2023-2024学年上海市朱家角中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市朱家角中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．过点的直线的倾斜角为 .（用反三角表示）
【答案】.
【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角.
【详解】由点，可得，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以.
故答案为：.
2．已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】根据双曲线标准方程的特点求解.
【详解】 是焦点在x轴的双曲线，
，即 ；
故答案为： .
3．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标写出即可．
【详解】在空间直角坐标系中，
点关于平面的对称点的坐标为.
故答案为：.
4．点到直线的距离是 ．
【答案】/2.4
【分析】利用点到直线的距离公式可得答案.
【详解】由题意点到直线的距离是.
故答案为：
5．若直线：.与直线：互相垂直，则实数的值为 .
【答案】/
【分析】利用两直线垂直的充要条件，列出关于的方程，即可求得答案．
【详解】直线与直线垂直，
，
解得．
故答案为：．
6．若双曲线的一条渐近线为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【分析】由已知可得双曲线的右焦点为，根据条件可得，进而即得.
【详解】抛物线的焦点为，
双曲线的右焦点为，可设双曲线方程为，
又双曲线的一条渐近线方程为，
，
所以，
双曲线的方程是.
故答案为：.
7．若平面的法向量，直线的方向向量为，则与所成角的大小为 .
【答案】/
【分析】设直线与平面所成角为，则，直接利用直线与平面所成的角的向量计算公式，即可求出直线与平面所成的角．
【详解】解：已知直线的方向向量为，平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，则，
，，
所以直线与平面所成角为.
故答案为：.
8．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB为2m，渠深OC为1.5m，水面EF距AB为0.5m，则截面图中水面宽EF的长度约为 m．（精确到0.01）
【答案】
【分析】以为原点，所在直线为轴，建立平面直角直角坐标系，利用点的坐标求出抛物线方程，再根据抛物线方程可求出结果.
【详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角直角坐标系．
设抛物线的标准方程为，
由题意可得，代入得，得，
故抛物线的标准方程为，
设，则，
则，，
所以截面图中水面宽的长度约为.

故答案为：.
9．已知抛物的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则P到准线l的距离为 .
【答案】5
【分析】结合图形，利用相似关系，以及抛物线的几何性质，即可求解.
【详解】由抛物线，可知，即为坐标原点），
过点作轴的垂线，垂足为，由三角形相似可知
所以，所以点到准线的距离为5.

故答案为：5
10．长方体的底面是边长为1的正方形，若在侧棱上至少存在一点，使得，则侧棱的长的最小值为 .
【答案】2
【分析】根据，利用勾股定理建立方程，则方程有解即可求解.
【详解】设
又因为，所以
即化简得，
即关于的方程有解，
当时，不符合题意，
当时，所以，
当且仅当，即时取得等号，
所以侧棱的长的最小值为2，
故答案为:2.
11．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到直线的距离之和的最小值是 .
【答案】4
【分析】根据抛物线方程求得焦点F坐标和准线方程，由圆的方程求得圆心坐标，半径，然后根据抛物线的定义，将问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点F距离之和的最小值，从而即可求解．
【详解】解：抛物线的焦点为，准线方程为，圆的圆心为，半径为1，
根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离， 从而可得：当P，Q，F三点共线时，点P到点Q的距离与点P到直线距离之和的最小为 ，
故答案：4.
12．已知、是圆上的两个不同的动点，且，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】由已知，根据题意，写出圆的参数方程，然后将A、B两点坐标表示成参数方程形式，并根据的关系，找到两个点参数形式的角度关系，然后带入求解的式子，利用三角函数化简即可求解最大值.
【详解】由已知，圆的参数方程为：（为参数），
因为、是圆上的两个不同的动点，
可令（），（），且，
所以、，
由可得：，
又因为，所以，
所以
所以，当时，取得最大值.
故答案为：.
二、单选题
13．类比平面内“垂直于同条一直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】B
【分析】垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、或异面，判断①；由直线与平面平行的性质判断②；由平面平行的判定定理判断③；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，判断④．
【详解】垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、或异面，①错误；
垂直于同一个平面的两条直线互相平行，由直线与平面平行的性质知②正确；
垂直于同一条直线的两个平面互相平行，由平面平行的判定定理知③正确；
垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，④错误；
故选：B
【点睛】本题考查命题的真假判断，考查空间点线面的位置关系，属于基础题．
14．直线绕原点按顺时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是（ ）
A．直线过圆心B．直线与圆相交，但不过圆心
C．直线与圆相切D．直线与圆无公共点
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出直线l的方程，再根据圆心与直线l的关系判断作答.
【详解】直线过原点，斜率为，倾斜角为，
依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，因此直线l的方程为：，
而圆的圆心为，半径为，于是得圆心在直线l上，
所以直线l与圆相交，过圆心.
故选：A
15．已知四条双曲线，，，，，关于下列三个结论的正确选项为（ ）
①的开口最为开阔；
②的开口比的更为开阔；
③和的开口的开阔程度相同.
A．只有一个正确B．只有两个正确C．均正确D．均不正确
【答案】D
【分析】分别计算出四条双曲线的离心率，根据离心率越大开口更开阔进行比较.
【详解】依题意，依次计算出各自的离心率可得：
，比较大小知：
可知：三个结论均为错误；
故选：D
16．“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？” 其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）平方尺.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将四棱锥的外接球转化为长方体的外接球，然后求外接球表面积即可.
【详解】
如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同，所以外接球的半径为，外接球的表面积.
故选：C.
三、解答题
17．已知．
(1)求与夹角的大小；
(2)若，求实数k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量的夹角公式可得答案；
（2）利用向量平行的坐标表示可得答案.
【详解】（1）因为，
所以，所以与夹角的大小为.
（2）因为，所以，；
因为，所以，解得.
18．如图所示圆锥中，CD为底面的直径，A，B分别为母线PD与PC的中点，点E是底面圆周上一点，若，，圆锥的高为.

