(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升8.7《双曲线》(2份打包，原卷版+教师版)

§8.7　双曲线考试要求　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c﹣a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为eq \f(2b2,a).(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(b2,tan \f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.(5)与双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．(　 　)(2)方程eq \f(x2,m)﹣eq \f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　 　)(3)双曲线eq \f(x2,m2)﹣eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.(　 　)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq \r(2).(　 　)教材改编题1．若双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)A.eq \r(5) B．5 C.eq \r(2) D．22．设P是双曲线eq \f(x2,16)﹣eq \f(y2,20)＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于(　　)A．1 B．17 C．1或17 D．以上均不对3．写一个焦点在y轴上且离心率为eq \r(3)的双曲线方程________．题型一　双曲线的定义及应用例1　(1)已知定点F1(﹣2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(　　)A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．圆(2)已知F1，F2为双曲线C：x2﹣y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______．延伸探究　在本例(2)中，若将“∠F1PF2＝60°”改为“eq \o(PF1,\s\up6(―→))·eq \o(PF2,\s\up6(―→))＝0”，则△F1PF2的面积为_____．教师备选1．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x﹣3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)A．x2﹣eq \f(y2,8)＝1 B.eq \f(x2,8)﹣y2＝1 C．x2﹣eq \f(y2,8)＝1(x≤﹣1) D．x2﹣eq \f(y2,8)＝1(x≥1)2．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(2\r(3),3)x，一个焦点为F(0，﹣eq \r(7))，点A(eq \r(2)，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为(　　)A．8 B．10C．4＋3eq \r(7) D．3＋3eq \r(17)思维升华　在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|﹣|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．跟踪训练1　(1)已知双曲线C的离心率为eq \r(3)，F1，F2是C的两个焦点，P为C上一点，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面积为eq \r(2)，则双曲线C的实轴长为(　　)A．1 B．2 C．3 D．6(2)已知F是双曲线eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,12)＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．题型二　双曲线的标准方程例2　(1)双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1过点(eq \r(2)，eq \r(3))，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　)A．x2﹣eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)﹣y2＝1C．x2﹣eq \f(\r(3)y2,3)＝1 D.eq \f(\r(3)x2,3)﹣y2＝1(2)若双曲线经过点(3，eq \r(2))，且渐近线方程是y＝±eq \f(1,3)x，则双曲线的标准方程是________．教师备选1．过双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为(　　)A.eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,7)﹣eq \f(y2,9)＝1C.eq \f(x2,8)﹣eq \f(y2,8)＝1 D.eq \f(x2,12)﹣eq \f(y2,4)＝12．经过点P(3,2eq \r(7))，Q(﹣6eq \r(2)，7)的双曲线的标准方程为________．思维升华　求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq \f(x2,m2)﹣eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．跟踪训练2　(1)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，则该双曲线的标准方程是(　　)A.eq \f(7x2,16)﹣eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(y2,3)﹣eq \f(x2,2)＝1C．x2﹣eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(3y2,23)﹣eq \f(x2,23)＝1(2)已知F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2eq \r(2)，则双曲线的标准方程为(　　)A.eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,3)﹣eq \f(y2,2)＝1C.eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,8)＝1 D．x2﹣eq \f(y2,2)＝1题型三　双曲线的几何性质命题点1　渐近线例3　(1)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线eq \f(y2,a2)﹣eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为(　　)A.eq \f(y2,12)﹣eq \f(x2,4)＝1 B.eq \f(3y2,4)﹣eq \f(x2,4)＝1C.eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(y2,16)﹣eq \f(x2,4)＝1(2)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)A．4 B．8 C．16 D．32思维升华　(1)渐近线的求法：求双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＝±\f(b,a)x)).(2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±eq \f(b,a)，满足关系式e2＝1＋k2.命题点2　离心率例4　(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)A.eq \f(\r(7),2) B.eq \f(\r(13),2) C.eq \r(7) D.eq \r(13)高考改编已知双曲线E：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，|AF2|＝2|AF1|，则双曲线E的离心率为(　　)A.eq \r(3) B.eq \r(5)C.eq \r(7) D．7(2)已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)A．(1,2) B．(1,3)C．(3，＋∞) D．(2,3)教师备选1．已知双曲线eq \f(x2,m＋1)﹣eq \f(y2,m)＝1(m>0)的渐近线方程为x±eq \r(3)y＝0，则m等于(　　)A.eq \f(1,2) B.eq \r(3)﹣1C.eq \f(\r(3)＋1,2) D．