2023-2024学年山东省泰安第一中学高二上学期12月月考试题数学含答案

这是一份2023-2024学年山东省泰安第一中学高二上学期12月月考试题数学含答案，共34页。试卷主要包含了12， 数列的一个通项公式为， 已知圆， 阅读材料， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

2023.12
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 数列的一个通项公式为
A B.
C. D.
2. 已知圆：，圆：，则与的位置关系是（ ）
A. 外切B. 内切C. 外离D. 相交
3. 在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知在一个二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，，则这个二面角的度数为（ ）
A B. C. D.
7. 如图，椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆的顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是
A. B.
C. D.
8. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分．部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若空间中的，，，满足，则，，三点共线
B. 空间中三个向量，，，若，则，，共面
C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
D. 设是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底
10. 在正方体中，下列结论正确的是（ ）．
A. B. 平面
C. 直线与所成的角为D. 二面角的大小为
11. 已知P是双曲线C：上任意一点，，是双曲线的两个顶点，设直线，的斜率分别为，，若恒成立，且实数的最大值为1，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线的方程为
B. 双曲线的离心率为
C. 函数的图象恒过双曲线C的一个焦点
D. 设，分别是双曲线的左、右焦点，若的面积为，则
12. 已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过点的直线交于、两点，直线、分别交于、，则（ ）
A. 的准线方程为B.
C. 的最小值为D. 的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则__________.
14. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是______.
15. 已知双曲线C渐近线方程为，两顶点间的距离为6，则该双曲线C的方程是__________．
16. 已知菱形边长为2，，沿对角线将折起到的位置，当时，二面角的大小为________，此时三棱锥的外接球的半径为_____
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知直线经过
（1）当直线的倾斜角为45°时，求直线的方程；
（2）当直线在两坐标轴上的截距相等时，求直线的方程.
18. 已知圆：和圆：.
（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为4，求的方程：
（2）求圆与圆公共弦的长.
19. 如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，且，M，N分别PC，AB为的中点．
（1）证明：平面PAD；
（2）求平面MNB与平面NBC的夹角．
20. 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点的距离减去它到y轴距离的差都是1．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，，求直线l的方程．
21. 边长为4的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，四边形是半圆弧的内接梯形，且.

