2023-2024学年上海市第二中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市第二中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．若，则 .
【答案】10
【分析】由组合数的性质即可求得.
【详解】由组合数的性质，
则由得，即.
故答案为：10
2．用组合成没有重复数字的三位数，从中随机地取一个，取得的数为偶数的概率是 .
【答案】/0.4
【分析】应用排列数求出所有三位数个数及其中偶数的个数，由古典概型的概率求法求概率.
【详解】任取三个数字组成三位数有种，
其中三位数为偶数有种，
所以取到的数为偶数的概率为.
故答案为：.
3．记一个正方体的表面积为，正方体的内切球的表面积为，则 .
【答案】
【分析】先求出正方体的内切球半径，再求面积比即可.
【详解】设正方体的棱长为，则，
正方体的内切球的半径为，则，
.
故答案为：.
4．展开式中的常数项为 ．
【答案】84
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为0，求出的值，从而可得展开式中的常数项
【详解】解：二项式展开式的通项公式为，
令，得，
所以展开式中的常数项为
故答案为：84
【点睛】此题考查二项式定理的应用，属于基础题
5．6名同学排队站成一排，要求甲乙两人不相邻，共有 种不同的排法.
【答案】
【分析】先安排除甲乙之外的四个人，再在5个空位上插空安排甲乙二人可得答案.
【详解】插空法，.
故答案为：480.
6．有8本不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其它书3本，若将这些书排列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有 种(用数字作答).
【答案】1440
【分析】将3本数学书，2本外文书看成2个大元素，全排列，再在3本数学书和2本外文书内部进行排列，得到答案.
【详解】3本数学书，2本外文书看成2个大元素，其它书3本，共5个大元素，共有种，
3本数学书内部进行排列：共有种，2本外文书内部进行排列：共有种，
则共有.
故答案为：.
【点睛】本题考查了排列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
7．从的展开式各项的系数中任取两个，其和为奇数的概率是 .
【答案】
【分析】首先写出二项式的展开式，即可得到各项系数有4个奇数、2个偶数，再根据古典概型的概率公式计算可得；
【详解】解：展开式的通项为，所以
，即的展开式各项的系数中，有4个奇数、2个偶数，现从中任取两个一共有种取法，其和为奇数的有种结果；
故其和为奇数的概率
故答案为：
8．已知随机变量的分布为，且，则 .
【答案】/
【分析】先求出，再根据线性关系公式求出
【详解】由题意得，
故.
故答案为：
9．6个人站一排，在甲不在排头的条件下，乙不在排尾的概率为 .
【答案】/0.84
【分析】先求出甲不在排头的情况，再求出甲不在排头，乙不在排尾的情况，求出概率.
【详解】设6个人站一排，甲不在排头为事件A，乙不在排尾为事件B，
甲不在排头，故可从剩余5个位置安排一个位置给甲，有种情况
再将剩余的5个人进行全排列，有种情况
故，
6个人站一排，共有种情况，
甲在排头的情况有种情况，乙在排尾的情况有种情况，
甲在排尾且乙在排头时，共种情况，
故种情况，
故在甲不在排头的条件下，乙不在排尾的概率为.
故答案为：
10．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm.
【答案】4
【详解】设球半径为r，则由,
可得，
解得．
【思路点睛】本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，解答时，首先设出球的半径，然后再利用三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．
11．从这99个自然数中，每次任取5个不同的数，若5个数能组成等差数列，则这样的等差数列共有 个.
【答案】2352
【分析】讨论公差判断对应等差数列的个数，进而确定等差数列总个数.
【详解】当公差为1时，，共95个，
当公差为2时，，共91个，
当公差为3时，，共87个，
，
当公差为24时，，共3个，
综上，不同公差对应数列个数所成数列为等差数列，则共有，
因为数列还可以从大到小，所以共2352个.
故答案为：2352
12．化简： .
【答案】
【分析】由组合数公式可得，根据题意结合组合数的性质分析求解.
【详解】因为，
所以
.
故答案为：.
二、单选题
13．已知一个二胎家庭中有一个男孩，则这个家庭中有女孩的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据列举法及古典概型的计算公式求得和，然后再由条件概率的定义即可求解.
【详解】一个家庭中有两个小孩只有四种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，
记事件为“其中一个是男孩”，事件为“其中一个是女孩”，
则事件包含(男，女)，(女，男)，(男，男)，三种情况，
事件包含(男，女)，(女，男)，(女，女)，三种情况，
事件包含(男，女)，(女，男)，两种情况，
于是可知，,
则.
故选C.
