人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程课时训练

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程课时训练，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．直线eq \r(2)x－eq \r(6)y＋1＝0的倾斜角为( )
A．eq \f(π,3)B．eq \f(2π,3)
C．eq \f(π,6)D．eq \f(5π,6)
2．已知直线l过点P(1，1)，且其方向向量v＝(1，2)，则直线l的方程为( )
A．2x＋y＋1＝0B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0D．2x－y－1＝0
3．如果AB>0，BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过的象限是( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
4．“a＝eq \f(1,4)”是直线l1：(2a－1)x－ay＋1＝0与直线l2：x＋2ay－1＝0平行的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．若圆(x－1)2＋y2＝2与直线x－y＋λ＝0相切，则实数λ的值为( )
A．－1±2eq \r(2)B．－1或3
C．1±2eq \r(2)D．1或－3
6．已知圆C过点A(－2，0)，B(0，4)，圆心在x轴上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝5B．(x－1)2＋y2＝9
C．(x－3)2＋y2＝25D．x2＋y2＝16
7．已知两圆相交于两点A(1，3)，B(t，－1)，两圆圆心都在直线x＋2y＋c＝0上，则t＋c的值为( )
A．－3B．－2
C．0D．1
8．若直线x－y＋2＝0将圆(x－a)2＋(y－3)2＝9分成的两段圆弧长度之比为1∶3，则实数a的值为( )
A．－4B．－4或2
C．2D．－2或4
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．已知直线l1：3x＋2y－m＝0，l2：xsinα－y＋1＝0，则( )
A．当m变化时，l1的倾斜角不变B．当α变化时，l2过定点
C．l1与l2可能平行D．l1与l2不可能垂直
10．已知曲线C的方程为ax2＋ay2－2x－2y＝0(a∈R)，则( )
A．曲线C可能是直线B．当a＝1时，直线3x＋y＝0与曲线C相切
C．曲线C经过定点D．当a＝1时，直线x＋2y＝0与曲线C相交
11．垂直于直线3x＋4y＋10＝0且与圆x2＋y2＝16相切的直线的方程是( )
A．4x－3y＋18＝0B．4x－3y＋20＝0
C．4x－3y－18＝0D．4x－3y－20＝0
12．已知圆C：(x－3)2＋y2＝9，直线l：mx＋4y－m－4＝0(m∈R)，则下列结论正确的有( )
A．当m＝3时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于2
B．对于任意实数m，直线l恒过定点(1，1)
C．若直线l交圆C于A，B两点，则弦长AB的最小值为4
D．D是圆C上的动点，点E(2，4)，若动点M满足eq \(DM,\s\up6(→))＝2eq \(DE,\s\up6(→))，则点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－8)2＝9
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)
13．若直线x＋ay＋1＝0与直线(a－1)x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．
14．一条直线l经过P(eq \r(3)，－3)，并且倾斜角是直线y＝eq \r(3)x的倾斜角的2倍，则直线l的方程为____________．
15．已知直线l：2x＋y＋2＝0和圆C：x2＋y2－2x－2y－2＝0，过直线l上一点P作圆C的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为________．
16．在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离之比为eq \f(1,2)，设点P的轨迹为C，则轨迹C的方程为________；若轨迹C上有且只有四个点到直线l：y＝－x＋m的距离为1，则实数m的取值范围是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，4)，C(6，3).
(1)求边AC上的中线所在直线方程；
(2)求△ABC的面积．
18．(本小题满分12分)在三角形ABC中，A(－1，0)，B(3，0)，AB边上的中线所在直线的方程为x＝1，AC边上的高所在直线的方程为y＝－2x＋6.
(1)求C的坐标；
(2)若D(1，－4)，试判断A，B，C，D四点是否共圆，并说明理由．
19．(本小题满分12分)已知直线方程为y＋2＝k(x＋1).
