人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用练习

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1.[2022·山东济南高二期末]函数f(x)＝cs (x－1)的导函数f′(x)＝( )
A．sin (x－1) B．－sin (x－1)
C．cs (x－1) D．－cs (x－1)
2．[2022·广东珠海外国语实验中学高二期中]已知函数f(x)＝sin (2x＋eq \f(π,3))，则f′(eq \f(π,3))等于( )
A．－2B．2
C．－1D．1
3．(多选)[2022·山东德州高二期中]下列求函数的导数正确的是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ln（2x＋1）))′＝eq \f(2,2x＋1)
B．(e5x－4)′＝e5x－4
C．(eq \r(2x－1))′＝eq \f(1,\r(2x－1))
D．[sin (2x＋eq \f(π,3))]′＝－2cs (2x＋eq \f(π,3))
4．求y＝ln (2x＋3)的导数，并求在点(－eq \f(1,2)，ln2)处切线的倾斜角．
提能力
5.曲线y＝ex－1－2sin (eq \f(π,2)x)在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．x－y＝0B．ex－y－e＋1＝0
C．ex－y－e－1＝0D．x－y－2＝0
6．[2022·山东淄博高二期中]设曲线f(x)＝asin (－x)－ln (x＋1)在(0，0)处的切线方程为y＝x，则a的值为( )
A．－2B．1
C．2D．3
7．[2022·山东临沂高二期末]某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系y＝16sin (eq \f(5π,6)t＋eq \f(π,2))，则该振子在t＝6s时的瞬时速度为________mm/s.
8．已知函数f(x)＝k(x＋1)e－x＋x2.
(1)求导函数f′(x)；
(2)当k＝e时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程．
9．设f(x)＝ln (x＋1)＋eq \r(x＋1)＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝eq \f(3,2)x在(0，0)点相切．求a，b的值．
10．曲线y＝e2xcs3x在点(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为eq \r(5)，求直线l的方程．
培优生
11.定义在R的函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝2022，f(x)的导函数为f′(x)，则f′(－2020)－f′(2022)＝________．
12．已知a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是eq \f(3,2)，求切点的横坐标x0.
课时作业(十七) 简单复合函数的导数
1．解析：由复合函数求导法则，f′(x)＝－sin (x－1)·(x－1)′＝－sin (x－1)，
故选B.
答案：B
2．解析：由已知得f′(x)＝2cs (2x＋eq \f(π,3))，
f′(eq \f(π,3))＝2cs (2×eq \f(π,3)＋eq \f(π,3))＝－2，
故选A.
答案：A
3．解析：[ln (2x＋1)]′＝eq \f(2,2x＋1)，(e5x－4)′＝5e5x－4，(eq \r(2x－1))′＝eq \f(1,2)·eq \f(1,\r(2x－1))·(2x－1)′＝eq \f(1,\r(2x－1))，
[sin (2x＋eq \f(π,3))]′＝2cs (2x＋eq \f(π,3)).
故选AC.
答案：AC
4．解析：令y＝lnu，u＝2x＋3，
则y′x＝(lnu)′·(2x＋3)′＝eq \f(1,u)·2＝eq \f(2,2x＋3).
当x＝－eq \f(1,2)时，
y′＝eq \f(2,3－1)＝1，
即在点(－eq \f(1,2)，ln2)处切线的倾斜角的正切值为1，
所以倾斜角为eq \f(π,4).
5．解析：y′＝ex－1－πcs (eq \f(π,2)x)，当x＝1时，y′＝1，
所以所求切线方程为y＋1＝x－1，
即x－y－2＝0.
故选D.
答案：D
6．解析：依题意，曲线f(x)＝－asinx－ln (x＋1)，求导得：
f′(x)＝－acsx－eq \f(1,x＋1)，则f′(0)＝－a－1，
因曲线y＝f(x)在(0，0)处的切线方程为y＝x，则f′(0)＝1，即－a－1＝1，解得a＝－2，
所以a的值为－2.
故选A.
答案：A
7．解析：因为y＝16sin (eq \f(5π,6)t＋eq \f(π,2))＝16cseq \f(5π,6)t，
所以求导得y′＝－16×eq \f(5π,6)sineq \f(5π,6)t＝－eq \f(40π,3)sineq \f(5π,6)t，
所以根据导数的几何意义得该振子在t＝6s时的瞬时速度为y′|t＝6＝－16×eq \f(5π,6)sin5π＝0.
答案：0
8．解析：(1)由题意，函数f(x)＝k(x＋1)e－x＋x2，
可得f′(x)＝keq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(e－x－（x＋1）e－x))＋2x＝－kxe－x＋2x.
(2)当k＝e时，可得f(1)＝3，
由(1)得f′(x)＝－exe－x＋2x，所以f′(1)＝1，
所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程y－3＝1·(x－1)，即y＝x＋2.
9．解析：由曲线y＝f(x)过(0，0)点，
可得ln1＋1＋b＝0，故b＝－1.
由f(x)＝ln (x＋1)＋eq \r(x＋1)＋ax＋b，
得f′(x)＝eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,2\r(x＋1))＋a，
则f′(0)＝1＋eq \f(1,2)＋a＝eq \f(3,2)＋a，
即为曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率．
由题意，得eq \f(3,2)＋a＝eq \f(3,2)，故a＝0.
10．解析：由y′＝(e2xcs3x)′＝(e2x)′cs3x＋e2x(cs3x)′＝2e2xcs3x＋e2x(－3sin3x)＝e2x(2cs3x－3sin3x)，
得y′|x＝0＝2.
则切线方程为y－1＝2(x－0)，
即2x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行，可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，
两平行线间的距离d＝eq \f(|c－1|,\r(5))＝eq \r(5)，得c＝6或c＝－4.
故直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.
11．解析：因为f(x)＋f(2－x)＝2022，
所以f′(x)＋f′(2－x)·(2－x)′＝0，
所以f′(x)－f′(2－x)＝0，
所以f′(2022)－f′(2－2022)＝0，
所以f′(－2020)－f′(2022)＝0.
答案：0
12．解析：易得f′(x)＝ex－ae－x，x∈R.
∵f′(x)为奇函数，
∴f′(x)＋f′(－x)＝0对任意x∈R恒成立，
即(1－a)(ex＋e－x)＝0对任意x∈R恒成立，
∴a＝1，
∴f(x)＝ex＋e－x，f′(x)＝ex－e－x，
设切点的横坐标为x0，
由题可得ex0－e－x0＝eq \f(3,2)，令ex0＝t(t>0)，则t－eq \f(1,t)＝eq \f(3,2)，
解得t＝2或t＝－eq \f(1,2)(舍去)，
∴ex0＝2，∴x0＝ln2.