（1）证明：平面平面；
（2）设，且二面角与二面角的大小都是，当点在棱（包含端点）上运动时，求直线和平面所成角的正弦值的取值范围.
22. 已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求曲线的方程；
（2）设直线与曲线交于两点，点为中点，与曲线的另一个交点为，设，试求出的值.
泰安一中新校区2023～2024学年第一学期高二年级
12月份学情诊断数学试题
2023.12
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 数列的一个通项公式为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别观察各项的符号、绝对值即可得出．
【详解】数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式．
故选C．
【点睛】本题考查了球数列的通项公式的方法，属于基础题．
2. 已知圆：，圆：，则与的位置关系是（ ）
A. 外切B. 内切C. 外离D. 相交
【答案】D
【解析】
【分析】根据方程确定出圆心和半径，然后根据圆心距和半径的关系进行判断.
【详解】因为的圆心为，半径，的圆心为，半径，
所以，
所以，
所以与两圆相交，
故选：D.
3. 在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题可求在方向上的投影数量，进而点到直线的距离为，即求.
【详解】∵，，，
∴，
∴，
∴在方向上的投影数量为，
∴点到直线的距离为.
故选：C.
4. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线方程得到恒过定点，利用坐标得到，，然后结合图象可得的取值范围.
【详解】
直线恒过定点，且，，由图可知，或.
故选：C.
5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量线性运算，以为基底表示出，从而确定的取值.
【详解】，，
，
，，，.
故选：A.
6. 已知在一个二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，，则这个二面角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设这个二面角的度数为，由题意得，从而得到，由此能求出结果.
【详解】解：设这个二面角的度数为，
由题意得，
，
，
解得，
∴，
∴这个二面角的度数为，
故选：C.
【点睛】本题考查利用向量的几何运算以及数量积研究面面角，属于中档题.
7. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆的顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过作直线的垂线，题意说明射线在直线上方，由此可得的不等关系（利用直线与轴交点得出不等式），从而可得离心率的范围．
【详解】设直线l为过且与垂直的直线，易知则直线l的斜率为，
而，则该直线l的方程为，所以该直线与x轴的交点坐标为，要使得为钝角，则说明直线在直线l上方，故满足，结合，得到得，结合解得.
故选：C.
【点睛】本题考查求椭圆离心率的范围，解题关键是利用过与直线垂直的直线与射线关系得出不等式．
8. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求平面的法向量与直线l的方向向量，利用空间向量求线面夹角.
【详解】因为平面的方程为，
所以平面的法向量可取，
同理平面的法向量可取，
平面的法向量可取，
设直线的方向向量，
则，令，则，
则直线l与平面所成角的正弦值为
.
故选：A
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分．部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若空间中的，，，满足，则，，三点共线
B. 空间中三个向量，，，若，则，，共面
C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
D. 设是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据向量的线性运算可判断A，根据向量的共面定理可判断B、C、D．
【详解】对于A，根据向量的线性运算，若空间中的，，，满足，则，即，则，，三点共线，故A正确；
对于B，因为，则共线，则根据共面向量的定义可得，，，共面，故B正确；
对于C，对空间任意一点和不共线的三点，，，若，又，则，，，四点共面，故C正确；
对于D，若，，共面，则，则共面，与是空间的一组基底矛盾，所以，，不共面，所以能为空间的一组基底，故D错误，
故选：ABC．
10. 在正方体中，下列结论正确的是（ ）．
A. B. 平面
C. 直线与所成的角为D. 二面角的大小为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A.通过确定四边形是矩形，不是正方形来判断；B.通过来判断；C.通过为直线与所成的角来判断；D.通过为二面角的平面角来判断.
【详解】对于A：明显四边形是矩形，但不是正方形，故其对角线不垂直，即错误，A错误；
对于B：明显，且平面，平面，故平面，B正确；
对于C：因为，则即为直线与所成的角，
又为等边三角形，所以，即直线与所成的角为，C正确；
对于D：因为面，则为二面角的平面角，又，所以二面角的大小为，D正确；
故选：BCD.
11. 已知P是双曲线C：上任意一点，，是双曲线的两个顶点，设直线，的斜率分别为，，若恒成立，且实数的最大值为1，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线的方程为
B. 双曲线的离心率为
C. 函数的图象恒过双曲线C的一个焦点
D. 设，分别是双曲线左、右焦点，若的面积为，则
【答案】AC
【解析】
【分析】
可设代入双曲线的方程，结合不等式恒成立的思想，以及基本不等式求得，进而得到双曲线的方程和离心率，以及焦点，即可判断选项、、的正误，再由焦点三角形的面积公式和双曲线的对称性，即可判断的正误.
【详解】由题意知，设，则，即
可得，，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
实数的最大值为1，所以，解得，
可得双曲线的方程为，则，所以离心率，故正确，错误，
双曲线的焦点为，
函数图象恒过双曲线的焦点，故正确，
由的面积为和双曲线的对称性可知，在双曲线的左支或右支上，
所以错误，由排除法判断错误，
故选：
【点睛】本题主要考查双曲线的方程和性质，考查不等式恒成立问题的解法和函数图像的特点，以及直线和双曲线的关系，属于中档题.
12. 已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过点的直线交于、两点，直线、分别交于、，则（ ）
A. 的准线方程为B.
C. 最小值为D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用抛物线的方程求出准线方程，可判断A选项；设出直线的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理结合平面向量数量积的坐标运算可判断B选项；利用抛物线的焦半径以及基本不等式可判断C选项；利用韦达定理结合基本不等式可判断D选项.
【详解】对于A选项，对于抛物线，，可得，
所以，抛物线的准线方程为，A对；
对于B选项，若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立，可得，，
所以，，，
则，则，B对；
对于C选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，C错；
对于D选项，设点、，
设直线的方程为，联立可得，
判别式为，由韦达定理可得，，同理可得，
，同理可得，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为，D对.
故选：ABD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量数量积的运算法则计算即得.
【详解】单位向量两两夹角均为，则，
所以
.
故答案为：
14. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
曲线表示圆心为，半径为半圆，画出图象，结合点到直线的距离公式，得出的取值范围.
【详解】由，解得
根据二次函数的性质得出，即
曲线可化为，
所以该曲线表示圆心为，半径为的半圆
因为直线与曲线有公共点，所以它位于之间，如下图所示
当直线运动到时，过，代入得：
当直线运动到时，此时与曲线相切
则，解得或（舍）
要使得直线与曲线有公共点，则
故答案为：
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.
15. 已知双曲线C渐近线方程为，两顶点间的距离为6，则该双曲线C的方程是__________．
【答案】或
【解析】
【分析】分焦点位置讨论，设出双曲线方程，然后根据条件列式求解即可.
【详解】当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线C的方程为，
则，解得，
双曲线C的方程为；
当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线C的方程为，
则，解得，
双曲线C的方程为；
综上：该双曲线C的方程是或.
故答案为：或
16. 已知菱形边长为2，，沿对角线将折起到的位置，当时，二面角的大小为________，此时三棱锥的外接球的半径为_____
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】作出辅助线，求出为二面角的平面角，由余弦定理求出，再作出辅助线，找到球心位置，利用半径相等列出方程，求出球的半径.
【详解】因为菱形边长为2，，
所以为等边三角形，
取的中点，连接，
则⊥，⊥，且，
故为二面角的平面角，
因为，由余弦定理得，
故，
取的中心，故，
设三棱锥的球心为，则⊥平面，
过点作⊥平面，则点在的延长线上，且，
故，则，
设三棱锥外接球半径为，
过点作⊥于点，连接，则，
，设，
则，
故，解得，
故，
故答案为：，
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知直线经过
（1）当直线的倾斜角为45°时，求直线的方程；
（2）当直线在两坐标轴上的截距相等时，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由直线的倾斜角为45°时，求得斜率为，结合点斜式方程，即可求解；
（2）当直线过原点时，得到；当直线不过原点时，设方程为，代入点，求得，即可求解.
【小问1详解】
由题意，直线的倾斜角为45°时，可得直线的斜率为，
又由直线经过，所以直线的方程为，即直线的方程为.
【小问2详解】
当直线过原点时，因为直线经过，可得直线方程为，即；
当直线不过原点时，可设直线的方程为，
因为直线过点，可得，解得，所以直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
18. 已知圆：和圆：.
（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为4，求的方程：
（2）求圆与圆的公共弦的长.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得圆的标准方程，由此求得，再分类讨论直线斜率存在的情况，利用点线距离公式即可求得直线的方程；
（2）先由圆心距判断得两圆相交，再由圆的一般方程相减得到公共弦方程，由此利用弦长公式即可求得公共弦长.
【小问1详解】
由得，故圆的圆心为，半径为，
设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故，
若直线斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为，符合题意；
若直线斜率存在，设直线方程为，即，
故，解得，则直线方程为，
所以直线得方程为或.
【小问2详解】
因为圆：，所以圆的圆心为，，
所以，，
故，即圆与圆相交，
联立，两式相减得公共弦方程为，
所以圆心到公共弦的距离为，
又因为，所以公共弦长为.
19. 如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，且，M，N分别PC，AB为的中点．
（1）证明：平面PAD；
（2）求平面MNB与平面NBC的夹角．
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）取PD的中点E，连接ME，EA，利用三角形中位线定理证明四边形MEAN是平行四边形，然后由线面平行判定定理可证；
（2）以A为原点，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用平面法向量求解即可.
【小问1详解】
取PD的中点E，连接ME，EA，如图（1）所示：
因为M，E分别是PC，PD的中点，
在中，，且，
因为底面ABCD是正方形，N为AB中点，
所以，，
所以且，
故四边形MEAN是平行四边形，所以，
又因为平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD.
【小问2详解】
因为底面ABCD是正方形，底面ABCD，所以AB，AD，AP两两垂直，
以A为原点，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图（2）所示：
由条件可知，，，，.
设平面MNB与平面NBC的夹角为，平面MNB的法向量为，
则，取，得平面MNB的一个法向量为，
易知，平面NBC的一个法向量为，
所以，
又，所以，
即平面MNB与平面NBC的夹角为．
20. 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点的距离减去它到y轴距离的差都是1．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，，求直线l的方程．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】(1)根据条件有化简得答案.
(2)有抛物线过交点的弦长公式有，然后设出直线方程与抛物线方程联立求出代入，可计算出，得到直线方程.
【详解】(1)设点是曲线C上任意一点，
那么点满足：．
化简得曲线C的方程为．
(2)由题意得，直线的方程为，
设，．
由得．
因为，故，
所以．
由题设知，解得或．
因此直线的方程为或．
【点睛】本题主要考查曲线与方程、直线与抛物线的位置关系，属于中档题.
21. 边长为4的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，四边形是半圆弧的内接梯形，且.

