焦点，即可求解.
【详解】解：椭圆的右焦点，抛物线的准线经过椭圆的右焦点，可得，解得．
故选：A．
4．疫情期间，某社区将5名医护人员安排到4个不同位置的核酸小屋做核酸检测工作，要求每个核酸小屋至少有一名医护人员，则共有多少种不同安排方法（ ）
A．480种B．362种C．120种D．240种
【答案】D
【分析】根据分组分配问题结合排列组合即可求解.
【详解】5名医护人员安排到4个不同位置，按人数分组方式有，
所以不同安排方法有种．
故选：D
5．在平行六面体中，分别是的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的线性运算逐一判断即可.
【详解】由空间向量加法运算可知，A正确；
，B正确；
，C错误；
，D正确.
故选：C

6．已知椭圆经过点，当变动时，截得直线的最大弦长为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意求出和，代入椭圆方程即可.
【详解】由题意可得，，所以，所以椭圆方程为.
故选：A
7．已知满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意由圆中几何意义求解表达式范围即可.
【详解】由题知，
设为圆上一动点，
设，
因为，所以在圆外，
则，其中表示圆上点P与点Q距离的平方，
因为，圆半径，
所以，即
所以.
故选：D
8．已知定点，是双曲线的右焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据双曲线第一定义将转化成，求得最值问题.
【详解】解：根据双曲线第一定义及是双曲线右支上的动点可得，
所以，
所以，
结合图形可得，
当且仅当三点共线时取得等号，即图形中点在处取得最小值，
所以，
所以的最小值为，
故选：C.
【点睛】与双曲线有关的取值范围问题的解题思路：
（1）若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解；
（2）若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
二、多选题
9．已知直线，直线，下列说法正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距等于直线在轴上的截距
B．若点在直线上，则点也在直线上
C．若，则
D．若，则
【答案】BD
【分析】根据直线的截距、直线与直线平行与垂直关系，逐项判断即可.
【详解】直线在轴上的截距为，直线在轴上的截距为2，不相等，故A错误；
若点在直线上，则，所以点在直线上，故B正确；
当时， 与重合，故C错误；
若，则，故D正确.
故选：BD
10．从1，2，3，4，6中任取若干数字组成新的数字，下列说法正确的有（ ）
A．若数字可以重复，则可组成的三位数的个数为125
B．若数字可以重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为375
C．若数字不能重复，则可组成的三位数的个数为70
D．若数字不能重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为72
【答案】ABD
【分析】AB选项利用分步乘法原理计算即可，CD选项利用排列组合和特殊优先的原则计算即可.
【详解】A选项：若数字可以重复，则可组成的三位数的个数为，故A正确；
B选项：若数字可以重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为，故B正确；
C选项：若数字不能重复，则可组成的三位数的个数为，故C错；
D选项：若数字不能重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为，故D正确.
故选：ABD.
11．已知三棱锥，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则在上的投影向量为
B．若是三棱锥的底面的重心，则
C．若，则四点共面
D．设，则构成空间的一个基底
【答案】AB
【分析】利用投影向量的定义根据空间向量数量积的坐标运算计算可得A正确，画出几何体由空间向量加减运算法则可求得B正确，显然不满足共面定理，可知C错误；不共面的非零空间向量才可以构成空间的一个基底，可知D错误.
【详解】对于A，易知在上的投影向量为,所以可知A正确；
对于B，取的中点为，连接，如下图所示：
由是三棱锥的底面的重心可得，
易知
所以，即可知B正确；
对于C，若，显然，
则四点不共面，所以C错误；
对于D，由可知，共面，
所以不能构成空间的一个基底，即D错误.
故选：AB
12．月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.某月光石的截面曲线可近似看成由半圆和半椭圆组成.圆的半径､椭圆的短半轴长都为1，椭圆的焦距为是曲线上不同的两点，为坐标原点，的面积为，则（ ）
A．线段的最大值为
B．若在半圆上，则的最大值为
C．当轴时，的最大值为
D．若在半椭圆上，当时，取得最大值
【答案】ABD
【分析】A.由在轴上时，线段的最大求解判断；B.设，由判断；C.由轴，设直线的方程为，由求解判断；D.直线斜率存在时，设直线：，并代入半椭圆方程，由，得到m，k的关系，然后由求解判断.
【详解】由题意得，圆的方程为： ，椭圆方程为，
当在轴上时，线段的最大值为，故正确；
设，则，当且仅当时，等号成立，故B正确；
当轴时，设直线的方程为，，则，
所以，当且仅当，即时，等号成立，故C错误；
当在半椭圆上，直线斜率存在时，设直线：，，
由，得，
由韦达定理得，
，
则，
点到直线的距离，
由，解得，
则，
，
，所以.
当直线的斜率不存在时，设：，
由，解得，
则，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．已知直线的倾斜角为，则 .
【答案】
【分析】根据题意，结合直线的斜率与倾斜角的关系，得到，即可求解.
【详解】由直线的倾斜角为，可得，所以.
故答案为：.
14．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则 .
【答案】1
【分析】根据离心率求出，进而得到.
【详解】由题意得，，解得，
故.
故答案为：1
15．若，则 .
【答案】1或2
【分析】由组合数的性质得或，解方程得解.
【详解】因为，
由组合数的性质得或，
所以或2.
故答案为：1或2
16．在长方体中，分别是棱上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的取值范围是 .
【答案】
【分析】直接建立空间直角坐标系或者应用等体积法做即可.
【详解】法一：以为原点，分别以直线为轴建立空间直角坐标系.
如图所示，

