人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示课时练习

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示课时练习，共6页。
1．设A(3，2，1)，B(1，0，5)，则AB的中点M的坐标为( )
A．(－2，－2，4) B．(－1，－1，2)
C．(2，1，3) D．(4，2，6)
2．已知O(0，0，0)，N(5，－1，2)，A(4，2，－1)，若eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，则点B的坐标为( )
A．(－1，3，－3) B．(9，1，1)
C．(1，－3，3) D．(－9，－1，－1)
3．已知空间向量a＝(1，－1，0)，b＝(1，－1，1)，则|a＋b|＝( )
A．3B．eq \r(2)
C．eq \r(3)D．eq \r(5)
4．已知向量a＝(0，0，1)，b＝(0，1，1)，则a与b的夹角为( )
A．0°B．45°
C．90°D．180°
5．(多选)已知空间向量a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，则下列正确的是( )
A．a＋b＝(0，1，3) B．|a|＝eq \r(3)
C．a·b＝2D．〈a，b〉＝eq \f(π,4)
6．已知a＝(－4，2，x)，b＝(2，－1，3)，如果a∥b，则x＝________；如果a⊥b，x＝________．
7．已知向量a＝(0，－1，1)，且b＝(4，1，0)，则|λa＋b|＝eq \r(29)，且λ>0，则λ＝________．
8．已知a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5).
(1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值；
(2)当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值．
[提能力]
9．已知空间向量a＝(2，－2，－1)，b＝(3，0，1)，则向量b在向量a上的投影向量是( )
A．(eq \f(10,9)，－eq \f(10,9)，－eq \f(5,9))
B．(eq \f(10,3)，－eq \f(10,3)，－eq \f(5,3))
C．(eq \f(3,2)，0，eq \f(1,2))
D．(eq \f(3\r(10),2)，0，eq \f(\r(10),2))
10．(多选)设向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，若cs〈a，b〉＝eq \f(8,9)，则实数λ的值为( )
A．－2B．2
C．eq \f(2,55)D．－eq \f(2,55)
11．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱B1C1，DD1上的点，如果BE⊥平面A1B1F，则C1E与D1F长度之和为________．
12．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1(侧棱垂直于底面的棱柱)中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为AA1的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
[培优生]
13.
如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝eq \f(π,2)，AB＝AC＝AA1＝1，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF长度的平方的取值范围为________．
课时作业(五)
1．解析：∵A(3，2，1)，B(1，0，5)，∴AB的中点M的坐标为(2，1，3).
答案：C
2．解析：设B(x，y，z)，由eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))得：(5，－1，2)＝(x－4，y－2，z＋1)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－4＝5,y－2＝－1,z＋1＝2))，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝9,y＝1,z＝1))，所以点B的坐标为(9，1，1).
答案：B
3．解析：因为a＝(1，－1，0)，b＝(1，－1，1)，
所以a＋b＝(2，－2，1)，所以|a＋b|＝eq \r(22＋（－2）2＋1)＝3.
答案：A
4．解析：∵a·b＝|a||b|csθ，
∴csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)，
∵a·b＝0×0＋0×1＋1×1＝1，
∴csθ＝eq \f(1,|a||b|)＝eq \f(1,\r(1)·\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
∴0°≤θ≤180°，
∴θ＝45°.
答案：B
5．解析：∵向量a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，
∴a＋b＝(1，1，1)＋(－1，0，2)＝(0，1，3)，则A正确，
∴|a|＝eq \r(12＋12＋12)＝eq \r(3)，则B正确，
∴a·b＝1×(－1)＋1×0＋1×2＝1，则C错误，
∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(1,\r(3)×\r(5))＝eq \f(\r(15),15)≠cseq \f(π,4)，则D错误．
答案：AB
6．解析：因为a＝(－4，2，x)，b＝(2，－1，3)，且a∥b，
所以a＝λb，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－4＝2λ,2＝－λ,x＝3λ))，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝－2,x＝－6))，
因为a⊥b，a·b＝0，
则－4×2＋2×(－1)＋3x＝0
解得x＝eq \f(10,3).
答案：－6 eq \f(10,3)
7．解析：因为a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝eq \r(29)，
所以λa＋b＝(4，1－λ，λ)，
可得16＋(1－λ)2＋λ2＝29，
因为λ>0，解得λ＝3.
答案：3
8．解析：(1)因为a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)，
所以λa＋b＝(λ－2，5λ＋3，－λ＋5)，a－3b＝(7，－4，－16)，因为(λa＋b)∥(a－3b)，
所以eq \f(λ－2,7)＝eq \f(5λ＋3,－4)＝eq \f(－λ＋5,－16)，
解得λ＝－eq \f(1,3)；
(2)因为(a－3b)⊥(λa＋b)，
所以(a－3b)·(λa＋b)＝0，
所以7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，
解得λ＝eq \f(106,3).
9．解析：根据题意，|a|＝eq \r(22＋22＋1)＝3, |b|＝eq \r(32＋0＋1)＝eq \r(10)，
a·b＝6＋0－1＝5，
b在a上的投影向量可为
|b|cs〈a，b〉eq \f(a,|a|)＝eq \f(a·b,|a||b|)·|b|·eq \f(a,|a|)＝eq \f(5,3)×eq \f(（2，－2，－1）,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,9)，－\f(10,9)，－\f(5,9))).
答案：A
10．解析：因为向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，
所以a·b＝1×2－λ＋2×2＝6－λ，
|a|＝eq \r(1＋λ2＋22)＝eq \r(5＋λ2)，
|b|＝eq \r(22＋（－1）2＋22)＝3，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(6－λ,3\r(5＋λ2))＝eq \f(8,9)，
整理可得：55λ2＋108λ－4＝0，所以(55λ－2)(λ＋2)＝0，
解得：λ＝eq \f(2,55)或λ＝－2.
答案：AC
11.
解析：设C1E＝x(0≤x≤1)，D1F＝y(0≤y≤1)，以D为坐标原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，1，0)，E(x，1，1)，F(0，0，1－y)，A1(1，0，1)，则eq \(BE,\s\up6(→))＝(x－1，0，1)，＝(1，0，y).
因为BE⊥平面A1B1F，所以BE⊥FA1，则eq \(BE,\s\up6(→))·＝x－1＋y＝0⇒x＋y＝1，即C1E，D1F的长度和为1.
答案：1
12.
解析：如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意得B(0，1，0)、N(1，0，1)，因此，
|eq \(BN,\s\up6(→))|＝eq \r(（－1）2＋12＋（－1）2)＝eq \r(3)，
因此，线段BN的长为eq \r(3)；
(2)依题意得A1(1，0，2)、B(0，1，0)、B1(0，1，2)、C(0，0，0)，
∴＝(－1，1，－2)，＝(0，－1，－2)，
所以，cs〈，〉＝＝eq \f(3,\r(6)×\r(5))＝eq \f(\r(30),10)，
故A1B与B1C所成角的余弦值为eq \f(\r(30),10).
13．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则
F(t1，0，0)(0