高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用复习练习题，共10页。
1．已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为( )
A．eq \f(2\r(2),3)B．1
C．eq \r(2)D．2eq \r(2)
2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则平面α外的点P(－2，1，4)到平面α的距离为( )
A．10B．3
C．eq \f(8,3)D．eq \f(10,3)
3．在三棱柱ABC­A1B1C1中，eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，1，－1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，4，0)，＝(1，－1，4)，则这个三棱柱的高h＝( )
A．1B．eq \f(\r(3),6)
C．eq \r(2)D．eq \f(\r(2),6)
4．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则点C1到平面A1BD的距离是( )
A．eq \f(\r(2),2)aB．eq \f(\r(3),3)a
C．eq \r(3)aD．eq \f(2\r(3),3)a
5．(多选)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，若点P(－2，1，z)到α的距离为eq \f(10,3)，则z＝( )
A．－16B．－4
C．4D．16
6．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点B到直线AC1的距离为________．
7．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝3，AD＝2，则点C1到平面A1BC的距离为________．
8．已知三棱柱ABC­A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．求点C到平面AB1D的距离．
[提能力]
9．如图，ABCD­EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))，则P到AB的距离为( )
A．eq \f(3,4)B．eq \f(4,5)
C．eq \f(5,6)D．eq \f(3,5)
10．如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( )
A．5B．8
C．eq \f(60,13)D．eq \f(13,3)
11．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若BB1＝eq \r(2)AB＝2eq \r(2)，则点C到直线AB1的距离为________．
12．如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.
(1)求BF的长；
(2)求点C到平面AEC1F的距离．
[培优生]
13．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为________．
课时作业(九) 用空间向量研究距离问题
1．解析：∵A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，0，0)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，2，－2)，
∴点A到直线BC的距离为：
d＝|eq \(AB,\s\up6(→))|eq \r(1－（cs〈\(AB,\s\up6(→))，\(BC,\s\up6(→))〉）2)＝1×eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－1,1×3)))\s\up12(2))＝eq \f(2\r(2),3).
答案：A
2．解析：由题意可知eq \(PA,\s\up6(→))＝(1，2，－4).设点P到平面α的距离为h，则h＝eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(|－2－4－4|,\r(4＋4＋1))＝eq \f(10,3).
答案：D
3．解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，而eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，1，－1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，4，0)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0,n·\(AC,\s\up6(→))＝0))，即有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y－z＝0,x＋4y＝0))，
不妨令y＝z＝1，则x＝－4，故n＝(－4，1，1)，
设三棱柱ABC­A1B1C1的高为h，
则h＝eq \f(|n·AA1|,|n|)＝eq \f(|－4×1＋1×（－1）＋1×4|,\r(18))＝eq \f(\r(2),6).
答案：D
4.
解析：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．
则＝(a，a，a)，＝(0，a，a)，
由于AC1⊥平面A1BD，所以点C1到平面A1BD的距离
d＝＝eq \f(2a2,\r(3)a)＝eq \f(2\r(3),3)a.
答案：D
5．解析：因为n＝(－2，－2，1)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1，－2，z)，且d＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(|2＋4＋z|,\r(4＋4＋1))＝eq \f(|6＋z|,3)＝eq \f(10,3)，所以z＝4或－16.
答案：AC
6.
解析：以D1为坐标原点，以{，，}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D1xyz，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C1(0，1，0)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，1，0)，AC1＝(－1，1，－1).
取a＝eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，1，0)，u＝＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))，
则a2＝1，a·u＝eq \f(\r(3),3)，
则点B到直线AC1的距离为eq \r(a2－（a·u）2)
＝eq \r(1－\f(1,3))＝eq \f(\r(6),3).
答案：eq \f(\r(6),3)
7.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0，0，3)，B(0，4，0)，C(2，4，0)，C1(2，4，3)，所以＝(0，4，－3)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，0，0)，CC1＝(0，0，3)，设平面A1BC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4y－3z＝0,2x＝0))，n＝(0，3，4)则点C1到平面A1BC的距离为d＝＝eq \f(12,5).
答案：eq \f(12,5)
8.
解析：方法一 如图，连接A1B，交AB1于点M，连接DM，则DM⊥平面AA1B1B，所以A1B⊥DM.又·＝(eq \(AB,\s\up6(→))－)·(eq \(AB,\s\up6(→))＋)＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2－||2＝0，
∴A1B⊥AB1.∴A1B⊥平面AB1D.
即A1B是平面AB1D的一个法向量．
故点C到平面AB1D的距离
d＝＝eq \f(|\(AC,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))|,\r(2)a)＝eq \f(\f(1,2)a2,\r(2)a)＝eq \f(\r(2),4)a.
方法二 如图，以B为原点，过点B做与BC垂直的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)，A(eq \f(\r(3),2)a，eq \f(a,2)，0)，A1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)a，\f(a,2)，a))，B1(0，0，a)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，a，\f(a,2)))，C(0，a，0).
