(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升4.2《同角三角函数基本关系式及诱导公式》(2份打包，原卷版+教师版)

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1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cs2α＝1，eq \f(sin α,cs α)＝tan α.
2.掌握诱导公式，并会简单应用．
知识梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2．三角函数的诱导公式
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形
sin2α＝1﹣cs2α＝(1＋cs α)(1﹣cs α)；
cs2α＝1﹣sin2α＝(1＋sin α)(1﹣sin α)；
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cs2β＝1.( )
(2)若α∈R，则tan α＝eq \f(sin α,cs α)恒成立．( )
(3)sin(π＋α)＝﹣sin α成立的条件是α为锐角．( )
(4)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝eq \f(1,3)，则cs α＝﹣eq \f(1,3).( )
教材改编题
1．已知α是第二象限角，sin α＝eq \f(\r(5),5)，则cs α的值为 ．
2．已知eq \f(sin α－2cs α,3sin α＋5cs α)＝﹣5，那么tan α的值为 ．
3．化简eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)))·sin(α﹣π)·cs(2π﹣α)的结果为 ．
题型一 同角三角函数基本关系
例1 (1)已知cs α＝﹣eq \f(5,13)，则13sin α＋5tan α＝ .
(2)已知tan α＝eq \f(1,2)，则eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)＝ ；sin2α＋sin αcs α＋2＝ .
(3)已知sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，θ∈(0，π)，则tan θ＝ .
教师备选
1．已知eq \f(sin α＋3cs α,3cs α－sin α)＝5，则cs2α＋eq \f(1,2)sin 2α等于( )
A.eq \f(3,5) B．﹣eq \f(3,5)
C．﹣3 D．3
2．若α∈(0，π)，sin(π﹣α)＋cs α＝eq \f(\r(2),3)，则sin α﹣cs α的值为( )
A.eq \f(\r(2),3) B．﹣eq \f(\r(2),3)
C.eq \f(4,3) D．﹣eq \f(4,3)
思维升华
(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α﹣cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1﹣cs2α，cs2α＝1﹣sin2α.
跟踪训练1 (1)若tan θ＝﹣2，则eq \f(sin θ1＋sin 2θ,sin θ＋cs θ)等于( )
A．﹣eq \f(6,5) B．﹣eq \f(2,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(6,5)
(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝﹣eq \f(1,3)，则sin α＋cs α的值为 ．
题型二 诱导公式
例2 (1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值为( )
A.eq \f(2\r(2),3) B．﹣eq \f(2\r(2),3)
C.eq \f(1,3) D．﹣eq \f(1,3)
延伸探究 本例(1)改为已知θ是第二象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝ .
(2)eq \f(tanπ－αcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs－α－πsin－π－α)的值为( )
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
教师备选
1．已知函数f(x)＝ax﹣2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α))＋sin 2α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin－π－α)等于( )
A.eq \f(2,3) B．﹣eq \f(2,3)
C.eq \f(3,2) D．﹣eq \f(3,2)
2．若sin x＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))，则cs x·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))等于( )
A.eq \f(3,10) B．﹣eq \f(3,10)
C.eq \f(3,4) D．﹣eq \f(3,4)
思维升华 (1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数eq \(――――――→,\s\up11(利用诱导公式),\s\d4(三或一))任意正角的三角函数eq \(――――――→,\s\up7(利用诱导公式一))0～2π内的角的三角函数eq \(――――――→,\s\up11(利用诱导公式二),\s\d4(或四或五或六))锐角三角函数．
跟踪训练2 (1)已知cs(75°＋α)＝eq \f(1,3)，求cs(105°﹣α)＋sin(15°﹣α)＝ .
(2)设tan(5π＋α)＝2，则eq \f(sin－3π＋α＋csα－π,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(11,2)π))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α)))＝ .
题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例3 已知f(α)＝eq \f(sinα－3πcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs－π－αsin－π－α).