（1）证明：平面平面；
（2）设，且二面角与二面角的大小都是，当点在棱（包含端点）上运动时，求直线和平面所成角的正弦值的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明面得平面平面；
（2）根据条件求得，，建立空间直角坐标系，设，求得平面的法向量，直线和平面所成角的正弦值为，利用函数求范围即可.
【小问1详解】
在正方形中，
∵面面面，面面，
∴面，
∵面,∴，
∵在以为直径的半圆上，∴，
又∵面，面，
又面，
∴面面，
【小问2详解】
∵，∴
又∵为二面角的平面角，
∴，同理.
在梯形中，.
取的中点，以为轴正半轴，以平行于的方向为轴正半轴，以平面内垂直于的方向为轴正半轴，建立如图空间直角坐标系：

则，设，，
则，
设平面的法向量为
则，
令，则，
设直线和平面所成角为，
则，
设，
则，
令，
当时，，
当时，，
令，任意，
，
因为，所以，，，
所以，所以在上为减函数，
故，所以，
所以，
所以，
所以直线和平面所成角的正弦值的取值范围.
22. 已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求曲线的方程；
（2）设直线与曲线交于两点，点为中点，与曲线的另一个交点为，设，试求出的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由椭圆的离心率及经过的点列方程即可得解；
（2）设，由韦达定理得、，再由平面向量数乘运算可得，代入椭圆方程运算即可得解.
【详解】（1）由题意得，解得，的方程为；
（2）设，
将代入得，
所以，
所以，
由点为中点得，
由得，
所以，
因为在椭圆上，所以，
所以，
即，
又因为，
所以，化简得，解得（负值舍去）.