高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算达标测试

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算达标测试，共7页。
1．已知空间向量a，b，c两两夹角均为60°，其模长均为1，则|a＋b－2c|＝( )
A．eq \r(2)B．eq \r(3)
C．2D．eq \r(5)
2.
如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则eq \(FG,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(\r(3),4)B．eq \f(1,4)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(\r(3),2)
3．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则a与b的夹角为( )
A．30°B．45°
C．60°D．以上都不对
4．已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1的各棱长均为1，∠A1AB＝∠A1AD＝45°，∠DAB＝90°，则|BD1|＝( )
A．eq \r(3)B．eq \r(2)－1
C．eq \r(2)D．eq \r(2)＋1
5．(多选)已知长方体ABCD­A1B1C1D1，则下列向量的数量积可以为0的是( )
A．·B．·eq \(AC,\s\up6(→))
C．eq \(AB,\s\up6(→))·D．·eq \(BC,\s\up6(→))
6．已知空间中单位向量a、b，且〈a，b〉＝60°，则|a－3b|的值为________．
7．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，·＝________．
8.
如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，
(1)用向量a，b，c表示向量eq \(DE,\s\up6(→))；
(2)求证DE⊥AB.
[提能力]
9．(多选)四面体A­BCD中，各棱长均为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
A．2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))B．2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))
C．2eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))D．2eq \(FG,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
10．(多选)已知ABCD­A1B1C1D1为正方体，则下列说法正确的有( )
A．(＋＋)2＝3(A1B1)2
B．·(－)＝0
C．与的夹角为60°
D．在面对角线中与直线A1D所成的角为60°的有8条
11．如图，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，则AC1的长为________；异面直线BD1与AC夹角的余弦值为________．
12.
如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝45°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.
(1)求eq \(BB′,\s\up6(→))·eq \(AC′,\s\up6(→))；
(2)求线段AC′的长．
[培优生]
13．(多选)定义空间两个向量的一种运算a⊗b＝|a|·|b|sin〈a，b〉，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( )
A．a⊗b＝b⊗a
B．λ(a⊗b)＝(λa)⊗b
C．(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)
D．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊗b＝|x1y2－x2y1|
课时作业(二)
1．解析：|a＋b－2c|＝eq \r(（a＋b－2c）2)
＝eq \r(a2＋b2＋4c2＋2a·b－4a·c－4b·c)
＝eq \r(1＋1＋4＋2×1×1×\f(1,2)－4×1×1×\f(1,2)－4×1×1×\f(1,2))
＝eq \r(3).
答案：B
2．解析：依题意，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，
所以FG∥AC，FG＝eq \f(1,2)AC，
三角形ABC是等边三角形，且边长为1.
所以eq \(FG,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(AC,\s\up6(→))|·|eq \(AB,\s\up6(→))|·cs60°＝eq \f(1,4).
答案：B
3．解析：设a与b的夹角为θ，
由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c，
两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝c2，
因为|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，
所以4＋2×2×3csθ＋9＝16，解得csθ＝eq \f(1,4).
答案：D
4．解析：由已知可得eq \(AB,\s\up6(→))·＝eq \(AD,\s\up6(→))·＝1×1×cs45°＝eq \f(\r(2),2)，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0，
＝－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋－eq \(AB,\s\up6(→))，
所以，2＝eq \(AD,\s\up6(→))2＋2＋eq \(AB,\s\up6(→))2＋2eq \(AD,\s\up6(→))·－2eq \(AB,\s\up6(→))·－2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝3，所以|BD1|＝eq \r(3).
答案：A
5.
解析：如图所示：
若AA1＝AD，则AD1⊥B1C，A正确；
若AB＝AD，则BD1⊥AC，B正确；
∵AB⊥平面AA1D1D，∴AB⊥AD1，C正确；
∵BD1和BC分别为矩形A1D1CB的对角线和边，
∴两者不可能垂直，D错．
答案：ABC
6．解析：|a－3b|2＝a2＋9b2－6a·b＝1＋9－6×cs60°＝1＋9－3＝7，故|a－3b|＝eq \r(7).
答案：eq \r(7)
7.
解析：如图，在正方体中，
∴·＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋)·＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋)·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋0＋0＝1.
答案：1
8．解析：(1)根据题意，eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(a＋b－c).
