高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆课时练习，共5页。
1．已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为( )
A．1B．3
C．5D．7
2．设P为椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，F1，F2分别为左、右焦点，且|PF1|＝3|PF2|，则|PF2|＝( )
A．eq \f(3,2)B．eq \f(5,2)
C．eq \f(7,2)D．eq \f(15,2)
3．“2＜m＜4”是“方程eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,4－m)＝1表示椭圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．以F1(－1，0)，F2(1，0)为焦点，且经过点(1，eq \f(3,2))的椭圆的标准方程为( )
A．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
C．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1D．eq \f(x2,4)＋y2＝1
5．(多选)已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2eq \r(3)，若|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1B．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,48)＝1
C．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1D．eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,45)＝1
6．椭圆C上一点P到两个焦点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之和等于6，则C的标准方程为________．
7．一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，则动圆圆心的轨迹方程为________．
8．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；
(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
[提能力]
9．如图，F1，F2是平面上的两点，且|F1F2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，点A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点．若点A在以F1，F2为焦点的椭圆M上，则( )
A．点B和C都在椭圆M上
B．点C和D都在椭圆M上
C．点D和E都在椭圆M上
D．点E和B都在椭圆M上
10．(多选)设椭圆C：eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,16)＝1的焦点为F1、F2，M在椭圆上，则( )
A．|MF1|＋|MF2|＝8
B．|MF1|的最大值为7，最小值为1
C．|MF1||MF2|的最大值为16
D．△MF1F2面积的最大值为10
11．若椭圆eq \f(x2,3m)＋eq \f(y2,2m＋1)＝1的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是________．
12．设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,\f(75,4))＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若∠F1PF2＝60°.
(1)求△F1PF2的面积；
(2)求点P的坐标．
[培优生]
13．F1，F2分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点，M为椭圆上的动点，设点A(eq \f(1,2)，eq \f(1,2))，则|MA|＋|MF2|的最小值为( )
A．4－eq \f(\r(10),2)B．2－eq \f(\r(10),2)
C．4＋eq \f(\r(10),2)D．2＋eq \f(\r(10),2)
课时作业(二十二) 椭圆及其标准方程
1．解析：设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2, 由已知条件得a＝5，由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，其中|PF1|＝3，则|PF2|＝7.
答案：D
2．解析：根据P为椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，则有|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq \r(25)＝10，
又|PF1|＝3|PF2|，所以|PF2|＝eq \f(10,4)＝eq \f(5,2).
答案：B
3．解析：∵方程eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,4－m)＝1表示椭圆，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－2＞0，,4－m＞0，,m－2≠4－m.))解得2＜m＜3或3＜m＜4，故“2＜m＜4”是“方程eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,4－m)＝1表示椭圆”的必要不充分条件．
答案：B
4．解析：因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c＝1，故排除D；将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))代入eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1得eq \f(1,3)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(2),2)＝eq \f(35,24)≠1，故A错误，所以选B.
答案：B
5．解析：由已知2c＝|F1F2|＝2eq \r(3)，所以c＝eq \r(3).
因为2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4eq \r(3)，
所以a＝2eq \r(3).所以b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1.
答案：AC
6．解析：因椭圆C上一点P到两个焦点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之和等于6，则该椭圆长半轴长a＝3，
而半焦距c＝2，于是得短半轴长b，有b2＝a2－c2＝5，
所以C的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1.
答案：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1
7．解析：圆x2＋y2＋6x＋5＝0的圆心为A(－3，0)，半径为2；
圆x2＋y2－6x－91＝0的圆心为B(3，0)，半径为10.
设动圆圆心为M(x，y)，半径为x，
则|MA|＝2＋r，|MB|＝10－r，
于是|MA|＋|MB|＝12＞|AB|＝6，
所以，动圆圆心M的轨迹是以A(－3，0)，B(3，0)为焦点，长轴长为12的椭圆．
a＝6，c＝3，b2＝a2－c2＝27，
所以M的轨迹方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1.
答案：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1
8．解析：(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2).
由椭圆的定义知，2a＝eq \r(32＋（2＋2）2)＋eq \r(32＋（2－2）2)＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1.
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又c∶a＝5∶13，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,169)＋eq \f(y2,144)＝1或eq \f(y2,169)＋eq \f(x2,144)＝1.
9．解析：因为|AF1|＋|AF2|＝3＋9＝12，
所以椭圆M中2a＝12，
因为|BF1|＋|BF2|＝5＋9≠12，|CF1|＋|CF2|＝5＋6≠12，|DF1|＋|DF2|＝5＋7＝12，|EF1|＋|EF2|＝11＋1＝12，所以D，E在椭圆M上．
答案：C
10．解析：由椭圆方程知：a＝4，b＝eq \r(7)，c＝3，
∴|MF1|＋|MF2|＝2a＝8，故A正确．
|MF1|max＝a＋c＝7，|MF1|min＝a－c＝1，故B正确．
|MF1||MF2|≤eq \f(（|MF1|＋|MF2|）2,4)＝16，此时M在椭圆左右顶点上，同时△MF1F2面积也最大，为3eq \r(7)，故C正确，D错误．
答案：ABC
11．解析：因为椭圆eq \f(x2,3m)＋eq \f(y2,2m＋1)＝1的焦点在x轴上，所以3m＞2m＋1＞0，解得m＞1，
所以实数m的取值范围是(1，＋∞).
答案：(1，＋∞)
12．解析：(1)由椭圆方程，知a2＝25，b2＝eq \f(75,4)，
则c2＝eq \f(25,4)，c＝eq \f(5,2)，2c＝5.
在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs60°，
即25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|. ①
由椭圆的定义得10＝|PF1|＋|PF2|，
则100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|. ②
②－①，得3|PF1|·|PF2|＝75，
则|PF1|·|PF2|＝25，故△F1PF2的面积S＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin60°＝eq \f(25\r(3),4).
(2)设点P(x0，y0)，则△F1PF2的面积S＝eq \f(1,2)·|F1F2|·|y0|，
由(1)可得eq \f(25\r(3),4)＝eq \f(1,2)×5|y0|，解得|y0|＝eq \f(5\r(3),2).
又点P在椭圆上，所以eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,25)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5\r(3),2)))\s\up12(2),\f(75,4))＝1，解得x0＝0，
于是点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5\r(3),2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(5\r(3),2))).
13.
解析：由椭圆方程得F1(－1，0)，F2(1，0)，
如图，连接MF1，由于|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，
所以|MF2|＝4－|MF1|，
所以|MA|＋|MF2|＝|MA|＋4－|MF1|＝4＋|MA|－|MF1|，
因为||MA|－|MF1||≤|AF1|，当且仅当M，A，F1三点共线时等号成立，
所以－|AF1|≤|MA|－|MF1|≤|AF1|，
所以|MA|＋|MF2|＝4＋|MA|－|MF1|≥4－|AF1|＝4－eq \f(\r(10),2).
答案：A