14．下列各式中不能判断事件与事件独立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由条件概率公式及事件相互独立意义可判断各选项.
【详解】选项A：因为,所以，由事件相互独立意义可知，事件与事件独立；故A正确；
选项B：因为,
又，所以，
由选项A可知，事件与事件独立；故B正确；
选项C：因为,即
所以,即事件与事件独立，所以事件与事件独立，故C正确；
故选：D.
15．已知各顶点都在一个球面上的正三棱柱的高为2，这个球的体积为，则这个正三棱柱的体积为（ ）
A．B．C．6D．4
【答案】B
【分析】先根据外接球体积得到外接球半径，进而得到底面正三角形的外接圆半径为，利用柱体体积公式求出答案.
【详解】设球的半径为，则，
又正三棱柱的高为，
设底面正三角形的外接圆半径为，
，故，解得，
由正弦定理得底面等边三角形的边长为，
则这个正三棱柱的体积为.
故选：B.
16．已知随机变量的分布为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据分布列的期望公式求出，再根据公式求得结果.
【详解】由题意知，
，
故选：D.
三、解答题
17．抛掷一颗均匀的骰子，设事件表示“点数为奇数”，事件表示“点数不超过2”.
(1)用列举法写出一个等可能得样本空间，并求；
(2)再抛掷一次骰子，设事件表示“两次点数的差的绝对值不小于4”，用描述法写出一个等可能的样本空间，并求.
【答案】(1)，
(2)样本空间见解析，
【分析】（1）用列举法写出掷一颗均匀的骰子出现的点数得到一个等可能得样本空间；列出事件A、B包含的结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；
（2）用列举法写出基本事件总数得到一个等可能得样本空间，列出两次点数的差的绝对值不小于4包含的结果，再根据古典概型的概率公式计算可得答案.
【详解】（1）由题意掷一颗均匀的骰子，出现的点数有6种结果，，
事件A包含的结果有1点，3点，5点，事件B包含的结果有1点，2点，
则；
（2）两次抛掷的点数记为，则基本事件有种，
，
事件C：两次点数的差的绝对值不小于4包含的结果有共6种，
故.
18．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为.
(1)求该半球的体积；
(2)若从半球中把正四棱锥挖去，求所得几何体的表面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据球的半径与正四棱锥棱长关系，求出球的半径，进而求出半球的体积.
（2）根据几何体的特征，求出半球的表面积，求出棱锥的侧面积和底面积，即可求得几何体的表面积.
【详解】（1）连接交点为，设球的半径为，
由题意可知，则，
四棱锥的体积为，解得，
则该半球的体积为；
（2）由题意知，
所得几何体的表面积为
.
19．某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，又知这四条流水线的产品不合格率依次为和.
(1)每条流水线都提供了两件产品放进展厅，一名客户来到展厅后随手拿起了两件产品，求这两件产品来自同一流水线的概率；
(2)从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算得解；
（2）设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”，表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，结合条件概率和全概率公式，即可求解.
【详解】（1）这两件产品来自同一流水线的概率为.
（2）设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”，表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，，
由题，，，，，
且，，，，
从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是：
.
20．若.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令代入等式求出结果；
（2）令代入等式，再结合第一问等式组成方程组求出结果；
（3）先变形，再求含项的系数即可.
【详解】（1）令，则，①
（2）令，则，②
令，则，
，
；
（3），
即为含项的系数，为，
则.
21．一个不透明的箱子里放着大小质地均相同的10个红球和90个白球.
(1)甲从箱子中随机拿走了一部分球，箱子中还剩几个球的可能性最大？
(2)设随机变量表示甲从箱子中拿走的球的个数，求的值；
(3)甲从箱子中随机拿走了20个球，其中有几个红球的可能性最大？
【答案】(1)50
(2)50
(3)2个
【分析】（1）设拿走个球的概率最大，列出概率表达式根据二项式系数性质求解；
（2）根据题意列出的分布列，求出的表达式，结合组合数性质化简得解；
（3）设有个红球的可能性最大，，则，化简运算得解.
【详解】（1）设拿走个球，则剩余个球的概率最大，
则最大，即当最大时，求得时，可能性最大；
（2）由题意可得分布列为
，
令，
则，①
又，②
由组合的对称性知
则①+②得，
，
；
（3）设有个红球的可能性最大，即，，
则，
，
，
，
，
又，，
则有2个红球的可能性最大.
【点睛】关键点睛：第二问，求出，令，结合组合数性质，利用倒序相加化简求解；第三问，设有个红球的可能性最大，即，，列式运用组合数公式化简运算.
0
1
2
3
100