湖北省武昌实验中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省武昌实验中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、抛物线的焦点坐标是( )
A.B.C.D.
2、设公差不为零的等差数列的前n项和为,,则( )
A.15B.1C.D.
3、设椭圆的两个焦点分别为,,,P是C上一点,若,且,则椭圆C的方程为( )
A.B.C.D.
4、已知O为坐标原点,F为双曲线的左焦点,过点F且倾斜角为的直线与双曲线右支交于点P,线段PF上存在不同的两点A,B满足,且,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
5、对于集合A,B,定义.若,,将集合中的元素从小到大排列得到数列,则( )
A.55B.76C.110D.113
6、已知抛物线的焦点为F,准线为l,过点F的直线交C于P,Q两点,于H,若,O为坐标原点,则与的面积之比为( )
A.6B.8C.12D.16
7、大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.已知数列满足:,记,,则数列的前60项和是( )
A.B.C.D.
8、已知椭圆与双曲线有相同的焦点,则双曲线的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知公差不为0的等差数列的前n项和为,且,则( )
A.B.C.D.
10、已知曲线C的方程为(),则下列说法正确的是( )
A.当时,曲线C表示椭圆
B.“”是“曲线C表示焦点在y轴上的双曲线”的充分必要条件
C.存在实数,使得曲线C的离心率为
D.存在实数k,使得曲线C表示渐近线方程为的双曲线
11、首项为正数,公差不为0的等差数列,其前项和为,则下列4个命题中正确的有( )
A.若,则,;
B.若,则使的最大的n为15;
C.若,,则中最大;
D.若,则.
12、已知抛物线的焦点为F,准线l交x轴于点D,直线m过D且交C于不同的A,B两点,B在线段AD上,点P为A在l上的射影.线段PF交y轴于点E,下列命题正确的是( )
A.对于任意直线m,均有
B.不存在直线m,满足
C.对于任意直线m,直线AE与抛物线C相切
D.存在直线m,使
三、填空题
13、参考《九章算术》中“竹九节”问题,提出:一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共2升,下面3节的容积共3升,则第5节的容积为______升.
14、若双曲线的离心率与椭圆的离心率互为倒数,则椭圆的焦点到双曲线的渐近线的距离是__________.
15、已知抛物线的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点(A在轴上方),延长BO交抛物线的准线于点C,若,,则抛物线的方程为_____.
16、已知圆锥曲线的方程:.当m,n为正整数,且时,存在两条曲线,,其交点P与点,满足,写出满足题意的所有有序实数对:_____.
四、解答题
17、数列中,,,
（1）求数列的通项公式及前项和;
（2）求数列的前项和.
18、已知点,圆.
（1）若直线l过点P且被圆C截得的弦长为,求直线l的方程;
（2）设直线与圆C交于A,B两点,过点的直线垂直平分弦AB,这样的实数a是否存在,若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
19、设各项均为正数的数列满足(p,r为常数),其中为数列的前n项和.
（1）若,,求证:等差数列;
（2）若,,求数列的通项公式.
20、设双曲线与直线相交于两个不同的点A,B.
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围;
（2）设直线l与y轴的交点为P,且,求a的值.
21、如图,已知动圆M过定点且与y轴相切,点F关于圆心M的对称点为,点的轨迹为H.
（1）求曲线H的方程;
（2）一条直线AB经过点F,且交曲线H于A,B两点,点C为直线上的动点.
①求证:不可能是钝角;
②是否存在这样的点C,使得是正三角形?若存在,求点C的坐标;否则,说明理由.
22、已知椭圆的右焦点的坐标为,离心率.
（1）求椭圆的方程;
（2）设点P,Q为椭圆上位于第一象限的两个动点,满足,C为PQ的中点,线段PQ的垂直平分线分别交轴x,y轴于A,B两点.
(i)求证:A为BC的中点;
(ii)若(为三角形的面积),求直线PQ的方程.