可知＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a，－\f(a,2)，a))，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a，\f(a,2)，0))，＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a，－\f(a,2)，－a)).
取AB1的中点M，则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)a，\f(a,4)，\f(a,2))).
∴eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)a，－\f(3,4)a，0))，
∴eq \(DM,\s\up6(→))·＝eq \f(\r(3),4)a×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)a))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))＋0×(－a)＝0.
∴DM⊥A1B，又·＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a，－\f(a,2)，－a))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a，－\f(a,2)，a))＝eq \f(3,4)a2＋eq \f(a2,4)－a2＝0，
∴A1B⊥AB1.∴A1B⊥平面AB1D.
即A1B是平面AB1D的一个法向量，
故点C到平面AB1D的距离d＝
＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a，\f(a,2)，0))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a，－\f(a,2)，－a)))),\r(2)a)＝eq \f(\r(2),4)a.
9.
解析：如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))可作为x，y，z轴方向上的单位向量，
因为eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(1,2)，\f(2,3)))，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，0，0)，eq \f(\(AP,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(3,4)，
所以P点到AB的距离d＝eq \r(|\(AP,\s\up6(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AP,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)))\s\up12(2))
＝eq \r(\f(181,144)－\f(9,16))＝eq \f(5,6).
答案：C
10．解析：以D为坐标原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0，12，0)，D1(0，0，5).
设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0).
设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)，
由n⊥eq \(BC,\s\up6(→))，n⊥，
得n·eq \(BC,\s\up6(→))＝(a，b，c)·(－x，0，0)＝－ax＝0，
n·＝(a，b，c)·(0，－12，5)＝－12b＋5c＝0，
所以a＝0，b＝eq \f(5,12)c，所以可取n＝(0，5，12).
又B1B＝(0，0，－5)，所以点B1到平面A1BCD1的距离为eq \f(|B1B·n|,|n|)＝eq \f(60,13).
因为B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为eq \f(60,13).
答案：C
11.
解析：取AC的中点D，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B1(eq \r(3)，0，2eq \r(2))，C(0，1，0)，
所以＝(eq \r(3)，1，2eq \r(2))，eq \(CA,\s\up6(→))＝(0，－2，0).
∴eq \(CA,\s\up6(→))·＝－2，
∴eq \(CA,\s\up6(→))在上的投影的长度为＝eq \f(2,2\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，
所以点C到直线AB1的距离d＝eq \r(|\(CA,\s\up6(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2))
＝eq \r(4－\f(1,3))＝eq \r(\f(11,3))＝eq \f(\r(33),3).
12．解析：(1)以D为坐标原点，DA，DC，DF所在直线分别为x轴，
y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3).
设点F(0，0，z).
∵截面AEC1F为平行四边形，
∴eq \(AF,\s\up6(→))＝，∴(－2，0，z)＝(－2，0，2)，
∴z＝2，∴F(0，0，2)，
∴eq \(BF,\s\up6(→))＝(－2，－4，2)，∴|eq \(BF,\s\up6(→))|＝2eq \r(6).即BF的长为2eq \r(6).
(2)设平面AEC1F的一个法向量为n1＝(x，y，1)，eq \(AE,\s\up6(→))＝(0，4，1)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(－2，0，2)
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n1·\(AE,\s\up6(→))＝0，,n1·\(AF,\s\up6(→))＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0·x＋4·y＋1＝0，,－2·x＋0·y＋2＝0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4y＋1＝0，,－2x＋2＝0，)) ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－\f(1,4)，))
∴n1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,4)，1))，又∵＝(0，0，3)，∴点C到平面AEC1F的距离为
d＝＝eq \f(3,\r(1＋\f(1,16)＋1))＝eq \f(4\r(33),11).
13.
解析：方法一 点P到直线CC1距离的最小值就是异面直线D1E与CC1的距离，
以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则D1(0，0，2)，E(1，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
∴＝(1，2，－2)，＝(0，0，2)，设n⊥，n⊥，n＝(x，y，z)，
则n·＝x＋2y－2z＝0，n·＝2z＝0，∴z＝0，
取y＝－1，则x＝2，∴n＝(2，－1，0)，
又eq \(CE,\s\up6(→))＝(1，0，0)，∴异面直线距离d＝eq \f(|n·\(CE,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(2\r(5),5).
方法二 过E点作EE1垂直底面A1B1C1D1，交B1C1于点E1，
连接D1E1，过P点作PH垂直于底面A1B1C1D1，交D1E1于点H，P点到直线CC1的距离就是C1H，
故当C1H垂直于D1E1时，P点到直线CC1距离最小，
此时，在Rt△D1C1E1中，C1H⊥D1E1，D1E1·C1H＝C1D1·C1E1，∴C1H＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5).
答案：eq \f(2\r(5),5)