设，而，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则
所以平面的一个法向量为，
点到平面的距离
因为
设中的边上的高为，则 ，
所以（），
所以三棱锥的体积的取值范围是，
故答案为：
法二：设，延长到，使得，
则，，则，于是，

而长方体的对角面是矩形，则有，
又平面，平面，于是平面，
所以到平面的距离等于到平面的距离，
由等体积法可知，
又，
故，所以，
故答案为：
四、解答题
17．在中，已知.
(1)求外接圆的一般方程；
(2)求边上的高所在的直线与边上的中线所在直线的交点坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）的外接圆的一般方程为，将代入即可求解,
（2）分别求出边上的高所在的直线方程与边上的中线所在的直线方程，联立即可求解.
【详解】（1）设的外接圆的一般方程为，
将代入可得，
解得.
所以的外接圆的一般方程为.
（2）直线的斜率，边上的高所在直线的斜率，
所以边上的高所在直线的方程为.
又线段的中点，所以中线的斜率不存在，
所以边上的中线所在的直线方程为.
联立，解得，所以两直线的交点坐标为.
五、问答题
18．从5名男生和3名女生中选出3人，分别求符合下列条件的选法数.
(1)男同学甲、女同学乙必须被选出；
(2)至少有2名女生被选出；
(3)让选出的3人分别担任体育委员、文娱委员等3种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任.
【答案】(1)6
(2)16
(3)90
【分析】（1）先选出男同学甲、女同学乙，再从其它6个人中再选1人即可.
（2）先从8人中任选3人，再把没有女学生入选和只有1名女生入选的算出来，再用排除法，由此求得选法数.
（3）用分步计数原理，先选出一个男生担任体育班委，再选出1名女生担任文娱班委，再剩下的6人中任取1人担任其它班委，相乘即可.
【详解】（1）解：根据题意，先选出男同学甲，女同学乙，再从其它6个人中再选1人即可，共有种选法；
（2）解：从8人中任选3人，有种选法，没有女学生入选，即全选男生的情况有种情况，
只有1名女生入选，即选取1女4男，有种选法，故所有符合条件选法数为：--=16种；
（3）解：选出一个男生担任体育班委，有种情况，
再选出1名女生担任文娱班委，有种情况，
剩下的6人中任取1人担任其它班委，有种情况，
用分步计数原理可得到所有方法总数为：种.
六、解答题
19．如图，在正方体中，分别是的中点．

(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（2）根据平面法向量的性质，结合空间点到面距离公式进行求解即可.
【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，

，
所以直线与所成角的余弦值为；
（2）设平面的法向量为，
则得取，则，
得平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为．
20．已知过点的直线交于两点，，直线交直线于点，且.记点的轨迹为.

(1)求的方程；
(2)设与交于点，若，求.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据平行关系和半径相等得到，故，求出，由椭圆定义得到点的轨迹，求出轨迹方程；
（2）直线的斜率不存在时，不符合要求，故设直线的方程，由垂径定理和点到直线距离公式得到方程，求出，联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案.
【详解】（1），圆心为，由于，故半径为，
因为，所以，
又，
所以.
所以，故，解得，
故，由于，
故点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆且除去长轴的两个端点，
则，
点的轨迹的方程为：.
（2）当直线的斜率不存在时，此时四点共线，
故不满足平行关系，舍去；
设直线的方程为，点到直线的距离，
由垂径定理得，即，解得，

联立，可得，
设，则，
.
根据椭圆的对称性知当时，仍有.
所以.
七、证明题
21．如图，已知在矩形中，为边的中点，将沿直线折起到（平面）的位置，为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）已知，当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【分析】（1）延长与相交于点,连接，根据中位线证明，得到证明.
（2）证明，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，计算平面的一个法向量为，根据夹角公式计算得到答案.
【详解】（1）延长与相交于点,连接,
∵为边的中点，四边形为矩形，
∴,,∴为的中位线，∴为线段的中点，
∵为线段的中点，∴∵平面，平面,
∴平面.
（2）∵,为边的中点，∴,即,
取线段的中点,连接,,则由平面几何知识可得,,
又∵四边形为矩形，,为边的中点，
∴,,
∵平面平面，平面平面,,
∴平面，
∵平面，∴,
∴以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则,,,,,,,,
设平面的一个法向量为，则，即，
不妨取，则，，即，
设直线与平面所成角为，则
，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查了线面平行和线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
22．椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，点在上.已知面积的最大值为，且与的面积之比为.
(1)求的方程；
(2)不垂直于坐标轴的直线交于两点，与不重合，直线与的斜率之积为.证明：过定点.
【答案】(1)
(2)过定点.
【分析】（1）根据几何关系得到点为椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，结合与面积之比，得到方程组，求出，得到椭圆方程；
（2）方法一：设的方程，代入，得到两根之和，两根之积，根据斜率之积得到方程，求出或，检验后得到符合要求，并求出所过定点；
方法二：设直线的方程为，椭圆方程变形得到，联立得到，若是上的点，则斜率为，得到，故，求出，求出定点坐标.
【详解】（1）当点为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，
此时，
又，
故，解得，
曲线的方程为.
（2）方法一：设直线的方程为，代入得
，
设，
得，

则，
，
即，解得或.
当时，此时，直线过定点，
而与不重合，不合题意.
当时，此时，
此时直线过定点，满足要求.
方法二：由题意，直线不经过点，
设直线的方程为①.
由方程得.
②.
由①②得，
.
若是上的点，则斜率为，
，
的斜率，即，解得.
的方程为，即，故过定点.
【点睛】处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为），
（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，
①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.