四川省雅安市2023-2024学年高三上学期第一次诊断性考试文科数学试题（含答案）

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数学（文科）
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
3．已知向量，则（ ）
A．10 B．18 C． D．
4．已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
5．甲、乙两人进行了10轮的投篮练习，每轮各投10个，现将两人每轮投中的个数制成如下折线图：
下列说法正确的是（ ）
A．甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小
B．甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小
C．甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小
D．甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大
6．执行如图所示的程序框图，若输人的值为2023，则输出的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（ ）
A．2 B． C． D．
8．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．若直线与曲线相切，则（ ）
A． B． C． D．
10．函数的图象经过点，将该函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
11．在正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．与所成的角为 B．与所成的角为
C．与所成的角为 D．与所成的角为
12．已知为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，分别为的左、右顶点．为上一点，且轴，直线与轴交于点，直线与交于点，直线与轴交于点．若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数为偶函数，则______________．
14．已知实数满足则的最大值为______________．
15．在正四棱台内有一个球与该四棱台的每个面都相切，若，则该四棱台的高是______________．
16．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，四日织24尺，且第七日所织尺数为前两日所织尺数之积．则第十日所织尺数为？译为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，前4天织了24尺布，且第7天所织布尺数为第1天和第2天所织布尺数的积．问第10天织布尺数为______________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）某工注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线．现对这两条生产线生产的产品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）制成如下所示列联表：
（1）通过计算判断，是否有的把握认为产品质量与生产线有关系？
（2）现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品．若在这6件产品中随机抽取2件，求这2件产品中至少有一件产自于甲生产线的概率．
附表及公式：
其中．
18．（12分）记的内角的对边分别为，若为锐角三角形，，，求面积的取值范围．
从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（12分）已知为坐标原点，过点的动直线与抛物线相交于两点．
（1）求；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在不同于点的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（12分）如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面．
（1）求证：；
（2）若，在棱上是否存在一点，使得四棱雉的体积为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数．
（1）若，判断在上的单调性，并说明理由；
（2）当，探究在上的极值点个数．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，已知曲线（其中，曲线（为参数，），曲线（为参数，）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求的极坐标方程；
（2）若曲线与分别交于两点，求面积的最大值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数．
（1）解不等式；
（2）令的最小值为，正数满足，证明：．良
优
合计
甲生产线
40
80
120
乙生产线
80
100
180
合计
120
180
300
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635