(1)若直线的倾斜角为135°，求k的值；
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．
20．(本小题满分12分)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2，2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点．
(1)当P为弦AB的中点时，求直线l的方程；
(2)若直线l与直线3x－4y－1＝0平行，求弦AB的长．
21．(本小题满分12分)已知圆C经过A(0，－1)和B(2，3)两点，圆心在直线x＋y－1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)点P在圆C上，若|AP|＝2，求直线AP的方程．
22．(本小题满分12分)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，m为任意实数．
(1)求证：直线l必与圆C相交；
(2)m为何值时，直线l被圆C截得的弦长AB最短？最短弦长是多少？
(3)若直线l被圆C截得的弦AB的中点为点M，求点M的轨迹方程．
章末质量检测(二) 直线和圆的方程
1．解析：由直线eq \r(2)x－eq \r(6)y＋1＝0，即y＝eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(\r(6),6)，
所以倾斜角α满足tanα＝eq \f(\r(3),3)，α∈[0，π]，所以α＝eq \f(π,6).
答案：C
2．解析：因为直线l过点(1，1)，且方向向量为v＝(1，2)，
由直线的点方向式方程，可得直线的方程为：
eq \f(x－1,1)＝eq \f(y－1,2)，
整理，得2x－y－1＝0.
答案：D
3．解析：由题设，直线可写成y＝－eq \f(A,B)x－eq \f(C,B)，又AB>0，BC>0，∴－eq \f(A,B)<0，－eq \f(C,B)<0，故直线过二、三、四象限，不过第一象限．
答案：A
4．解析：若a＝eq \f(1,4)，则l1：2x＋y－4＝0，l2：2x＋y－2＝0，显然平行；若直线l1∥l2，则2a(2a－1)＝－a且－(－a)≠2a，即a＝eq \f(1,4).故“a＝eq \f(1,4)”是直线l1：(2a－1)x－ay＋1＝0与直线l2：x＋2ay－1＝0平行的充要条件．
答案：C
5．解析：若圆(x－1)2＋y2＝2与直线x－y＋λ＝0相切，
则(1，0)到直线x－y＋λ＝0的距离为eq \f(|1－0＋λ|,\r(2))＝eq \r(2)，
解得λ＝1，或λ＝－3.
答案：D
6．解析：设圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2，
将A(－2，0)，B(0，4)坐标代入得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（2＋a）2＝r2,a2＋16＝r2))，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3,r2＝25))，故圆的方程为(x－3)2＋y2＝25.
答案：C
7．解析：根据题意，由相交弦的性质，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得AB与直线x＋2y＋c＝0垂直，且AB的中点在这条直线x＋2y＋c＝0上，由AB与直线x＋2y＋c＝0垂直，可得eq \f(3－（－1）,1－t)＝2，解得t＝－1，则B(－1，－1)，故AB中点为(0，1)，且其在直线x＋2y＋c＝0上，代入直线方程可得，0＋2×1＋c＝0，可得c＝－2，故t＋c＝(－1)＋(－2)＝－3.
答案：A
8．解析：圆的标准方程为(x－a)2＋(y－3)2＝9，圆心为(a，3)，半径R＝3，设直线和圆相交于AB，由较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则∠AOB＝eq \f(π,2)，故|AB|＝3eq \r(2)，则圆心到直线x－y＋2＝0的距离d＝eq \f(3\r(2),2)，即d＝eq \f(|a－1|,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2)，解得a＝－2或4.
答案：D
9．解析：当m变化时，直线l1：3x＋2y－m＝0的斜率为k＝－eq \f(3,2)，所以l1的倾斜角不变．故A正确；直线l2：xsinα－y＋1＝0恒过定点(0，1).故B正确；假设l1与l2平行，则－3＝2sinα，即sinα＝－eq \f(3,2)，这与sinα∈[－1，1]相矛盾，所以l1与l2不可能平行．故C不正确；假设l1与l2垂直，则3sinα－2＝0，即sinα＝eq \f(2,3)，所以l1与l2可能垂直．故D不正确．
答案：AB
10．解析：当a＝0时，曲线C的方程为：－2x－2y＝0，表示直线，故A正确；
由ax2＋ay2－2x－2y＝0，得a(x2＋y2)＝2x＋2y，
令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝0,2x＋2y＝0))，得x＝y＝0，所以曲线C经过定点(0，0)，故C正确；当a＝1时，曲线C的方程为：x2＋y2－2x－2y＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝2，
此时曲线C表示圆，且圆心为C(1，1)，半径R＝eq \r(2)，
因为C(1，1)到直线3x＋y＝0的距离d1＝eq \f(4,\r(10))≠eq \r(2)，
所以直线3x＋y＝0与曲线C不相切，故B错误；
C(1，1)到直线x＋2y＝0的距离d2＝eq \f(3,\r(5))答案：ACD
11．解析：设与3x＋4y＋10＝0垂直的直线为4x－3y＋m＝0，
又与圆x2＋y2＝16相切，则eq \f(|m|,5)＝4，可得m＝±20，经检验满足题设．
∴所求直线方程为4x－3y＋20＝0或4x－3y－20＝0.
