2023-2024学年内蒙古呼和浩特市内蒙古师范大学附中高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年内蒙古呼和浩特市内蒙古师范大学附中高二上学期12月月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
2．已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据斜率的定义求解．
【详解】由题意，得，解得.
故选：A.
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据点在椭圆上得，且，再利用两点距离求得，从而可确定的最大值与最小值，即可求得的值，即可得离心率的值.
【详解】解：设椭圆的半焦距为，若椭圆上一点，则，且
又，
则
由于，所以
于是可得，，所以椭圆C的离心率.
故选：B.
4．设、，向量，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.
【详解】因为，则，解得，则，
因为，则，解得，即，
所以，，因此，.
故选：D.
5．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可.
【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，
，解得或（舍去），
故选：C.
7．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，Q为x轴上一定点，，且，则点Q的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题可设，按照阿波罗尼斯圆定义得轨迹方程，根据已知轨迹方程列式即可得得值，从而可得点Q的坐标.
【详解】解：设，，所以.
由，得.
因为，所以，整理得：.
因为动点M的轨迹方程是，所以解得，所以.
故选：C.
8．双曲线的左焦点为F（﹣3，0），M（0，4），点P为双曲线右支上的动点，且△MPF周长的最小值为14，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义，结合三角形的周长，利用三点共线时最小求出的值即可．
【详解】解：，，
，
周长的最小值为14，
的最小值为14，
即的最小值为，
设右焦点为，
则，
即，
则，
即，，三点共线时最小，
此时，
即最小值为，得，，
，
离心率，
故选：．
二、多选题
9．（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4D．准线方程为
【答案】AC
【分析】写出标准形式即，即可得到相关结论
【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为．
故选：AC
10．在中，，则的面积可以是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】AD
【分析】由余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可求出答案．
【详解】解：∵，
由余弦定理得，
∴，
∴，或，
∴由的面积公式得或，
故选：AD．
【点睛】本题主要考查三角形的面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，属于基础题．
11．已知圆，直线，则（ ）
A．圆C的圆心为B．点在l上
C．l与圆C相交D．l被圆C截得的最短弦长为4
【答案】BCD
【分析】一般方程化成标准方程可判断A；点代入直线方程可判断B；根据点在圆内判断C；根据与圆心连线与直线垂直时，l被圆C截得的弦最短判断D.
【详解】由，所以圆的圆心为，半径，A不正确；
因为时，所以点在l上，B正确；
因为圆心到的距离为，所以点在圆内，又点在l上，故l与圆C相交，C正确；
与圆心连线与直线垂直时，l被圆C截得的弦最短，最短弦长为，D正确.
故选：BCD.
12．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
【答案】AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.

三、填空题
13．已知直线：，与双曲线：的一条渐近线垂直，则 .
【答案】4
【分析】求得双曲线的渐近线方程，根据直线垂直列出等量关系，即可求得结果.
【详解】对双曲线：，其渐近线方程为，
对直线：，且斜率为，
根据题意可得，解得.
故答案为：.
14．长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 .
【答案】
【详解】长方体的体对角线长为球的直径，则 ， ，则球的表面积为.
15．已知抛物线的焦点为F，准线，点M在抛物线C上，点M在直线上的射影为A，且直线的斜率为，则的面积为 ．
【答案】
【分析】由抛物线的准线方程可求抛物线的方程，由直线的斜率为，可得直线的倾斜角，解三角形求的面积.
【详解】∵ 抛物线的准线方程为x=﹣，
∴ 抛物线的焦点为F（，0），抛物线C：y2=4
∵ 点M在抛物线C上，点A在准线l上，，且直线AF的斜率kAF=，
所以直线AF的倾斜角为，
设准线与x轴的交点为N，则,
∴ ，
又 ，∴ 为等边三角形，
∴
故答案为：.