(1)求圆锥的侧面积S；
(2)求异面直线AE与PC所成角的大小
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求出圆锥的底面半径和母线长，然后根据圆锥的侧面积公式求解即可；
（2）连接，可得为异面直线与所成的角或其补角，在中，利用余弦定理求解即可.
【详解】（1）设圆锥底面半径为，母线长为，因为为直径，是的中位线，
所以，，所以侧面积.
（2）连接，由分别为的中点，得，
所以为异面直线与所成的角或其补角，
在中，，，取中点为，连接，则，
，所以，
在中，，

所以异面直线AE与PC所成角的大小为.
19．如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦．

(1)当时，求的长；
(2)当弦被点平分时，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出直线的斜率，表示出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，再由圆的半径r，利用垂径定理及勾股定理求出弦的长即可．
（2）根据为弦的中点，得出垂直于，根据直线的斜率求出直线的斜率，即可确定出直线的方程．
【详解】（1）当时，直线的斜率为，
又直线过，所以直线的方程为，即，
又圆的圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，故.
（2）当弦被点平分时，则,
又，所以，直线的方程为，
即.
20．如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，．
(1)求证：平面；
(2)若，平面平面ABCD，求平面PCE与平面ABCD所成锐二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可得证 ；
（2）取的中点，连接，则，根据面面垂直的性质可得平面，以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）因为四边形ABCD为正方形，所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）取的中点，连接，
因为，所以为等边三角形，
因为，，所以，
因为点是的中，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面，
所以平面，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
则，
因为平面，
所以即为平面的一条法向量，
，
设平面的法向量为，
则有，令，则，
所以，
则，
所以平面PCE与平面ABCD所成锐二面角余弦值为，
所以平面PCE与平面ABCD所成锐二面角的大小为．
21．已知曲线的左右焦点为，P是曲线E上一动点
(1)求的周长；
(2)过的直线与曲线E交于AB两点，且，求直线AB的方程；
(3)若存在过点的两条直线和与曲线E都只有一个公共点，且，求h的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）先由曲线E的标准方程求得，再利用椭圆的定义即可得解；
（2）由题意设直线AB：，联立方程，结合韦达定理得到，再由得到，从而求得的值，由此可得直线AB的方程；
（3）根据题意设直线：，联立方程，结合判别式得到，分类讨论两条直线和与椭圆的位置情况，由即可求得h的值.
【详解】（1）因为曲线E：，
所以，则，
所以，，
故的周长为；
（2）依题意，知直线AB斜率存在且不为，设直线AB：，
联立，消去，得，
恒成立，
由韦达定理得：，，
因为，，
所以，则，
从而有，
消去，得，即，
所以直线AB的方程为；
（3）依题意，知过点的直线斜率存在，
设该直线：，，
联立，消去，得，
若直线或为切线，则，解得，
注意到该曲线，即该曲线没有左右顶点，所以有三种情况：
情况1：两条直线均是切线，
因为，所以，即，解得，所以；
情况2：两条直线分别过椭圆左右顶点，
由对称性可知，又，所以，
此时，解得，所以；
情况3：其中一条直线是切线，另一条过椭圆的左（或右）顶点，
不妨设直线为切线时斜率为正，即，则，
因为，所以，解得；
综上：符合条件的h的值为或或．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.