微专题27　导数与函数的单调性、极值、最值

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高考定位 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是重点考查内容，多以选择、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题.
【真题体验】
1.(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为( )
A.e2 B.e
C.e－1 D.e－2
2.(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)＝aln x＋eq \f(b,x)＋eq \f(c,x2)(a≠0)既有极大值也有极小值，则( )
A.bc>0 B.ab>0
C.b2＋8ac>0 D.ac<0
3.(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cs x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为( )
A.－eq \f(π,2)，eq \f(π,2) B.－eq \f(3π,2)，eq \f(π,2)
C.－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)＋2 D.－eq \f(3π,2)，eq \f(π,2)＋2
4.(2022·全国甲卷)已知a＝eq \f(31,32)，b＝cs eq \f(1,4)，c＝4sin eq \f(1,4)，则( )
A.c>b>a B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
5.(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则( )
A.f(x)有两个极值点
B.f(x)有三个零点
C.点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心
D.直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
【热点突破】
热点一 利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数单调性的关键
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.
(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.
(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.
考向1 求函数的单调区间
例1 已知f(x)＝a(x－ln x)＋eq \f(2x－1,x2)，a∈R.讨论f(x)的单调性.
考向2 单调性的应用
例2 (1)(2023·西南大学附中质检)若函数f(x)＝(a－2cs x)sin x＋eq \f(5,2)x在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))
(2)(2023·河北名校联考)已知f′(x)为f(x)的导函数，满足tan x·f′(x)>f(x)，若a＝2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))，b＝eq \r(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))，c＝eq \f(2\r(3),3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，则下列大小关系正确的是( )
A.aC.b规律方法 1.讨论函数的单调性一般可以归结为讨论含有参数的一元二次不等式的解集.
2.函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立.
3.若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).
4.函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D上有解.
训练1 (1)(2023·晋中二模)已知a＝ln eq \r(2)，b＝eq \f(ln 3,3)，c＝eq \f(1,e)，则下列判断正确的是( )
A.cC.a(2)(2023·青岛质检)函数f(x)＝e－xcs x(x∈(0，π))的单调递增区间为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
(3)已知函数f(x)＝(x－1)ex－mx在区间x∈[1，2]上存在单调递增区间，则m的取值范围为( )
A.(0，e) B.(－∞，e)
C.(0，2e2) D.(－∞，2e2)
热点二 利用导数研究函数的极值
由导函数的图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点.
(2)由y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的函数值的正负，从而可得到函数y＝f(x)的单调性，进而确定极值点.
例3 已知函数f(x)＝eq \f(a,2)x2－(2a2－a＋1)x＋(2a－1)ln x＋2，若当a>0且a≠1时，f(x)存在一个极小值点x0，且x0>3，求实数a的取值范围.
易错提醒 1.不能忽略函数的定义域.
2.f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，即f′(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f′(x)＝0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性.
3.函数的极小值不一定比极大值小.
训练2 (1)(2023·成都模拟)若函数f(x)＝x(x＋a)2在x＝1处有极大值，则实数a的值为( )
A.1 B.－1或－3
C.－1 D.－3
(2)(2023·盐城质检)若函数f(x)＝ex－e－x＋eq \f(1,3)x3－ax无极值点，则实数a的取值范围是________.
热点三 利用导数研究函数的最值
求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值；
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
例4 (1)(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋eq \f(b,x)取得最大值－2，则f′(2)＝( )
A.－1 B.－eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2) D.1
(2)(2023·石家庄模拟)已知函数f(x)＝eq \f(sin x,1＋cs x)＋eq \f(8,1－cs x)(0易错提醒 1.求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论.
2.求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值.
训练3 (1)(2023·开封二模)已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝3x，且f(m)＝g(n)，则n－m的最小值为( )
A.1－ln 2 B.2(1－ln 2)
C.eq \f(1,3)(2－ln 2) D.eq \f(2,3)(1－ln 2)
(2)已知关于x的不等式x3－ax2≥ln x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.(－∞，1] B.(0，1]
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e))) D.(－∞，0]