微专题8　数列的奇偶项问题

这是一份微专题8　数列的奇偶项问题，共5页。试卷主要包含了a2k的通项；等内容，欢迎下载使用。

(1)求通项公式常用的方法有：
隔项等差、等比数列型：将用2k－1或2k替代n，求出a2k－1、a2k的通项；
(2)求数列的前n项和常用的方法有：
方法一：分别求出S奇、S偶，利用Sn＝S奇＋S偶，这种思路本质上是分组求和；
方法二：把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k求出S2k－1，这种思路本质上是并项求和.
【真题体验】
1.(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an＋1，n为奇数，,an＋2，n为偶数.))
(1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；
(2)求{an}的前20项和.
2.(2020·天津卷)已知eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))为等差数列，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))为等比数列，a1＝b1＝1，a5＝5(a4－a3)，b5＝4(b4－b3).
(1)求eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))和eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))的通项公式；
(2)记eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项和为Sn，求证：SnSn＋2＜Seq \\al(2,n＋1)(n∈N*)；
(3)对任意的正整数n，
设cn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(（3an－2）bn,anan＋2)，n为奇数，,\f(an－1,bn＋1)，n为偶数，))求数列{cn}的前2n项和.
【热点突破】
热点一 an＋1＋an＝f(n)或an＋1·an＝f(n)型
例1 (2023·潍坊调研)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋4n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{cn}满足cn＋1＋cn＝an，且不等式cn＋2n2≥0对任意的n∈N*都成立，求c1的取值范围.
规律方法 (1)构造隔项等差数列：an＋1＋an＝pn＋q(p，q≠0)⇒an＋2＋an＋1＝p(n＋1)＋q⇒两式相减得⇒an＋2－an＝p；
(2)构造隔项等比数列：an＋1·an＝pqn(p，q≠0)⇒an＋2·an＋1＝pqn＋1⇒两式相除得⇒eq \f(an＋2,an)＝q.
训练1 在数列{an}中，已知a1＝1，an·an＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)，记Sn为{an}的前n项和，bn＝a2n＋a2n－1.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并写出其通项公式；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)求Sn.
热点二 an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（n），n为奇数，,g（n），n为偶数))型
例2 (2023·石家庄模拟)已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)an＋n，n为奇数，,an－3n，n为偶数.))
(1)是否存在实数λ，使得数列{a2n－λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
(2)若Sn是数列{an}的前n项和，求满足Sn>0的所有正整数n.
规律方法 对于递推关系分奇偶不同的数列，可以利用a2n，a2n－1及a2n－1，a2n－2，推导出偶数项递推关系，求出偶数项的通项公式，通过a2n，a2n－1的关系再推出奇数项的通项公式.求Sn时，可以先把a2n＋a2n－1看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.
训练2 (2023·武汉质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝1－an.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)cn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an，n为奇数，,lg2an，n为偶数，))求数列{cn}的前n项和Tn.
热点三 含有(－1)n型
例3 (2023·长沙调研)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(－1)n－1eq \f(4n,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.
规律方法 通项中含有(－1)n的情形：
(1)等差数列的通项公式乘以(－1)n，用并项求和法求数列前n项的和，
如an＝(－1)n(2n－1)，前20项的和
a1＋a2＋…＋a20＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－37＋39).
(2)等比数列的通项公式中含有(－1)n，其前n项和可写成分段的形式，可求最值，
如等比数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·eq \f(3,2n)，则其前n项和Sn＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(n)，求Tn＝Sn－eq \f(1,Sn)的取值范围时，n分奇偶讨论，求Tn的最值.
(3)裂项相消法求和
如an＝(－1)neq \f(4n,（2n－1）（2n＋1）)
＝(－1)neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)＋\f(1,2n＋1)))，求和时通过(－1)n实现正负交替.
训练3 (2023·天津重点中学联考)已知正项等比数列{an}，满足a2a4＝1，a5是12a1与5a3的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝eq \f(an＋4,（an＋4－2）（an＋4－1）)＋(－1)n·n，求数列{bn}的前n项和Sn.