(2)证明：根据题意，a，b，c相互之间的夹角为eq \f(π,3)，且模均为1，由(1)eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b－c)·(b－a)＝eq \f(1,2)(－a2＋b2－b·c＋a·c)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1＋1－1×1×\f(1,2)＋1×1×\f(1,2)))＝0，
所以DE⊥AB.
9．解析：依题意，四面体ABCD是正四面体，
对于A，〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CA,\s\up6(→))〉＝60°，2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2a2cs120°＝－a2，A不是；
对于B，〈eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝60°，2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝2a2cs60°＝a2，B是；
对于C，因E，F是AB，AD的中点，则2eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))，而〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))〉＝120°，
2eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝a2cs120°＝－eq \f(1,2)a2，C不是；
对于D，因F，G是AD，DC的中点，则2eq \(FG,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，2eq \(FG,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))2＝a2，D是．
答案：BD
10.
解析：如图所示：
由向量的加法运算得＋＋＝，因为|A1C|＝eq \r(3)|A1B1|，所以(＋＋)2＝3()2，故A正确；
由正方体的性质易知A1C⊥AB1，所以·(－)＝·＝0，故B正确；
因为△A1BC1是等边三角形，且AD1∥BC1，所以∠A1BC1＝60°，则与的夹角为120°，故C错误；
由正方体的性质得，过A1，D的面对角线都与直线A1D所成的角都为60°，这样有4条，然后相对侧面与之平行的对角线还有4条，共8条，故D正确．
答案：ABD
11．解析：(1)设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，AA1＝c
由已知得，a·b＝eq \f(1,2)，b·c＝eq \f(1,2)，a·c＝eq \f(1,2)，|a|＝|b|＝|c|＝1
又AC1＝a＋b＋c，
∴|AC1|＝eq \r(（a＋b＋c）2)＝eq \r(1＋1＋1＋1＋1＋1)＝eq \r(6).
(2)∵BD1＝b＋c－a，eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b.
∴cs〈BD1，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(（b＋c－a）·（a＋b）,|BD1||\(AC,\s\up6(→))|)
＝eq \f(\f(1,2)＋1＋\f(1,2)＋\f(1,2)－1－\f(1,2),\r(2)×\r(3))
＝eq \f(\r(6),6).
答案：eq \r(6) eq \f(\r(6),6)
12．解析：(1)由题意可得，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝2×2×cs45°＝2eq \r(2)，
eq \(AA′,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AA′,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝3×2×cs60°＝3，
所以eq \(BB′,\s\up6(→))·eq \(AC′,\s\up6(→))＝eq \(AA′,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(→)))＝eq \(AA′,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(→))2＝3＋3＋32＝15；
(2)eq \(AC′,\s\up6(→))2＝(eq \(AA′,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))2＝eq \(AA′,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2＋2(eq \(AA′,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→)))＝32＋22＋22＋2×(3＋3＋2eq \r(2))＝29＋4eq \r(2)，
所以线段AC′的长为eq \r(29＋4\r(2)).
13．解析：对于A，a⊗b＝|a|·|b|sin〈a，b〉，b⊗a＝|b|·|a|sin〈b，a〉，
故a⊗b＝b⊗a恒成立；
对于B，λ(a⊗b)＝λ(|a|·|b|sin〈a，b〉)，(λa)⊗b＝|λ||a|·|b|sin〈λa，b〉，
故λ(a⊗b)＝(λa)⊗b不会恒成立；
对于C，若a＝λb，且λ>0，(a＋b)⊗c＝(1＋λ)|b|·|c|sin〈b，c〉，
(a⊗c)＋(b⊗c)＝|λb|·|c|sin〈b，c〉＋|b|·|c|sin〈b，c〉＝(1＋λ)|b|·|c|sin〈b，c〉，
显然(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)不会恒成立；
对于D，cs〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2,|a|·|b|)，
sin〈a，b〉＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1x2＋y1y2,|a|·|b|)))\s\up12(2))，
即有a⊗b＝|a|·|b|·eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1x2＋y1y2,|a|·|b|)))\s\up12(2))
＝|a|·eq \r(|b|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1x2＋y1y2,|a|)))\s\up12(2))
＝eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )·eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1x2＋y1y2,\r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ))))\s\up12(2))
＝eq \r(（x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ）（x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ）－（x1x2＋y1y2）2)
＝eq \r(（x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －2x1x2y1y2)＝|x1y2－x2y1|.
则a⊗b＝|x1y2－x2y1|恒成立．
答案：AD