参考答案
1、答案：C
解析：抛物线标准方程为,
其焦点坐标为
故选:C.
2、答案：D
解析：设等差数列的公差为.
,,解得:,.
,.
.
故选:D.
3、答案：D
解析：因为,所以,
P是C上一点,由椭圆的定义得:,
又,
所以,,
又,则,
所以在中,由余弦定理得:,
即,
整理得:,
解得,则,
所以椭圆C的方程为
故选:D
4、答案：D
解析：设双曲线的右焦点为,连接,
取AB的中点M,由,
可得M为FP的中点,
,可得,
由,可得,
即有,
由双曲线的定义可得,
即有1,
故选D.
5、答案：C
解析：因为,,
所以,所以.相当于集合A中除去形式的数,其前45项包含了15个这样的数,所以.
则,
故选:C.
6、答案：C
解析：依题意,由于H,得,即是正三角形,,
而,则直线PQ的方程为,
由,消去y并整理,得,
令,,解得,,又准线,
因此,,
所以与的面积之比.
故选:C.
7、答案：C
解析：,
,
数列是以3为周期的周期数列,
又,,,
的前60项和为.
故选:C.
8、答案：A
解析：当焦点在轴上时,由题意知:,,椭圆中,,,则;
双曲线中,,,则;
由题意,,解得,这与矛盾;
当焦点在y轴上时,由题意知,,椭圆中,,,则;
双曲线可化为,,,则;
由题意,,解得,
双曲线的一条斜率为正的渐近线的斜率为,
又因为,所以,所以,
即双曲线的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为,
故选:A.
9、答案：AC
解析：由题意有,化简整理得,
所以,选项A正确;
,,由于,所以,故选项B不正确;
,故选项C正确;
,,由于,所以,故D不正确.
故选:AC
10、答案：BC
解析：对于A,当时,曲线为,曲线C表示圆,故选项A不正确;
对于B,曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则,可得,
若,则,曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,所以“”是“曲线C表示焦点在y轴上的双曲线”的充分必要条件,故选项B正确;
对于C,假设存在实数k,使得曲线的离心率为,
曲线C表示椭圆,则,可得:,
若椭圆焦点在轴上,
由,可得,可得符合题意,
若椭圆焦点在y轴上,
由,可得,可得符合题意,
所以存在或,使得曲线C的离心率为,故选项C正确;
对于D,假设存在实数k,使得曲线C表示渐近线方程为的双曲线,
此时有,得或,
当时,,无解;当时,,无解,
所以满足题意的实数k不存在,故选项D不正确.
故选:BC.
11、答案：ABD
解析：对于A:因为正数,公差不为0,且,所以公差,
所以,即,
根据等差数列的性质可得,又,
所以,,故A正确;
对于B:因为,则,
所以,又,
所以,,
所以,,
所以使的最大的n为15,故B正确;
对于C:因为,则,
,则,即,
所以则中最大,故C错误;
对于D:因为,则,又,
所以,即,故D正确,
故选:ABD
12、答案：AC
解析：A选项,如图1,由抛物线知O为DF的中点,轴,所以E为线段PF的中点,由抛物线的定义知,所以,所以A正确;
B选项,如图2,设,,,,,E为线段PF的中点,则,,,
由得,解得,,又,,故,,又,
可得,,故存在直线m,满足,选项B不正确.
C选项,由题意知,E为线段PF的中点,从而设,则,
直线AE的方程:,与抛物线方程联立可得:
,由代入左式整理得:,
所以,所以直线AE与抛物线相切,所以选项C正确.
D选项,如图3,设直线m的方程,
,,,
由,得.当
,即且时,由韦达定理,得
,.
因为,,所以,
又,,所以成立,故D不正确.
故选:AC.
13、答案：
解析：设自上而下的竹子容量依次为,可得为等差数列,
则,解得,
故,,
故答案为:.