答案：BD
12．解析：圆C：(x－3)2＋y2＝9的圆心坐标为(3，0)，半径r＝3，
当m＝3时，直线l：3x＋4y－7＝0，圆心C到直线l的距离d＝eq \f(2,5)，r－d＝3－eq \f(2,5)＝eq \f(13,5)>2，∴圆C上有4个点到直线l的距离等于2，故A错误；
化直线l为m(x－1)＋4y－4＝0，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1＝0,4y－4＝0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝1))，∴直线l过定点(1，1)，故B正确；
∵定点N(1，1)与圆心C(3，0)的距离|NC|＝eq \r(5)，则|AB|min＝2eq \r(r2－|NC|2)＝4，故C正确；
设M(x，y)，D(a，b)，由eq \(DM,\s\up6(→))＝2eq \(DE,\s\up6(→))可得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－a＝4－2a,y－b＝8－2b))，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4－x,b＝8－y))，
又因为点D在圆C：(x－3)2＋y2＝9上，所以可得：(4－x－3)2＋(8－y)2＝9，
所以(x－1)2＋(y－8)2＝9，故D正确．
答案：BCD
13．解析：因为直线x＋ay＋1＝0与直线(a－1)x＋2y＋1＝0垂直，所以1×(a－1)＋a×2＝0，解得：a＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
14．解析：因为直线y＝eq \r(3)x的斜率为eq \r(3)，
所以直线y＝eq \r(3)x的倾斜角为eq \f(π,3)，
所以直线l的倾斜角为eq \f(2π,3)，
所以直线l的斜率为taneq \f(2π,3)＝－eq \r(3)，
因为直线l经过P(eq \r(3)，－3)，
所以直线l的方程为y＋3＝－eq \r(3)(x－eq \r(3))，即y＝－eq \r(3)x.
答案：y＝－eq \r(3)x
15．解析：圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4，圆心为(1，1)，半径r＝2，点C到直线l的距离d＝eq \f(|2×1＋1＋2|,\r(22＋12))＝eq \r(5)，
由圆的切线性质知：|PA|＝eq \r(|PC|2－r2)≥eq \r(d2－r2)＝eq \r(（\r(5)）2－4)＝1，
当且仅当|PC|＝d，即点P是过点C作直线l的垂线的垂足时取“＝”，
所以|PA|的最小值为1.
答案：1
16．解析：设动点P(x，y)，由P到O(0，0)，A(3，0)的距离之比为eq \f(1,2)，
∴|PA|2＝4|PO|2，则(x－3)2＋y2＝4(x2＋y2)，整理得：(x＋1)2＋y2＝4，
故轨迹C的方程为(x＋1)2＋y2＝4；
∴轨迹C是以C(－1，0)为圆心，半径r＝2的圆，则C到y＝－x＋m的距离为d＝eq \f(|m＋1|,\r(2))，
∴当d＝1时，圆上恰有3个点到直线的距离为1，若圆C上有且只有四个点到直线l：y＝－x＋m的距离为1，则d＝eq \f(|m＋1|,\r(2))<1，解得－1－eq \r(2)∴实数m的取值范围为(－1－eq \r(2)，eq \r(2)－1).
答案：(x＋1)2＋y2＝4 (－1－eq \r(2)，eq \r(2)－1)
17．解析：(1)因为A(0，1)，C(6，3)，所以AC的中点为(3，2)，又B(1，4)，所以边AC上的中线所在直线方程为eq \f(y－2,4－2)＝eq \f(x－3,1－3)，即x＋y－5＝0.
(2)直线AB的方程为y－1＝eq \f(4－1,1－0)(x－0)，即3x－y＋1＝0，
C到直线AB的距离为eq \f(|18－3＋1|,\r(10))＝eq \f(16,\r(10))，
|AB|＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \r(10)×eq \f(16,\r(10))＝8.