(1)化简f(α)；
(2)若α＝﹣eq \f(31π,3)，求f(α)的值；
(3)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(π,2)))＝eq \f(1,5)，α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，求f(α)的值．
教师备选
设f(α)＝eq \f(2sinπ＋αcsπ－α－csπ＋α,1＋sin2α＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))(1＋2sin α≠0)．
(1)化简f(α)；
(2)若α＝﹣eq \f(23π,6)，求f(α)的值．
思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
跟踪训练3 (1)已知α为锐角，且2tan(π﹣α)﹣3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)﹣1＝0，则sin α的值是( )
A.eq \f(3\r(5),5) B.eq \f(3\r(7),7) C.eq \f(3\r(10),10) D.eq \f(1,3)
(2)已知﹣π课时精练
1．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19π,3)))等于( )
A．﹣eq \f(\r(3),2) B．﹣eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
2．若cs 165°＝a，则tan 195°等于( )
A.eq \r(1－a2) B.eq \f(\r(1－a2),a)
C．﹣eq \f(\r(1－a2),a) D．﹣eq \f(a,\r(1－a2))
3．若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5)))＝eq \f(5,13)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,10)－α))等于( )
A．﹣eq \f(5,13) B．﹣eq \f(12,13)
C.eq \f(12,13) D.eq \f(5,13)
4．已知sin α＋cs α＝﹣eq \r(2)，则tan α＋eq \f(1,tan α)等于( )
A．2 B.eq \f(1,2) C．﹣2 D．﹣eq \f(1,2)
5．(多选)在△ABC中，下列结论正确的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C B．sin eq \f(B＋C,2)＝cs eq \f(A,2)
C．tan(A＋B)＝﹣tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C≠\f(π,2))) D．cs(A＋B)＝cs C
6．(多选)已知α∈(0，π)，且sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，则( )
A.eq \f(π,2)<α<π B．sin αcs α＝﹣eq \f(12,25)
C．cs α﹣sin α＝eq \f(7,5) D．cs α﹣sin α＝﹣eq \f(7,5)
7．cs 1°＋cs 2°＋cs 3°＋…＋cs 177°＋cs 178°＋cs 179°＝ .
8．设f(θ)＝eq \f(2cs2θ＋sin22π－θ＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－3,2＋2cs2π＋θ＋cs－θ)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17π,3)))＝ .
9．(1)已知cs α是方程3x2﹣x﹣2＝0的根，且α是第三象限角，
求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))tan2π－α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))的值；
(2)已知sin x＋cs x＝﹣eq \f(7,13)(010．已知角α的终边经过点P(3m，﹣6m)(m≠0)．
(1)求eq \f(sinα＋π＋csα－π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＋2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))))的值；
(2)若α是第二象限角，求sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＋sin(π﹣α)cs α﹣cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))的值．
11．(多选)已知角α满足sin α·cs α≠0，则表达式eq \f(sinα＋kπ,sin α)＋eq \f(csα＋kπ,cs α)(k∈Z)的取值可能为( )
A．﹣2 B．﹣1或1
C．2 D．﹣2或2或0
12．若sin α是方程5x2﹣7x﹣6＝0的根，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3π,2)))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))tan22π－α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sinπ＋α)等于( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(5,3) C.eq \f(4,5) D.eq \f(5,4)
13．曲线y＝ex＋x2﹣eq \f(2,3)x在x＝0处的切线的倾斜角为α，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝ .
14．函数y＝lga(x﹣3)＋2(a>0且a≠1)的图象过定点Q，且角α的终边也过点Q，则3sin2α＋2sin αcs α＝ .
15．(多选)已知f(α)＝eq \f(2sin αcs α－2,sin α＋cs α＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤α≤\f(π,2)))，则下列说法正确的是( )
A．f(α)的最小值为﹣eq \r(2) B．f(α)的最小值为﹣1
C．f(α)的最大值为eq \r(2)﹣1 D．f(α)的最大值为1﹣eq \r(2)
16．已知关于x的方程2x2﹣(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cs θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
﹣α
π﹣α
eq \f(π,2)﹣α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
﹣sin α
﹣sin α
sin α
cs α
cs α
余弦
cs α
﹣cs α
cs α
﹣cs α
sin α
﹣sin α
正切
tan α
tan α
﹣tan α
﹣tan α
口诀
奇变偶不变，符号看象限