14、答案：
解析：由知椭圆中,,
所以,即椭圆的焦点为,
所以,
由题意知双曲线的离心率,
所以,故双曲线的渐近线方程为,
不妨取椭圆左焦点,则由点到直线距离可得,
同理,椭圆右焦点到渐近线的距离也是,
所以椭圆焦点到渐近线的距离为,
故答案为:
15、答案：
解析：由题意得:,
当直线AB的斜率不存在时,,
因为,所以直线AB的斜率存在,
因为A在轴上方,所以直线AB的斜率大于0,
设直线,,
与抛物线方程联立可得:,
恒成立,
设,,则,,
由抛物线定义可知:,,
因为,所以,即,
将代入,中,
,,
所以,解得:,
因为,所以,
则,,,,
所以,所以直线OB方程为,
当时,,,
直线AC与x轴平行,,,
.
故答案为:.
16、答案：,,
解析：由题意得,,是椭圆,,,,是双曲线,
结合椭圆与双曲线的几何性质可知本题中的任意两椭圆与两双曲线均无公共点,
从而时,存在两条曲线,有交点,
必然有,,
设,,则由椭圆与双曲线的定义可得,
,,
且,,故,
即,
所以存在两条曲线,,且,,.
故答案为:,,.
17、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）因为,即,所以数列是等差数列,
所以,.
（2）令得,;
当时,;
当时,.
综上可得,
18、答案：（1）或
（2）见解析
解析：（1）点,直线l过点P,
设直线l的斜率为k(k存在),则方程为.
又题C的圆心为,半径,
由弦长为,故弦心距,由,解得.
所以直线方程为,即.
当l的斜率不存在时,l的方程为,经验证也满足条件.
故l的方程为或.
（2）把直线,即.代入圆C的方程,
消去y,整理得.
由于直线交圆C于A,B两点,
故,即,解得.
设符合条件的实数a存在,由于垂直平分弦AB,故圆心必在上.
所以的斜率,而,所以.
由于,
故不存在实数a,使得过点的直线垂直平分弦AB.
19、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）当,时,,当时,,
两式相减,得,整理得,
所以是等差数列.
（2）当时,,令,而,得,解得,
于是,当时,,
两式相减,得,整理得,即,
因此,数列是常数列,从而,,显然满足上式,
所以数列的通项公式是.
20、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）将代入双曲线中,得.①
解得且.
又双曲线的离心率,且.
（2）设点,.有.
,.
由此得.由于,都是方程①的根,且,因此由根与系数的关系,得,.
消去,得.由,得.
21、答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）设,因为点在圆M上,且点关于圆心M的对称点为F,
则,
而,
因为动圆M过定点且与y轴相切,则,
即,化简得,
所以曲线C的方程为.
（2）①若直线AB与轴重合,则直线AB与抛物线有且只有一个公共点,不合乎题意.
设直线AB的方程为,设点,,,
联立,可得,,
由韦达定理可得,,
,同理可得,
所以,
,
故不可能为钝角;
②假设存在这样的点C满足条件,
因为,则线段AB的中点为,
若,则轴,此时,直线AB的方程为,联立可得,
则,此时,NC位于轴上,则,
所以,为直角三角形,不合乎题意,
所以,,则,可得,
则,
则,
而,
由,可得,解得,
所以,存在点满足条件.
22、答案：（1）
（2）
解析：（1）椭圆的右焦点F的坐标为,
,又离心率,,,
椭圆的方程为;
（2）(i)依题意,设直线PQ方程为,
联立,消去y,得,
,
设,,则,,
设PQ中点,则,
,即C点坐标为,
线段PQ的垂直平分线AB方程为,
令,得,令,得,
,,为BC中点;
(ii)由(i)得A为BC中点,
,,
,
,
整理得,即,
又,
整理得,解得或(舍去),
,,,此时,
直线PQ方程为.