微专题4　平面向量的基本运算和应用

这是一份微专题4　平面向量的基本运算和应用，共6页。试卷主要包含了基本技能练，创新拓展练等内容，欢迎下载使用。

1.(2023·哈尔滨模拟)设e1与e2是不共线的非零向量，若ke1＋e2与e1＋ke2共线且方向相反，则k的值是( )
A.－1 B.1
C.±1 D.任意不为零的实数
2.(2023·重庆质检)已知单位向量e1，e2的夹角为60°，且a＝e1＋e2，b＝xe1＋2e2.若a⊥b，则实数x的值为( )
A.2 B.－2
C.4 D.－4
3.(2023·福州模拟)已知|b|＝2|a|，若a与b的夹角为120°，则2a－b在b上的投影向量为( )
A.－3b B.－eq \f(3,2)b
C.－eq \f(1,2)b D.3b
4.(2023·烟台模拟)设P是△ABC所在平面内一点，且eq \(BP,\s\up6(→))＝3eq \(AP,\s\up6(→))，则eq \(PC,\s\up6(→))＝( )
A.eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(BA,\s\up6(→)) B.eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(3,2)eq \(BA,\s\up6(→))
C.eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(BC,\s\up6(→)) D.eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(3,2)eq \(BC,\s\up6(→))
5.如图，在△ABC中，eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，P为CD上一点，且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))(m∈R)，则m的值为( )
A.－eq \f(3,4) B.－eq \f(1,4)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(3,4)
6.(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))＝( )
A.eq \r(5) B.3
C.2eq \r(5) D.5
7.设向量a，b均为单位向量，且a⊥b，则(a＋2b)·(3a－5b)＝________.
8.(2023·合肥质检)若向量a，b为单位向量，且|a－2b|＝eq \r(7)，则向量a与向量b的夹角为________.
9.(2023·济南模拟)写出一个同时满足下列条件①②的向量a＝________.
①|a|＝1；
②向量a与b＝(1，－1)的夹角α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))).
10.(2023·青岛模拟)若△ABC是边长为 2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则eq \(MA,\s\up6(→))·(eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→)))的值为________.
11.已知向量a＝(cs x，sin x)，b＝(－eq \r(6)，eq \r(2))，x∈[0，π].
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
12.在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2eq \r(2)，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→)).
(1)若∠ABD＝eq \f(π,4)，求BC的长；
(2)若AC＝3，求cs∠BAD.
二、创新拓展练
13.点P是△ABC所在平面内一点，满足|eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→))|－|eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))－2eq \(PA,\s\up6(→))|＝0，则△ABC一定是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
14.(多选)已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的两点，且eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝－1
B.eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0
C.|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(3),2)
D.eq \(ED,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影向量的长度为eq \f(7,6)
15.(2023·衡水模拟)如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…，P10，记Mi＝eq \(AB,\s\up6(→))2·eq \(AP,\s\up6(→))i(i＝1，2，…，10)，则M1＋M2＋…＋M10＝________.
16.(2023·南京二模)大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(如图1).某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为正三角形，AD，BE，CF围成的△DEF也为正三角形.若D为BE的中点，①△DEF与△ABC的面积比为___________________________；
②设eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝___________________________________.
17.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且C＝eq \f(π,3)，a＋b＝λc(其中λ>1).
(1)若λ＝eq \r(3)，证明：△ABC为直角三角形；
(2)若eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(9,8)λ2，且c＝3，求λ的值.