16．已知椭圆C1：（0＜b＜2）的离心率为，F1和F2是C1的左右焦点，P是C1上的动点，点Q在线段F1P的延长线上，｜PQ｜＝｜PF2｜，点Q的轨迹为C2，线段F2Q的垂直平分线交C2于A，B两点，则｜AB｜的最小值是 ．
【答案】
【分析】先求椭圆方程，由椭圆定义和已知可得C2方程，然后数形结合，根据圆的弦长公式分析可得.
【详解】由题知，，解得，又
所以C1方程为
因为｜PQ｜＝｜PF2｜，所以
所以点Q的轨迹为圆：
记的中点为M，线段F2Q的垂直平分线交C2于A，B两点，过作垂直于点N，则
因为
所以当时，有最小值，即点为椭圆右顶点时取得最小值
此时直线AB方程为，，故
故答案为：
四、问答题
17．双曲线的离心率，且过点
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求与双曲线有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件建立关于a、b、c的方程组可解；
（2）巧设与已知双曲线同渐近线的双曲线方程为，代入点即可得解.
【详解】（1）因为离心率，所以，
又因为点在双曲线C上，所以，
联立上述方程，解得，，
所以双曲线的标准方程为.
（2）设所求双曲线的方程为，
因为所求双曲线经过点，则，即，
所以所求双曲线的方程为，其标准方程为.
五、证明题
18．如图，底面，四边形是正方形，.
(Ⅰ)证明：平面平面；
(Ⅱ)求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）直线与平面所成角的余弦值为.
【详解】分析：(1)先根据线面平行判定定理得平面，平面.，再根据面面平行判定定理得结论，(2)先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面的一个法向量，利用向量数量积求得向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系得结果.
详解： (Ⅰ)因为，平面，平面，
所以平面.
同理可得，平面.
又,
所以平面平面.
（Ⅱ）（向量法）以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
由已知得，点，,,.
所以，.
易证平面，
则平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，则．
则.
即直线与平面所成角的余弦值为.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
六、问答题
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求△ABC的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，利用三角恒等变换，即可求得答案；
（2）利用余弦定理结合条件求出边长a，c，再利用三角形面积公式求得答案.
【详解】（1）∵ ,
∴ ,
即2sinAcsB+sin（B+C）＝0，
即，

, ;
（2）由b＝，a+c＝4，
可得，
即12＝16﹣2ac+ac，则ac＝4，
又a+c＝4，
∴a＝c＝2，
则△ABC的面积．
20．已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据条件可得，然后可得答案；
（2）设，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理得到的值即可.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3
所以，所以
所以椭圆C的方程为
（2）设
由可得，所以
所以线段AB的中点坐标为
七、证明题
21．如图，在矩形中，，，E为线段中点，现将沿折起，使得点D到点P位置，且．
(1)求证：平面平面；
(2)已知点M是线段上的动点（不与点P，C重合），若使平面与平面的夹角为，试确定点M的位置．
【答案】(1)证明见解析;
(2)点M为线段的中点
【分析】（1）先证明平面，进而证得平面平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量表示平面与平面的夹角为，进而确定点M的位置.
【详解】（1）∵E为中点，，
，
又，四边形为矩形，
，
，
．
又，，AP，平面，
平面，
又平面，
平面平面．
（2）过点E作平面，以E为坐标原点，以，，所在直线
分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，．
，，，
设，，
则，
设是平面的一个法向量，则
即，
取，则，
．
又为平面的一个法向量，
，
∵平面与平面的夹角为，
，解得，
点M为线段的中点．
八、问答题
22．已知离心率为的椭圆 经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若不过点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据，可设，，求出，得到椭圆的方程，代入点的坐标，求出，即可得出结果.
（2）设出点，的坐标，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出弦长，由点到直线的距离公式，三角形的面积公式及基本不等式可得结论.
【详解】（1）因为，
所以设，，
则，
椭圆的方程为.
代入点的坐标得，，
所以椭圆的方程为.
（2）设点，的坐标分别为，，
由，
得，
即，
，，
，
.
，
点到直线的距离，
的面积
，
当且仅当，
即时等号成立.
所以当时，
面积的最大值为.
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程和性质，直线与椭圆相交问题.属于中档题.