微专题28　切线与公切线问题

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【真题体验】
1.(2023·全国甲卷)曲线y＝eq \f(ex,x＋1)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(e,2)))处的切线方程为( )
A.y＝eq \f(e,4)x B.y＝eq \f(e,2)x
C.y＝eq \f(e,4)x＋eq \f(e,4) D.y＝eq \f(e,2)x＋eq \f(3e,4)
2.(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A.y＝－2x－1 B.y＝－2x＋1
C.y＝2x－3 D.y＝2x＋1
3.(2021·新高考Ⅰ卷)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则( )
A.ebC.04.(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________.
5.(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________.
【热点突破】
热点一 曲线的切线
导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.
(3)切点既在切线上，又在曲线上.
例1 (1)(2023·北京东城区模拟)过坐标原点作曲线y＝ex－2＋1的切线，则切线方程为( )
A.y＝x B.y＝2x
C.y＝eq \f(1,e2)x D.y＝ex
(2)(2023·西安模拟)过点(1，2)可作三条直线与曲线f(x)＝x3－3x＋a相切，则实数a的取值范围为( )
A.(1，2) B.(2，3)
C.(3，4) D.(4，5)
规律方法 求过某点的切线方程时(不论这个点在不在曲线上，这个点都不一定是切点)，应先设切点的坐标，再根据切点的“一拖三”(切点的横坐标与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上)求切线方程.
训练1 (1)(2023·郑州二模)已知曲线y＝xln x＋ae－x在点x＝1处的切线方程为2x－y＋b＝0，则b＝( )
A.－1 B.－2
C.－3 D.0
(2)(2023·南昌模拟)函数f(x)＝x3－ax在x＝1处的切线平行于直线x－y－1＝0，则切线在y轴上的截距为________.
热点二 曲线的公切线
导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养.
考向1 切点相同的公切线问题
例2 (1)已知曲线f(x)＝x2－2m，g(x)＝3ln x－x，若y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则m＝( )
A.－3 B.1
C.2 D.5
(2)若存在a>0，使得曲线f(x)＝6a2ln x与g(x)＝x2－4ax－b在公共点处的切线相同，则b的最大值为( )
A.－eq \f(1,3e2) B.－eq \f(1,6e2)
C.eq \f(1,6e2) D.eq \f(1,3e2)
考向2 切点不同的公切线问题
例3 (1)(2023·邵阳二模)已知直线l是曲线y＝ln(x－2)＋2与y＝ln(x－1)的公切线，则直线l与x轴的交点坐标为________.
(2)已知曲线C1：y＝ex＋x，C2：y＝－x2＋2x＋a(a>0)，若有且只有一条直线同时与C1，C2都相切，则a＝________.
规律方法 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.
训练2 (1)(2023·济南调研)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为( )
A.2 B.5
C.1 D.0
(2)直线l：y＝kx＋b是曲线f(x)＝ln(x＋1)和曲线g(x)＝ln(e2x)的公切线，则b＝( )
A.2 B.eq \f(1,2)
C.ln eq \f(e,2) D.ln(2e)