22．设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)A.eq \r(2) B.eq \r(3)C．2 D.eq \r(5)思维升华　求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq \f(c,a)转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．跟踪训练3　(1)(多选)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，C上的点到其焦点的最短距离为1，则(　　)A．双曲线C的焦点坐标为(0，±2)B．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \r(3)xC．点(2,3)在双曲线C上D．直线mx﹣y﹣m＝0(m∈R)与双曲线C恒有两个交点(2)若双曲线C1：eq \f(y2,4)﹣eq \f(x2,9)＝1与双曲线C2：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线C2的离心率的取值范围是(　　)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(13),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(13),3)))C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),3)，＋∞))课时精练1．双曲线9x2﹣16y2＝1的焦点坐标为(　　)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(5,12)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(5,12)))C．(±5,0) D．(0，±5)2．已知双曲线eq \f(x2,m)﹣eq \f(y2,m＋6)＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为(　　)A.eq \f(x2,2)﹣eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,8)＝1C．x2﹣eq \f(y2,8)＝1 D.eq \f(x2,2)﹣eq \f(y2,8)＝13．若双曲线E：eq \f(x2,9)﹣eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)A．11 B．9 C．5 D．34．若双曲线C：eq \f(x2,9)﹣eq \f(y2,b2)＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是3eq \r(3)，则C的离心率为(　　)A．2 B.eq \r(3) C.eq \f(4,3) D.eq \f(2\r(3),3)5．(多选)已知双曲线C的方程为eq \f(x2,16)﹣eq \f(y2,9)＝1，则下列说法正确的是(　　)A．双曲线C的实轴长为8B．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(3,4)xC．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为eq \f(9,4)6．(多选)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,9)＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为y＝eq \f(3,4)x，P为C上一点，则以下说法正确的是(　　)A．C的实轴长为8 B．C的离心率为eq \f(5,3)C．|PF1|﹣|PF2|＝8 D．C的焦距为107．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线C的渐近线方程为________．8．设双曲线eq \f(x2,9)﹣eq \f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．9．已知双曲线eq \f(x2,16)﹣eq \f(y2,4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2.(1)若点M在双曲线上，且eq \o(MF1,\s\up6(－→))·eq \o(MF2,\s\up6(－→))＝0，求M点到x轴的距离；(2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点(3eq \r(2)，2)，求双曲线C的方程．10．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线方程是y＝±eq \f(2\r(5),5)x，点A(0，b)，且△AF1F2的面积为6.(1)求双曲线C的标准方程；(2)直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|＝|AQ|，求实数m的取值范围．11．(多选)双曲线C：eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,2)＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是(　　)A．双曲线C的离心率为eq \f(\r(6),2)B．双曲线eq \f(y2,4)﹣eq \f(x2,8)＝1与双曲线C的渐近线相同C．若PO⊥PF，则△PFO的面积为eq \r(2)D．|PF|的最小值为212．已知双曲线C: eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,b2)＝1(b>0)，以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(13),2)))C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1( \f(3,2)，\f(\r(13),2))) D．(1，eq \r(13))13．已知双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，双曲线的左焦点在直线x＋y＋eq \r(5)＝0上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值范围为(　　)A．(1，＋∞) B．(eq \r(2)，＋∞) C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)14．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为原点，若以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，且|F1P|＝eq \r(3)|OP|，则C的渐近线方程为________．15．(多选)双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点在圆O：x2＋y2＝13上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于点M，N，点E(0，a)满足eq \o(EO,\s\up6(→))＋eq \o(EM,\s\up6(→))＋eq \o(EN,\s\up6(→))＝0(其中O为坐标原点)，则(　　)A．双曲线C的一条渐近线方程为3x﹣2y＝0B．双曲线C的离心率为eq \f(\r(13),2)C．|eq \o(OE,\s\up6(→))|＝1D．△OMN的面积为616．双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.(1)求C的离心率；(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.标准方程eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq \f(y2,a2)﹣eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质焦点F1(﹣c，0)，F2(c，0)F1(0，﹣c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤﹣a或x≥a，y∈Ry≤﹣a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(﹣a，0)，A2(a，0)A1(0，﹣a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)渐近线y＝±eq \f(b,a)xy＝±eq \f(a,b)xa，b，c的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)