18．解析：(1)依题意可知C点的横坐标为1，设C(1，c)，则kAC＝eq \f(c,1－（－1）)＝eq \f(c,2)，所以eq \f(c,2)×(－2)＝－1，解得c＝1，即C(1，1)；
(2)设过A(－1，0)，B(3，0)，C(1，1)三点的圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－D＋F＝0,2＋D＋E＋F＝0,9＋3D＋F＝0))，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝－2,E＝3,F＝－3))，所以圆的方程为x2＋y2－2x＋3y－3＝0，又12＋(－4)2－2×1＋3×(－4)－3＝0，所以D(1，－4)在圆上，故A、B、C、D四点共圆．
19．解析：(1)由题意可得k＝tan135°＝tan (180°－45°)＝－tan45°＝－1.
(2)在直线AB的方程中，令y＝0可得x＝eq \f(2－k,k)，即点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－k,k)，0))，令x＝0可得y＝k－2，即点B(0，k－2)，
由已知可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2－k,k)<0,k－2<0))，解得k<0，
所以，S△AOB＝eq \f(1,2)(2－k)·eq \f(k－2,k)＝－eq \f(1,2)·eq \f(（k－2）2,k)
＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋\f(4,k)－4))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（－k）＋\f(4,－k)＋4))
≥eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\r(（－k）·\f(4,－k))＋4))＝4，
当且仅当k＝－2时，等号成立，此时直线的方程为y＋2＝－2(x＋1)，即2x＋y＋4＝0.
20．解析：(1)由题意，圆心C(1，0)，P为弦AB的中点时，由圆的性质有l⊥PC，又kPC＝eq \f(2－0,2－1)＝2，
所以kl＝－eq \f(1,kPC)＝－eq \f(1,2)，所以直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,2)(x－2)，即x＋2y－6＝0；
(2)因为直线l与直线3x－4y－1＝0平行，所以kl＝eq \f(3,4)，
所以直线l的方程为y－2＝eq \f(3,4)(x－2)，即3x－4y＋2＝0，
因为圆心C(1，0)到直线l的距离d＝eq \f(|3－0＋2|,5)＝1，又半径r＝3，
所以由弦长公式得|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(9－1)＝4eq \r(2).
21．解析：(1)由题知，圆心C在线段AB的垂直平分线上，
线段AB的中点为D(1，1)，直线AB的斜率kAB＝eq \f(3－（－1）,2－0)＝2，
则线段AB的垂直平分线方程为y＝－eq \f(1,2)(x－1)＋1，即x＋2y－3＝0，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0,x＋2y－3＝0))，解得C(－1，2).
所以圆C半径|AC|＝eq \r(10)，
所以圆C的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝10.
(2)设P(m，n)，因为点P在圆C上，所以(m＋1)2＋(n－2)2＝10，①
因为|AP|＝2，所以m2＋(n＋1)2＝4，②
①－②得m－3n－1＝0③
联立②③得5n2＋4n－1＝0，解之得n＝－1或eq \f(1,5)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－2,n＝－1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(8,5),n＝\f(1,5)))，即P(－2，－1)或Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(1,5)))，
由两点式得直线AP的方程为y＝－1或3x－4y－4＝0.
22．解析：(1)由(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，m∈R，
得(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0，
∵m∈R，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－4＝0,2x＋y－7＝0))，得x＝3，y＝1，
∴直线l恒过点D(3，1)，又圆C(1，2)，半径为5，
∵CD＝eq \r(（3－1）2＋（1－2）2)＝eq \r(5)<5，
∴D在圆内，则直线l必与圆C相交．
(2)由(1)知D在圆内，当直线l被圆C截得的弦长AB最短时，l⊥CD，又kCD＝eq \f(2－1,1－3)＝－eq \f(1,2)，
则直线l的斜率为2，即有－eq \f(2m＋1,m＋1)＝2，解得m＝－eq \f(3,4).
此时最短弦长为2eq \r(25－5)＝4eq \r(5).
故m＝－eq \f(3,4)时，直线l被圆C截得的弦长AB最短，最短弦长是4eq \r(5).
(3)设M(x，y)，又M为AB的中点，
∴CM⊥DM，eq \(CM,\s\up6(→))＝(x－1，y－2)，eq \(DM,\s\up6(→))＝(x－3，y－1)，
可得eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(DM,\s\up6(→))＝0.
∴(x－3)(x－1)＋(y－1)(y－2)＝0，
即x2＋y2－4x－3y＋5＝0.